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Quinto Capítulo
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
5.1. Introdução
As medidas de posição são aquelas que podem ser identificadas no eixo das abscissas. Estas medidas podem ser de tendência central ou separa trizes.
• As medidas de tendência central visam fornecer ao pesquisador informações
representativas do núcleo das observações de um fenômeno relativo a qualquer campo da atividade humana. As medidas de tendência central são a média aritmética, a mediana, a moda, a média geométrica e a média harmônica.
• As medidas separatrizes visam dividir um conjunto de informações em n partes iguais ou
não, a critério do pesquisador. Tais medidas são denominadas de medidas de posição porque podem ser visualizadas no eixo dos x.
5.2. Medidas Simples de Tendência Central
5.2.1. Média Aritmética
A média aritmética é o ponto de equilíbrio de uma série de valores assumidos por uma variável. Ela é o ponto de sustentação de uma variável, sendo definida, como o valor de melhor representatividade dos diversos valores assumidos por uma variável.
5.2.2. Mediana
A mediana é uma medida de tendência central que determina um valor que divide um conjunto numérico, em duas partes iguais. Praticamente, é a posição abaixo de ou acima da qual se situam 50% dos casos.
Dividindo-se um conjunto em duas partes iguais, aquela parte central é denominada de mediana. E a mediana é um valor que não se preocupa com o peso do número e sim com a quantidade de números assumidos por uma variável.
5.2.3. Moda
A moda é uma medida de tendência central definida como o valor de maior freqüência. A moda é aquele valor que mais se repete dentre os diversos valores de um conjunto. A moda é o valor preponderante, o valor dominante de um conjunto. Pode-se haver um rol que não possua moda como também pode haver um que possua mais de uma moda, mas toda a filosofia está em conjuntos unimodais.
5.3. Média Aritmética Simples
A média aritmética de números não tabulados é definida como o quociente entre a soma destes números e a sua quantidade. A média aritmética é representada por , que se lê “x barra”.
Sejam os valores x 1 , x 2 , x 3 ... xn então, define-se a média aritmética deste
conjunto como a razão existente entre a soma destes valores e a sua quantidade:
xi representa cada um dos valores do conjunto e n é a quantidade de números.
Observe que a média de um conjunto, multiplicada pelo tamanho da amostra, é igual á soma dos valores deste conjunto e n representará o tamanho da amostra.
Aplicação Conceitual 001
A variável X assume os valores 5, 7, 8, 10 e 15 e a variável Y assume os valores 4, 7, 11, 15, 20 e
- Determine a média aritmética de cada variável:
5.4. Mediana Simples
Dado um conjunto, em uma ordem de grandeza, a
mediana (Md) será o valor central quando n for ímpar
e será a média aritmética dos dois valores centrais, quando n for par.
Calcule a moda da variável X que assume os valores: 2, 2, 2, 5, 6, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12 e 18. Os números 2 e 9 repetem, cada um, três vezes. Então os valores de maior freqüência, são os
números 2 e 9. Eles representam a moda, os números dominantes. O conjunto é bimodal.
Aplicação Conceitual 006
Determine a moda do conjunto de valores: 4, 5, 6, 2, 8, 5, 7, 9, 9 e 10.
Neste conjunto há três modas: 5 e 9. Este conjunto é um conjunto bimodal.
A mediana é o número 6,5 e a média é igual a 6,5.
Observe que a média é única porque ela representa o ponto de equilíbrio do conjunto. A mediana também é única porque ela divide um conjunto em duas partes iguais mas a moda nem sempre é um valor único.
Aplicação Conceitual 007
Em uma amostra de trinta funcionários de uma empresa, levantou-se a variável tempo de serviço, em anos, cujos valores foram de: 2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 10, 10, 12, 12, 14, 14, 14, 14, 14, 16, 16, 17, 19, 22, 23, 23 e 24. Determine o tempo modal, o tempo mediano e o tempo médio de um funcionário.
O tempo modal é igual a 14 anos. A moda é o valor que mais se repete.
