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CAPÍTULO 4 Estática
As Três Leis ou Princípios Fundamentais da Mecânica Newtoniana discutidos no capítulo anterior sustentam todo o estudo da Estática dos pontos materiais, corpos rígidos e conjuntos de corpos rígidos.
O estudo da estática do corpo rígido baseia-se no estudo da estática do ponto material, por onde terá início o nosso estudo. Veremos como os resultados obtidos para o ponto material podem ser utilizados directamente em grande número dos problemas referentes a condições de repouso de corpos reais.
Neste capítulo de estática iremos estudar essencialmente o equilíbrio de corpos rígidos e as condições de equilíbrio de sistemas de forças nele aplicados.
4.1. Equilíbrio estático de um ponto material
Diz-se que um sistema de forças aplicado a um corpo está em equilíbrio se da sua aplicação não resultar nenhuma alteração no estado de movimento do corpo. Um caso particular de equilíbrio mecânico, o equilíbrio estático , será o estado de repouso num determinado referencial de inércia, definido pela velocidade nula de todos os pontos do corpo.
Vamos estudar a estática em referenciais de inércia. Trataremos em primeiro lugar de sistemas de forças aplicados a pontos materiais, i.e., corpos de dimensões desprezáveis, para os quais não se considera o movimento de rotação.
A condição necessária e suficiente de equilíbrio dum sistema de forças aplicado a um ponto material é que a resultante desse sistema seja nula. Na realidade, por definição de equilíbrio, a aceleração é nula, o que implica, pela lei fundamental da dinâmica, que a força também seja nula – condição necessária.
Por outro lado, (^) ∑ =^0
G^ G
F i implica, pela mesma lei de Newton, que a
aceleração seja nula, o que é equivalente à velocidade ser constante.
Logo, (^) ∑ =^0
G^ G
F i garante-nos o equilíbrio – condição suficiente.
Sistemas equivalentes
A um mesmo ponto material podemos aplicar diferentes sistemas de forças. Se estes sistemas tiverem o mesmo efeito sobre o estado de movimento do ponto material, eles dizem-se sistemas equivalentes.
Em particular, um sistema de forças aplicado a um ponto material é sempre equivalente à resultante desse sistema aplicado ao mesmo ponto material, pela lei fundamental da dinâmica. Este sistema pode ser sempre equilibrado por uma força Fe
G , denominada equilibrante do sistema , e que é simétrica da resultante:
F e = -R
G G .
4.2. Momento de uma força em relação a um ponto
Começaremos por estudar sólidos livres (não sujeitos a ligações), para depois nos referirmos ao caso dos sólidos que têm um ponto ou um eixo fixos (sujeitos a ligações).
Ao contrário do que se passa com um ponto material, a resultante nula de um sistema de forças aplicadas a um corpo rígido não garante que o corpo esteja em equilíbrio. Contudo, se o corpo estiver em equilíbrio, tem aceleração nula, o que implica que a resultante do sistema de forças também
seja nula. Logo, (^) ∑ =^0
G G
F i é uma condição necessária, mas não é a condição
suficiente de equilíbrio dum sistema de forças aplicado a um corpo rígido. Esta condição garante-nos o equilíbrio quanto ao movimento de translação, mas não garante o equilíbrio quanto ao movimento de rotação, pois o corpo pode rodar.
Consideremos o sistema de forças constituído por duas forças simétricas, com linhas de acção distintas ( binário ), aplicado em dois pontos distintos de um qualquer corpo rígido. As forças são anti-paralelas (mesma direcção mas sentidos opostos) e as suas intensidades são iguais; são forças simétricas. O sistema das duas forças tem resultante nula. O corpo não adquire movimento de translação.
1 2 0
G G G G
∑ F^ =F+F = ,^ mas a barra não está em
equilíbrio: RODA!
A capacidade de uma força de produzir rotação é medida por uma grandeza denominada momento da força (ou torque).
Contudo, o corpo começa a rodar, excepto quando as forças se encontram sobre a mesma recta (posição de equilíbrio). Ou seja, o corpo só fica em equilíbrio quando as rectas suporte dos vectores força coincidem, sendo o equilíbrio independente do ponto de aplicação das forças, i.e., se na posição de equilíbrio mudarmos o ponto de aplicação de uma das forças sobre a recta suporte comum, verifica-se que o equilíbrio se mantém (vectores deslizantes).
Momento de uma força (momento polar)
Como saber então se dois sistemas de forças não concorrentes aplicados a um sólido são ou não equivalentes? Ou se estão em equilíbrio? A resultante nula implica que não haja alteração do movimento de translação de um corpo. E o movimento de rotação?
