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PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
DE PROBABILIDADE
3.1 INTRODUÇÃO
Muitas variáveis aleatórias associadas a experimentos aleatórios têm propriedades similares e, portanto, podem ser descritas através de uma mesma distribuição de probabilidade. Cada distribuição parte de pressuposições bem definidas. Um cuidado especial deve ser tomado ao escolher a distribuição de probabilidade que descreva corretamente as observações que são geradas no experimento aleatório. São apresentadas a seguir as principais distribuições de variáveis aleatórias discretas, suas características básicas, seus parâmetros, médias e variancias.
3.2 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Esta é a mais simples de todas as distribuições de probabilidade e é aquela em que a v.a. assume todos os seus possíveis valores com probabilidades iguais.
Assim se a v.a. X assume os valores x 1 , x 2 , ... , xn com probabilidades iguais, então a função de probabilidade de X será :
p ( x ) =
n
, x = x 1 , x 2 , ... , xn.
Note que esta distribuição tem um único parâmetro: n
A MÉDIA E A VARIANCIA SÃO:
μ
σ
μ
= E(X) =
x
n
X) = V(X) =
(x
n
i i=
n
(^2) i=1 i
n
_Notas de Aula ________________________________________________________________________________________
OBSERVAÇÃO :
Em particular, se os valores de X forem equiespaçados, podemos mostrar que:
μ = E(X) =
x x 2
1 + n
EXEMPLO
Quando um dado é jogado e o número da face voltada para uma é observado, o espaço amostral é : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cada elemento de S tem a mesma probabilidade de ocorrência igual a 1/6.
Portanto temos uma distribuição uniforme da v.a. X = no^ de pontos, isto é : p(x) = 1/6 , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Graficamente : p(x)
1 2 3 4 5 6 x
1/
3.3 DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Seja um experimento onde só podem ocorrer dois resultados: um que chamaremos de
" sucesso " (S) e outro que chamaremos de " fracasso " (F). Por exemplos: uma moeda sendo
lançada só pode levar a dois resultados: cara (S) e coroa (F); uma peça que é fabricada
pode ser perfeita (S) ou defeituosa (F); uma pessoa pode responder sim (S) ou não (F) a
uma questão; um componente eletrônico pode durar 500 horas ou mais (S) ou menos do
que 500 horas (F); um sistema pode não falhar durante a operação por um período de 20
horas (S) ou pode apresentar uma ou mais falhar nesse período (F). Experimentos que
podem levar a apenas dois resultados são geralmente chamados de Experimentos de
Bernoulli (Jacques Bernoulli, 1654-1705, matemático suíço, foi o primeiro a descrever
tais experimentos, no século XVII).
Associamos uma v.a. X a estes resultados, de tal forma que:
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_Notas de Aula ________________________________________________________________________________________
OBSERVAÇÃO: A probabilidade de sucesso, p, é uma proporção populacional, ou
seja, é uma proporção de sucessos obtida ao longo do tempo. No exemplo anterior,
a proporção da população (composta por todos os funcionários da indústria) é 0,8.
Se uma amostra de 100 funcionários fosse tomada ao acaso e destes, 65 fossem
mulheres, então 0,65 seria a proporção de mulheres nesta amostra de 100
elementos. Quanto maior a amostra, mais próxima a proporção amostral estará da
proporção populacional.
3.4 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Suponha que se realize n vezes, independentemente , um experimento de
Bernoulli e se observe uma v.a. X igual ao número de vezes em que ocorre
"sucesso". Se p for a probabilidade de "sucesso", constante para todas as
realizações do experimento, então a v.a. X terá distribuição binomial.
Para construir a função de probabilidade da v.a. X devemos observar,
inicialmente, que esta variável pode assumir os valores 0,1,...,n e que a
probabilidade de "fracasso" será q = 1 - p. Quando realizamos n vezes um
experimento de Bernoulli, observamos uma seqüência de "sucessos" (S) e
"fracassos" (F). Considere, inicialmente, a seguinte particular seqüência:
Considerando a independência e a probabilidade p de "sucesso" constante em todas
as realizações do experimento, a probabilidade de ocorrência desta seqüência é:
p p ... p q q ... q = px qn-x
Podemos obter x "sucessos" (e portanto n-x "fracassos") em n realizações do
experimento através de
n x
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟ seqüências possíveis como esta e todas elas terão a
mesma probabilidade de ocorrência px qn-x. Sendo assim, a probabilidade de se
obter x "sucessos" será dada por:
___________________________________________________________________________________
_Notas de Aula _______________________________________________________________________________________
P(X=x) = px qn-x^ + px qn-x^ + ...+ px qn-x^ =
n x
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟ px qn-x
Finalmente, podemos escrever, então, que a função de probabilidade de uma v.a. X
com distribuição binomial é dada por:
p(x) = P(X=x) =
n x
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟ px qn-x , x = 0 , 1 , ... , n
Os parâmetros desta distribuição são: n: o número de realizações do experimento
e p: a probabilidade de sucesso em cada realização do experimento.