A rotatividade na Empresa é pequena e os funcionários gostam de trabalhar na Empresa. O tempo mediano é igual a 11 anos. Teoricamente, 50% dos funcionários têm um tempo de serviço de 2 a 11 anos e 50% terão de 11 a 24 anos. O tempo médio de um funcionário desta empresa é de 11, anos. O conjunto é unimodal.
A média é a menor das três medidas de tendência central, logo podemos perceber que há uma pequena rotatividade de funcionários, pois temos muitos funcionários velhos de casa.
5.6. Medidas Ponderadas de Tendência Central
5.6.1. Média Aritmética Ponderada
Se os valores x 1 , x 2 , ... x n de uma variável X ocorrem com as freqüências f 1 , f 2 , ... fn vezes,
respectivamente, então a média aritmética ponderada desta variável será:
f 1 + f 2 + f 3 + ... + f n = n. Sendo n o tamanho da amostra ou soma das freqüências.
Aplicação Conceitual 008
A variável X assume os valores 5, 8, 6 e 2 que ocorrerem com as freqüências 3, 2, 4 e 1, respectivamente. Calcule a média aritmética desta variável:
Aplicação Conceitual 009
Você foi encarregado de comprar vários lotes para construir a sede de sua Empresa. Você conseguiu comprar 8 lotes à R$ 70.000,00 cada, depois 15 à R$ 90.000,00 cada e por fim 7 lotes a R$ 100.000,00 cada. Qual é o preço médio de um lote?
Aplicação Conceitual 010
Um aluno obteve em matemática os graus 7, 8, 4 e 5 com os pesos 2, 3, 2 e 4, respectivamente. Qual será a sua média, nesta matéria?
Aplicação Conceitual 011
Os 4 níveis salariais da empresa Sol Nascente tiveram reajustes de 2%, 3%, 4% e 2% respectivamente. Nestes níveis, há na empresa 20, 70, 30 e 10 funcionários respectivamente.
5.7.1. Média Aritmética: Processo do Ponto Médio
Os pontos médios x 1 , x 2 , x 3 ... x n ocorrem com as freqüências f 1 , f 2 , f 3 ... fn , respectivamente, então define-se a média aritmética como a razão existente entre o somatório do produto de cada ponto médio pela respectiva freqüência e o somatório das freqüências. A média será definida por:
Em que n é o tamanho da amostra e fi, tanto representa a freqüência simples quanto relativa.
Aplicação Conceitual 015 A tabela abaixo retrata as exportações da Estrela do Norte em setembro/2006, Minas Gerais, em milhões de reais.
Empresa Estrela do Norte Exportações realizadas – Setembro / 2005 MG – R$ 1000,
Níveis Export Exportações fi
Valor Médio Xi Faturamento fi xi
Total 150 51. Fonte: DRH
Calcule o valor médio de uma exportação realizada pela empresa, em setembro deste ano.
Para calcular a média aritmética, devemos determinar em primeiro lugar, ponto médio de cada classe, representado por x i e em segundo lugar, efetuar o produto de cada ponto médio pela
respectiva freqüência simples. A soma deste produto ( fi xi) dividido pelo n que neste problema é
150 nos dará a média aritmética. Aplicando a fórmula:
Aplicação Conceitual 016
Calcule a amplitude total e o faturamento médio desta empresa.
AT = 640 – 140 = 500. A amplitude total é igual a 500 mil reais e o faturamento médio desta empresa, em setembro foi de: 51,3 milhões de reais.
Processo simplificado para o cálculo da Média Ponderada
Este processo consiste em definir uma classe para ser a origem arbitrária da distribuição. Esta classe terá um desvio nulo e os demais desvios serão definidos em unidades de classe. Na
Aplicação Conceitual 017
A tabela abaixo mostra as vendas da Empresa Atlântico Norte, em março/2006.