Consideremos, agora, uma força F
G que actua num corpo rígido. O efeito dessa força sobre o corpo rígido depende, para além do módulo, da direcção e do sentido da força, do seu ponto de aplicação, A. A posição de A é definida
pelo vector r
G
, que une o
ponto fixo O com A ( r
G
é o vector-posição de A).
Define-se momento de uma força F
G em relação a um ponto O, M (^) FG ,O
G , como sendo o produto vectorial
SI: o momento de uma força é expresso em N.m
M (^) F ,O = r ¥F G
G (^) G G
M (^) O ⊥ para fora do papel Acção anti-horária M (^) O ⊥ para dentro do papel Acção horária
Podemos agora dizer que duas forças F
G e F'
G são equivalentes se, e só se, forem iguais (mesmos módulo, direcção e sentido) e tiverem momentos iguais em relação a um ponto O.
F
G = F^ ¢
G M (^) FG ,O = M (^) F¢G¢,O
G G (c.n.s.)
O momento resultante de um sistema den
forças Fi
G ( i = 1 ,...,n) em relação a um ponto O é
definido pela soma dos momentos de cada uma das forças em relação a esse ponto O.
M (^) O = (^) Â M (^) FG,O = (^) Âri ¥Fi
G G (^) G G
Muitas das aplicações que veremos referem-se a estruturas bidimensionais (i.e., estruturas com comprimento e largura mas com espessura desprezável), submetidas a forças contidas no plano da estrutura.
Exemplo: lâmina sob a acção de uma
força F
G :
M FG ,O= ±F d
M (^) FG ,O
G ⊥ plano do papel e
módulo
M FG ,O=F d
CONVENÇÃO DE SINAIS:
Teorema de Varignon
Se diversas forças
concorrentes F 1 ,^ F 2 ,...
G G , estão aplicadas num mesmo ponto A e
se denominarmos r
G
o vector posição de A, a propriedade distributiva do produto vectorial permite-nos escrever
M (^) RG ,O = r ¥ (^) ( F 1 + F 2 + ....) = r ¥ F 1 + r ¥ F + ... = M (^) FG 1 ,O + M (^) FG 2 ,O + ... = (^) ÂMFGi,O
G G G G G G G G G G G
i.e., o momento em relação a um ponto O da resultante de diversas forças concorrentes é igual à soma vectorial dos momentos das várias forças em relação ao mesmo ponto O.
Este resultado permite substituir a determinação directa do momento de uma força pela determinação dos momentos das suas componentes cartesianas.
Se, em particular, todas as forças forem co-planares e se O pertence a esse mesmo plano, todos os momentos têm a direcção perpendicular ao plano, e tem-se M^ RG ,O =^ ÂMFGi,O
Sistemas equivalentes
A equação r^ (^ F F )^ r R
G G G G G
× 1 + 2 +.... = × permite concluir que um sistema de
forças concorrentes pode ser substituído por uma única força, a sua resultante aplicada em A, que é sempre equivalente a esse sistema de forças concorrentes para efeitos de translação e de rotação.
Note que, em geral, o momento resultante de um sistema de forças,
F 1 , F 2 ,...
G G
, em relação a um ponto não coincide com o momento da
resultante das forças R
G
4.3. Momento de uma força em relação a um
eixo - momento axial
Consideremos de novo uma força F
G que actua num corpo rígido e o
momento M^ FG,O
G , dessa força em relação a O. Seja OL um eixo orientado
que passa por O.
Define-se momento M^ FG,OL
G da força F
G em relação a um eixo OL, como sendo a projecção vectorial OC do
momento M^ FG,O
G sobre o eixo OL.
Sendo o eixo OL orientado, podemos
definir um vector unitário^ λˆ^ na
direcção e sentido do eixo. A projecção do momento M^ F^ G,O
G
sobre o eixo
OL será então dada pelo escalar resultante do produto misto
M FG ,OL = lˆ^ M FG,O = lˆ ( r ¥F)
G G G
i i
e o momento da força em relação a um eixo é dado por
,OL ,OL
M F =MF l
G G
G
Com esta definição de momento axial pode demonstrar-se que a
projecção do momento da força F
G sobre o eixo OL será sempre a mesma, qualquer que seja o ponto considerado sobre o eixo OL.