OBSERVAÇÕES :
a) Ao utilizar esta distribuição devemos observar que o resultado definido para ser
"sucesso" terá probabilidade p. O outro resultado será necessariamente definido como sendo "fracasso" e terá, consequentemente, probabilidade q = 1 - p.
b) Uma vez definido o resultado que será "sucesso", a v.a. X será o número de
"sucessos" observados em n realizações independentes do experimento.
c) Note que a condição de independência é essencial. Caso contrário a função de
probabilidade não poderia ser encontrada da forma mostrada acima.
d) Ainda sobre a independência, podemos encontrá-la quando o experimento se
trata de retirar uma amostra com reposição ou de uma população infinita. Poderia ser simplesmente a repetição de um experimento tal que possua probabilidade constante p de um determinado resultado (sucesso).
e) A expressão obtida para P( X = x ) é o k-ésimo termo do desenvolvimento de (q + p)n^ segundo o binômio de Newton, daí o nome “distribuição binomial” dado a essa distribuição.
f)
n x
n! (n - x)! x!
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟ =
A Média e a Variancia: Para o cálculo da média e da variancia consideramos o fato de que uma v.a. X binomial (ou com distribuição binomial) com parâmetros n e p pode ser vista como uma soma de n v.a.'s independentes de Bernoulli X1, X2, ... , Xn. Assim,
utilizando as propriedades da média e da variancia e a média e variancia de uma v.a. de Bernoulli, temos que:
___________________________________________________________________________________
_Notas de Aula _______________________________________________________________________________________
Graficamente ,
EXEMPLO 2
Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma.
( a ) Qual é a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa?
( b ) Qual é a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa?
( c ) Se a empresa paga uma multa de R$10,00 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas?
Podemos considerar cada caixa de 5 peças como sendo 5 realizações independentes de um experimento de Bernoulli onde peça defeituosa é sucesso. Assim:
“sucesso” = peça defeituosa p = 0,1 , q = 1- 0,1 = 0, n = 5 X = no^ de peças defeituosas ( X = 0, 1,2, 3, 4, 5 )
A função de probabilidade de X é dada por:
p(x) = P(X=x) =
5 x
0,1 x^ 0,9 5 x , x 0,1,...,
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟ − =
( a ) P(3 peças defeituosas) = P(X = 3) =
5 3
0 1 0 9^3 5 3
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
( b) P(2 ou mais peças defeituosas) = P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) =
1 - [ P(X=0) + P(X=1) ] = 1
5 0
0 1 0 9
5 1
− 0 5 0^ 0 1 0 9^1 5 1
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟ +
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟
⎡ ⎣
⎢
⎤ ⎦
, , −^ , , −⎥ = 0,
___________________________________________________________________________________
_Notas de Aula ________________________________________________________________________________________
( c ) A empresa para multa se X ≥ 1. Portanto, para cada caixa:
P(pagar multa) = P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 0,4095.
Teremos, daí, uma nova binomial onde cada caixa pode ou não pagar multa (sucesso ou fracasso) com n’= 1000 e p’= 0,4095. O número esperado de caixas que pagam multa será :
E( caixas que pagam multa ) = n’p’ = (1000).(0,4095) = 409,
O valor esperado da multa no lote será de: R$ (10,00) (409,5) = R$ 4095,
3.5 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Na distribuição Binomial a v.a. é o número de sucessos em n provas independentes do experimento. Vamos agora analisar uma v.a. X que denota o número de sucessos num intervalo contínuo , por exemplo, o número de falhas de um determinado sistema num intervalo de 4 horas, o número de defeitos por metro quadrado de uma chapa de aço, o número de aviões que chegam a um aeroporto por dia, o número de bactérias numa determinada cultura, etc. A v.a. X tem distribuição de Poisson.
Um experimento de Poisson possui as seguintes características: 1 ) O número de sucessos que ocorrem num intervalo ou uma região especificada é independente daqueles que ocorrem em qualquer outro intervalo de tempo ou região disjunto. 2 ) A probabilidade de ocorrência de um único sucesso durante um intervalo pequeno ou numa região é proporcional ao comprimento do intervalo ou região e não depende do número de sucessos que ocorrem fora deste intervalo ou região. 3 ) A probabilidade de mais de um sucesso ocorrendo em tais intervalos pequenos ou regiões pequenas é desprezível.