Vendas das Filiais da Empresa Atlântico Norte Março/2006. Em Mil de Dólares
Vendas Fi xi Zi Fi Zi 40 60 4 50 -3 12 60 80 7 70 -2 - 80 100 12 90 -1 - 100 120 15 110 0 0 120 140 10 130 1 10 140 160 8 150 2 16 160 180 4 170 3 12 Total 60 0 Fonte: DV
Observe que escolhemos a classe do centro para ser a origem, poderia ter sido uma outra classe. A classe origem tem um desvio, em unidade de classe, nulo. Mas na verdade esse desvio é definido pela razão existente entre a diferença de cada ponto médio e o ponto médio escolhido e o intervalo de classe.
O primeiro desvio será:(50 – 110) / 20 = -3 e o segundo desvio será: (70 – 110) / 20 = - 2 e assim
por diante.
A variável Z se desenvolve em unidade a unidade. São os desvios em unidades de classe. A escolha da origem é arbitrária e a média suposta é o ponto médio da classe origem.
Neste caso, temos os valores: X 0 = 110 n = 60 fizi = 0 h = 20
E a média será:
Uma filial desta empresa exportou, em março, em média, 110 mil dólares. O somatório do produto de cada freqüência pelo respectivo desvio foi nulo, logo a média será igual ao ponto médio da classe origem. Se este somatório fosse positivo, a média seria maior do que o ponto médio da classe origem e se negativo, seria menor do que o ponto médio da classe origem.
Mediana nas distribuições de Freqüências
Se o número total de freqüências for n, a mediana será um número tal que 50% dos valores de n caiam abaixo dele e 50% acima dele. A mediana vai dividir o nosso conjunto de observações em duas partes iguais. Para determinar a classe que contém a mediana, basta verificar qual é a primeira classe cuja freqüência acumulada crescente contém 50% dos casos, isto é, 50% de n, e através da fórmula:
Os dados da fórmula referem-se à classe que contém a mediana:
• lir = limite inferior rea da classe que contém a medianal;
• fi = freqüência da classe que contém a mediana;
• n = tamanho da amostra;
• Faca = freqüência acumulada anterior à classe que contém a mediana;
• h = intervalo da classe que contém a mediana.
Por outro lado, quando a freqüência acumulada coincide com o valor desejado, a mediana será o limite superior da respectiva classe. Observe que desejamos 40 casos e a freqüência acumulada
nesta classe é igual a 40, logo a mediana será o limite superior desta classe: Md = 210.
Moda nas Distribuições de Freqüências
Em uma distribuição de freqüências, a moda se encontra na classe de maior freqüência simples ou relativa. Neste caso, a moda é calculada pela fórmula de Czuber ou de King. Pela fórmula de Czuber, a moda é definida por:
Nesta fórmula, o lir representa o limite inferior real da classe modal. O valor do delta 1 é a diferença entre a freqüência modal e a freqüência da classe imediatamente anterior à classe modal:
O valor do delta 2 é a diferença entre a freqüência modal e a freqüência da classe imediatamente posterior à classe modal:
O valor do h representa o intervalo da classe modal, classe que contém a maior freqüência simples ou relativa, sendo a referência para aplicação da fórmula. A moda bruta é o ponto médio da classe modal.
Aplicação Conceitual 019
Determinar o valor modal das exportações realizadas pela Empresa Mares do Sul, no primeiro trimestre de 2006, Paraná, conforme informações da tabela anterior.
Observe que a maior freqüência simples está registrada na 3ª classe da tabela do problema anterior. Então a 3ª classe define a classe modal: 190 à 210, porque tem a maior freqüência simples.
Então: 1 = fm - fa = 20 - 12 = 8 2 = fm - fp = 20 - 16 = 4lir = 190 h = 20
Logo a exportação modal foi de 203,33 milhões de dólares.
Em uma distribuição de freqüências, se a freqüência simples da classe anterior à classe modal for maior do que a freqüência simples posterior à classe modal, a moda não ultrapassa o ponto médio da classe modal mas se a freqüência posterior à classe modal for maior, a moda ultrapassa o ponto médio da classe modal.
Propriedades da Média Aritmética
Primeira Propriedade
A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números, em relação à média, é zero. O desvio de um número com base na média é a diferença entre este número e a média:
Para calcular o desvio de cada número, necessitamos da média aritmética do conjunto.