O significado físico do momento
M (^) FG ,OL
G de uma força F
G em relação a
um eixo fixo OL torna-se claro se a
força F
G for decomposta em
componentes ortogonais F 1
G e F 2
G , uma paralela a OL e a outra num plano P normal a OL. Decompondo
analogamente r
G
, em componentes
ortogonais r 1
G e r 2
G , tem-se
,OL^1 2 1
1 1 1 2 2 1 2 2
M F r r F F
r F r F r F r F
l
l l l l
= È^ + ¥ + ˘=
Î ˚
G
G G G^ G
i
G G^ G G^ G G^ G G
i i i i
Verifica-se que todos os produtos mistos, excepto o último são nulos, pois envolvem vectores complanares quando traçados a partir de uma origem comum, e tem-se assim
M FG,OL = lˆ ( r 2 ¥F 2 )
G G
i
onde o produto vectorial r 2 F 2
G G
× é perpendicular ao planoP e
representa o momento da componente F 2
G
em relação ao ponto Q, onde o eixo intercepta o plano.
O escalar M^ FG^ ,OL mede a tendência de F 2
G
fazer girar o corpo rígido
em torno do eixo fixo OL.
O escalar M^ FG^ ,OL será positivo se r 2 F 2
G G
× e OL tiverem o mesmo
sentido, e negativo em caso contrário.
Desta definição de momento de uma força em relação a um eixo, conclui-se imediatamente que o momento de uma força em relação a um dos eixos coordenados é igual à componente do momento,
M (^) FG ,OL
G , segundo esse eixo!
Sistemas força-binário
Do exposto atrás, podemos definir o efeito de um binário sobre um corpo
rígido através do vector momento do binário, M
G
Se considerarmos agora uma força F
G qualquer actuando sobre um corpo
rígido, num ponto A definido pelo vector posição rA
G
. Se pretendermos que essa força actue num ponto O, arbitrário, podemos deslocá-la desde que acrescentemos ao corpo um binário de momento igual ao momento de
F
G em relação a O. A esta combinação chama-se sistema força-binário.
Redução de um sistema de forças a um sistema força-binário
Em geral um sistema de forças F 1 ,^ F 2 ,...
G G que actuam sobre os pontos A 1 , A 2 ,..., distintos, de um corpo rígido, não pode reduzir-se apenas à
resultante das forças aplicadas sobre o corpo: é necessário considerar os dois efeitos, o de translação e o de rotação. Verifica-se, no entanto, que um sistema de forças nestas condições poderá reduzir-se sempre a um sistema força-binário: para que o efeito de translação seja equivalente, escolhe-se como força a resultante das forças aplicadas sobre o corpo rígido, aplicada no ponto onde se irão calcular os momentos (garante-se assim que o momento da resultante será nulo); e para que a rotação seja também equivalente, escolhe-se um binário cujo momento seja igual ao momento resultante do sistema de forças.
Consideremos então um sistema de forças F 1 ,^ F 2 ,...
G G que actuam sobre os
pontos A 1 ,^ A 2 ,..., distintos, de um corpo rígido, definidos pelos vectores
posição r 1 ,^ r 2 ,...
G G Podemos então deslocar cada uma das forças para um ponto arbitrário O, desde que seja acrescentado um binário de momento M (^) F 1 ,O= r 1 ¥F 1
G (^) G G G em relação a O. Repetindo este procedimento para as
restantes forças, obtém-se o sistema ilustrado, constituído de forças que actuam em O e de binários. Note-se que os momentos M (^) FGi ,O^Fi
G G
mas que
O
MG^ RG não é normal a R^ G^.
Como as forças são agora concorrentes, podemos somá-las vectorialmente e substitui-las pela resultante. Analogamente, os momentos podem ser substituídos por um único vector binário, M (^) O^ R
G G
, o momento resultante.
Qualquer sistema de forças , por mais complexo que seja, pode assim ser reduzido a um sistema força-binário equivalente , que actua num dado ponto O, e é definido pelas equações
Este sistema força-binário equivalente caracteriza completamente o efeito do sistema de forças sobre o corpo rígido.
R = (^) ÂF i
G G
O i,O (^ )
R M = (^) Â M (^) F = (^) Â r ¥F
G G
G G G G
Casos particulares de redução de um sistema de forças
Quando 0
G G R = , o sistema força-binário reduz-se ao vector binário, M (^) O^ R
G G
O sistema de forças dado pode então ser reduzido a um só binário, denominado binário resultante do sistema.
Vejamos de seguida as condições nas quais um determinado sistema de forças pode ser reduzido a uma única força ou resultante. São sistemas
para os quais a força R
G e o vector M (^) O^ R
G G
são mutuamente perpendiculares. Embora esta condição não seja geralmente satisfeita pelos sistemas de forças no espaço, será satisfeita em alguns casos particulares, nomeadamente pelos sistemas constituídos por:
- Forças concorrentes;
- Forças complanares;
- Forças paralelas.