A função de probabilidade de uma v.a. X de Poisson é dada por:
p(x) P(X x)
e x!
, x 0,1,2,...
x = = = =
−λ (^) λ
onde λ , o parâmetro da distribuição, é o número médio de sucessos que ocorrem num dado intervalo ou região.
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EXEMPLO 2:
Numa linha adutora de água, de 60km de extensão, o número de vazamentos
no período de um mês, segue um processo de Poisson de parâmetro λ^ = 4. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos um vazamento num setor de 3km de extensão?
Para um intervalo de 60km de extensão, a média de vazamento é 4, então, num intervalo de 3km a média será μ = 0,2. Se X é a v.a. que representa o número de vazamentos em 3km, então a função de probabilidade de X será:
p(x) = P(X = x) =
e 0, x!
−0,2 x , x = 0,1,...
P( pelo menos 1 vazamento ) = P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) =
= 1
e 0!
= 0,
-0, −
. ,0 2 0
3.5.1 APROXIMAÇÃO DE POISSON PARA A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Suponha que uma v.a. X tenha distribuição Binomial com parâmetros n e p. Lembre, então, que a média é μ = n.p.
Podemos mostrar que quando n é grande e p pequeno, mas mantém-se constante a média μ = n.p , então no limite temos a distribuição de Poisson de média μ. Ou seja :
lim (
( n p 0
x n-x n -np^ x x
p p)
e np) →∞ x! →
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟ 1 − =
Note que isto significa que quando temos uma situação tipicamente binomial mas se observa que o número de realizações n é grande e a probabilidade p de sucessos é pequena, usamos este resultado, ou seja, usamos a distribuição de Poisson com parâmetro λ = n.p. Este fato faz com que a distribuição de Poisson se adapte bem aos chamados fenômenos raros, ou seja, pequenas probabilidades de ocorrência do evento “sucesso”, quando observado o experimento um grande número de vezes.
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EXEMPLO 1
Seja uma v.a. X que tem média μ =4. Os gráficos abaixo mostram a aproximação de Poisson em 2 casos : p = 1/3 ; n = 12 e p = 1/24 ; n = 96.
μ = 4 , p = 1/3 , n =
(^0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )
Distribuição Binomial =
Distribuição de Poisson =
μ = 4 , p = 1/24 , n =
(^0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )
p(x)
p(x)
EXEMPLO 2
Num certo processo de fabricação no qual artigos de vidro são produzidos, defeitos (bolhas) ocorrem ocasionalmente, tornando a peça inadequada para venda. Sabe-se que em média 1 a cada 1000 desses artigos produzidos tem defeito. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 8000 artigos contenha menos de 7 artigos com defeito?
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A MÉDIA E A VARIANCIA SÃO :
= E(x) =
p
x) = V(x) =
q p 2
PROPRIEDADE :
A distribuição geométrica tem a propriedade de “não ter memória” , isto é, a probabilidade de que o número de provas até o 1o^ sucesso seja s + t , sabendo-se que as s primeiras provas foram fracassos, é igual à probabilidade de o número de provas até o 1o^ sucesso ser igual às t provas restantes, ou seja :
P( X = s + t / X > s) = P( X = t ) F F... F F F... F S
s t s + t
EXEMPLO
O custo de lançamento de um foguete é de R$ 1.000.000. Se o lançamento falhar ocorrerá um custo extra de R$ 500.000 em virtude de consertos na plataforma de lançamento. A probabilidade de um lançamento ser bem sucedido é de 0,3. Os lançamentos são efetuados até que haja um bem sucedido.
( a ) Qual a probabilidade de serem lançados mais de 3 foguetes?
( b ) Sabendo-se que até o 2 o^ lançamento ainda não houve sucesso, qual a probabilidade de se conseguir sucesso no 4o^ lançamento?
( c ) Qual o custo esperado do projeto?
Seja a v.a X = no^ de lançamentos até que haja um bem sucedido (X = 1, 2, ...). A probabilidade de um sucesso em cada tentativa é p = 0,3 e a função de probabilidade de X é:
p(x) = P(X=x) = (0,3) (0,7)x-1 , x = 1,2,...