Aplicação Conceitual 020
Sejam os valores de uma variável X: 6, 4, 8, 5 e 7. Calcule a média aritmética desta variável.
Os desvios, em relação à média, serão:
d 1 = 6 - 6 = 0 d 2 = 4 - 6 = - 2 d 3 = 8 - 6 = 2 d 4 = 5 - 6 = - 1 d 5 = 7 - 6 = 1
O somatório destes desvios é nulo: 0 + (- 2) + 2 + (- 1) + 1 = 0
Segunda Propriedade
Se P1 números têm média M 1 , P 2 têm média M 2 ... P K números têm média MK , então a média aritmética desta variável será:
Terceira Propriedade
Somando-se ou subtraindo-se uma constante de cada um dos valores de uma variável, a média ficará somada/subtraída desta constante.
Se: = 5 e = 3, então:
Para aplicar propriedade, as variáveis devem ter mesmo tamanho e que a soma ou diferença seja respectiva.
Aplicação Conceitual 024
A variável x é formada pelos valores 3 e 5. A média da variável será:
A variável y é formada pelos valores 7 e 9. A média da variável será: = (7 + 9) / 2 = 8
A soma aleatória das variáveis x e y será a variável K. A variável será: K = 3 + 7 = 10 e 5 + 9 = 14
A variável K é formada pelos valores 10 e 14.
A média da variável K será igual a: K = (10 + 14) / 2 = 12. Então:
Aplicação Conceitual 025
As vendas da Empresa Saracura, neste mês, foram de 600 mil reais. Para o próximo mês, as perspectivas indicam que as vendas desta empresa devem alcançar uma queda de 10%. Qual será a tendência das vendas desta empresa para o próximo mês?
Uma queda de 10% é igual ao fator 0,9 e uma evolução de 20% é igual ao fator 1,2. O valor final
será:
VF = VP (1 + i)n^ VF = 600 (-0,10 + 1)^1 VF = 600 x 0,9 = 540
Aplicação Conceitual 026
Os gastos diversos do Empresa Patriacol, envolvendo a produção mensal do produto TKJ, neste mês, foram de 600 mil reais quando alcançaram, neste mês de julho, um aumento de
20%. Qual foi a soma dos gastos desta empresa no mês anterior? Temos o valor futuro e
desejamos o valor presente. VF = VP (1 + i) n^ 600 = VP(0,2+1) 1 600 = VP(1,2) VP = 600/1,
Aplicação Conceitual 027
As vendas da Empresa Lorret, neste mês, foram de 600 mil reais quando alcançaram, neste mês, uma queda de 20%. Qual foi o faturamento da Empresa no mês passado?
Observe que agora temos o valor futuro e desejamos o valor do mês anterior, além de uma queda
nas vendas de 20%, então: VF = VP (1 + i)n^ 600 = VP(-0,2 + 1)^1 600 = VP (0,8)
O valor presente será: VP = 600/0,8 = 750
Aplicação Conceitual 028
A variável aleatória X representa o tempo de serviço dos funcionários de uma empresa. Esta
variável tem média igual a 20. A variável aleatória Z é definida por:
Calcule a média da variável Z. Vamos transformar a variável X em uma variável Z, de acordo com
o conceito dado. Se você tem a média da variável implícita no conceito de uma outra, basta substituir o valor na equação. Neste caso, estaríamos aplicando as propriedades da média. Se multiplicarmos uma variável por uma constante, a média ficará multiplicada pela respectiva constante e se somarmos uma constante, a média ficará somada pela constante. Então podem-se
concluir que a média da variável Z será:
A) 810.000 e 40. B) 820.000 e 41. C) 830.000 e 41. D) 840.000 e 42. E) 830.000 e 41. Problema 005 Se o preço de cada lote for reajustado em 10%, os gastos da empresa para aquisição destes lotes bem como o novo preço médio de um lote serão de A) 891.00 e 44. B) 913.000 e 45. C) 902.000 e 45. D) 824.000 e 46.