Forças concorrentes
São forças aplicadas num mesmo ponto e podem então ser adicionadas
directamente para a obtenção da resultante, R
G
. As forças concorrentes foram já largamente discutidas.
Forças complanares
A forças F 1 ,^ F 2 ,...
G G actuam todas no mesmo plano e portanto a resultante das forças do sistema também estará contida no plano definido pelas
forças F 1 ,^ F 2 ,...
G G , enquanto o momento de cada força em relação a O, e portanto o momento resultante, será normal a esse plano. Neste caso, o
sistema força-binário em O consiste numa força R
G e num vector binário R M (^) O
G G mutuamente perpendiculares.
Pode ainda mostrar-se que o sistema força-binário é redutível a uma única
força, R
G , deslocando-se R
G no plano da figura para um ponto A onde o seu momento em relação a O se torne igual a M (^) O^ R
G G
. A distância de O à linha
de acção de R
G é
O M^ R d R
=
G
Recordando a expressão do momento, escrita em termos das suas componentes cartesianas, tem-se M (^) O^ R= xRy - yRx
G , no caso bidimensional
(força no planoxOy). Torna-se assim possível determinar as coordenadas x ey do ponto de aplicação A da resultante.
4.5. Equilíbrio de um sistema de forças.
Equilíbrio estático de um corpo rígido
Equilíbrio de um sistema de forças
Dissemos já que um sistema de forças aplicado a um corpo está em equilíbrio se da sua aplicação não resultar nenhuma alteração no estado de repouso ou de movimento do corpo. Vimos também que se a resultante desse sistema for nula existe equilíbrio do sistema de forças quanto à translacção; e vimos ainda que o momento de um sistema de forças traduz a alteração do movimento de rotação. Se o momento for nulo o sistema de forças estará em equilíbrio quanto à rotação.
Um sistema de forças aplicado a um corpo está , portanto, em equilíbrio estático se tiver resultante nula e momento nulo.
Equilíbrio estático de um corpo rígido
O estudo do equilíbrio estático de um corpo rígido reduz-se à situação em que as forças externas que actuam sobre o corpo rígido formam um sistema de forças equivalente a zero.
É portanto condição necessária e suficiente para que um corpo rígido esteja em equilíbrio estático num determinado referencial, que se verifiquem, para qualquer ponto O,
ou seja, que
 Fi^ =^0
G G Â M^ FG i ,O =^0
G G
 Fi^ =^0
G G Â M^ FG i ,O =^0
G G
 Fi x^ , =^0 ∑ Fi^ , y=^0 ∑ Fi, z =^0 ∑ M^ i, x =^0 ∑ M^ i, y =^0 ∑ Mi, z =^0
4.6. Centro de forças paralelas. Centro de gravidade
Centro de forças paralelas
Consideremos o sistema constituído
unicamente pelas forças, F 1
G
e F 2
G
paralelas e do mesmo sentido. Este sistema tem resultante não nula, que pode
ser reduzida a uma única força, F
G
. Os momentos M (^) FG 1 ,O
G
e M (^) FG 2 ,O
G
são paralelos
entre si, e M (^) FG ,O = M (^) FG 1 ,O +MFG 2 ,O
G G G
é normal à
resultante do sistema, neste caso F
G
Pela equivalência de um sistema de forças, sabemos que este sistema é redutível a uma única força, e que tem de ter o mesmo momento em relação a um determinado ponto. Assim, a resultante do sistema de forças terá de estar aplicada num ponto bem determinado, para se garantir a igualdade dos momentos, e assim, a equivalência ao sistema de forças paralelas original. A determinação desse ponto pode ser efectuada pelo método gráfico, ou pelo método analítico.
Vejamos o método analítico: consideremos um ponto O qualquer, que fazemos coincidir com a origem de um sistema de eixos coordenados. O momento do sistema de forças em relação a esse ponto terá de igualar o momento da resultante do sistema de forças em relação ao mesmo ponto
O. Representando por r 1
G
, r 2
G
e r
G
, respectivamente os pontos de aplicação
relativamente à origem de F 1
G
, F 2
G
e da resultante F
G
, tem-se
M (^) FG,O = r 1 ¥ F 1 + r 2 ¥F 2
G (^) G G (^) G G e m^ =^ r^ ¥^ F
G G G com F^ =^ F 1 +F 2
G G G .
A condição de equivalência é que m^ =^ MFG,O
G G .