( a ) P( lançados mais de 3 foguetes ) = P( X > 3 ) = 1 - P( X ≤ 3 ) =
= 1 - [ P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) ] = = 1 - [(0,3)(0,7)1-1^ +(0,3)(0,7)2-1^ +(0,3)(0,7)3-1] = = 0,.
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( b ) P(X = 4 / X > 2) =
P( X = 4 X > 2 ) P( X > 2)
=
P( X = 4) P( X > 2)
=
P( X = 4) 1- P( X 2)
=
=
P( X = 4) 1-[ P( X = 1) + P( X = 2)
=
(0,3)(0,7) 1-[(0,3)(0,7) + (0,3)(0,7) ] = 0,.
4- 1-1 2-
∩ ≤
=
Este resultado é igual a P( X = 2 ) = (0,3) (0,7)2-1^ = 0,21, que resulta da propriedade da distribuição geométrica. P( X = s+t / X > s) = P( X = 2 +2 / X > 2) = = P( X = 2).
( c ) Serão lançados X foguetes. O gasto total será então :
G = 1.500.000 ( X -1) + 1.000.000 = 1.500.000 X - 500. O valor esperado do gasto é : E(G) = E( 1.500.000X - 500.000) = 1.500.000 E(X) - 500.000 = = 1.500.000 (1/p) - 500.000 = 1.500.000 (1/0,3) - 500.000 = 4.500..
3.7 DISTRIBUIÇÃO DE PASCAL
Considere um experimento que consiste em repetir um experimento de Bernoulli, independentemente, até conseguir r “sucessos”. A v.a. X que representa o número de realizações necessárias para isso, tem distribuição de Pascal e sua função de probabilidade é dada por :
p(x) = P(X = x) =
x - r -
p qr^ x-r , x = r, r +1, r + 2, ...
onde p é a probabilidade de sucesso em cada realização do experimento, q= 1-p e r é o número de sucessos.
A MÉDIA E A VARIANCIA SÃO :
= E(X) =
r p
X) = V(X) =
r.q p
2 ( 2
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EXEMPLO
Uma fábrica tem sua produção composta de 30% da máquina A, 20% da máquina B e 50% da máquina C. Retirando-se 9 peças da produção :
( a ) Qual a probabilidade de serem 4 da máquina A, 2 da máquina B e 3 da máquina C?
( b ) Qual a probabilidade de não haver nas 9 peças nenhuma da máquina B?
Sejam as variáveis aleatórias : X 1 = no^ de peças produzidas pela máquina A ( p 1 = 0,3 ). X 2 = no^ de peças produzidas pela máquina B ( p 2 = 0,2 ). X3 = no de peças produzidas pela máquina C ( p3 = 0,5 ). n = 9
( a ) P( X 1 = 4, X 2 = 3, X 3 = 3 ) =
(0,3) 2 ( ,0 2 ) ( , )^2 0 5^3 = 0,0510.
Note que : x 1 + x 2 + x 3 = 4 + 2 + 3 = 9 , p 1 + p 2 + p 3 = 0,3 + 0,2 + 0,5 = 1.
( b ) Podemos considerar “sair peça da máquina B” sucesso, e não sair, fracasso. Temos, assim, uma distribuição binomial com : p = 0, q = 0, n = 9 X = no^ de peças que saem da máquina B.
P(X = 0) =
n x
p .q =
9 0
x n-x (^) (0,2) 0 0, ⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟ ( , )0 8^9 −^0 = 0,
3.9 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Consideremos um conjunto de N elementos, r dos quais tem uma determinada característica ( r ≤ N ). Serão extraídos n elementos ( n ≤ N ) sem reposição. A distribuição de probabilidade da v.a. X, igual ao no^ de elementos com a referida característica que estarão entre os n retirados é dita hipergeométrica.
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N
r
x n
A função de probabilidade é :
p(x) = P(X = x) =
r x
N r n x N n
, x = 0, 1,... ( r ou n )
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟
− −
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟
A MÉDIA E A VARIANCIA SÃO :
μ = E(X) = n.p
σ^2 (X) = V(X) = n.p.q
N - n N -
onde p = r / N
EXEMPLO
Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso para a iluminação de uma sala. Qual a probabilidade de que :
( a ) exatamente duas estejam queimadas?
( b ) pelo menos uma esteja boa?
N=12 n=6 r=5 X = no^ de lâmpadas queimadas retiradas.
( a ) P( X = 2) =
5 2
12 5 6 2 12 6
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟
− −
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟
= 0,.
( b ) Se são retiradas 6 lâmpadas e somente 5 estão queimadas, necessariamente pelo menos uma será boa, portanto :
P( pelo menos uma boa ) = 1.
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