Os problemas 006 e 007 serão resolvidos com base nestas informações. A Empresa Rio Comprido produz o produto KKI e possui a seguinte estrutura de preço e custo: O seu preço de venda é de R$ 200,00 por unidade faturada. Os custos variáveis são de R$ 140,00 por unidade e custos fixos são, em média, a cada mês, de R$ 120.000,00.
Problema 006 Leia as afirmativas e marque a letra que indica a opção correta. I) Para alcançar um lucro bruto de 20% sobre as vendas, a empresa deverá produzir 6. unidades. II) As perspectivas de faturamento desta empresa, com esta produção, serão de R$ 1.200. quando definirá uma perspectiva do custo variável, com esta produção, de R$ 840.000. A) se apenas o item I estiver correto B) se apenas o item II estiver correto. C) se os itens I e II estiverem corretos D) se os itens I e II estiverem incorretos.
Problema 007 Leia as afirmativas e marque a letra que indica a opção correta I) As perspectivas do custo dos produtos vendidos serão de R$ 960.00O quando a empresa alcançará um preço médio de custo bruto de R$ 160, II) O lucro bruto da empresa será de R$ 240.000,00 quando alcançará um lucro bruto per capta de R$ 40,00. III) Para estabelecer o ponto de equilíbrio, a empresa deverá produzir 2.500 unidades. A) se apenas o item I estiver incorreto B) se apenas os itens I e II estiverem corretos. C) se os itens I e III estiverem corretos D) se apenas o item III estiver correto.
Problema 008 Em uma pesquisa realizada na Empresa Costilar, verificou-se que os homens têm um salário médio de R$1.500,00 e as mulheres têm um salário médio de R$2.000,00. O salário médio de um funcionário da empresa é de R$1.600,00. O percentual de mulheres que trabalha nesta empresa é de. A) 20,0% B) 30,0%
C) 40,0%
D) 50,0%
Os problemas 009 e 010 serão resolvidos com base nas informações abaixo. Marque a opção correta Numa sala de reunião há quatorze funcionários entre os quais quatro são gerentes. Numa pesquisa realizada entre os integrantes desta reunião, verificou-se que o salário médio de um funcionário desta amostra é de R$ 1.700,00. Com a saída dos gerentes, o salário médio dos funcionários que ficaram na sala, passou para R$ 1.400,00.
Problema 009 O salário médio de um gerente envolvido nesta reunião será de A) 1.800, B) 1900, C) 2.000, D) 2.450, Problema 010 Se a empresa tivesse 70 funcionários, entre os quais 10 gerentes, as perspectivas de gastos salariais e do salário médio de um funcionário desta empresa serão de A) 108.500 e 1.542, B) 108.500 e 1.550, C) 102.500 e 1457, D) 93.500 e 1500, E) 108.500 e 1520,
Problema 011. Em uma empresa há 15 diretores. Neste mês um dos diretores se aposentará e será substituído por outro que terá um salário de 5.000,00. Com isto, o salário médio dos diretores reduziu em 300,00. O salário do diretor que está se aposentado será de A) 5.300, B) 6.100, C) 7.600, D) 8.400, E) 9.500,00.
Problema 012 Na Empresa Valtender há três departamentos. No departamento A, há dez funcionários com um salário médio de R$ 500,00 cada. No departamento B, há vinte funcionários com um salário médio de R$ 700,00 cada e no departamento C, há quinze funcionários com um salário médio de R$ 1.200,00 cada. A empresa reajustará os salários por departamento em 8%; 10% e 12%, respectivamente. Leia as afirmativas abaixo, faça os seus cálculos e marque a falsa.
A) O gasto médio da empresa, com salários antes do reajuste, foi de R$ 37.000,00 e depois foi de
R$ 40.960,00.
B) A repercussão média percentual, destes reajustes, na folha de pagamento foi de 10,70%.
C) O salário médio de um funcionário antes do reajuste foi de R$ 822,22 e depois foi de R$ 910,22.
D) Com os reajustes, os gastos salariais da empresa cresceram, em média, 10%.
