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Universidade Federal de Goiás
Instituto de Matemática e Estatística
Prof(a): Deysquele Ávila [email protected]
Lista de Exercícios
Aluno\Matrícula: Curso: Disciplina: Data de entrega
Engenharia Civil Cálculo Numérico 31 de outubro 2024
- Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Eliminação de Gauss.
2 x + 2y + 3z + w = 7
x − y + 2z − w = 1
3 x + 2y − 3 z − 2 w = 4
4 x + 3y + 2z + w = 12
- Escolha o método mais adequado e resolva o sistema
x 1
x 2
x 3
Se A=LDU , como fica a resolução de Ax=b?
Trabalhando com arrendondamento para dois dígitos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de
Fatoração LU, sem e com pivotamento parcial. Disserte sobre os resultados obtidos.
1 , 5 x 1 + 0, 5 x 2 = 2, 5
0 , 5 x 1 + 2x 2 = 3
- Sejam as matrizes A =
B^ =
x^ =
y^ =
. Calcule:
b) Ax
c) AB
d) x
T y
e) xy
T
- Verifique que (A + B)
T = A
T
T , utilizando as matrizes A e B do exercício anterior.
- Dado o vetor x = (1 2 3 4)
T , calcular
a) ∥x∥ 1
b) ∥x∥ 2
c) ∥x∥ ∞
- Dada a matriz A =
calcular
a) ∥A∥ 1
b) ∥A∥ ∞
- Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Eliminação de Gauss e considerando duas casas decimais.
a)
x 1 − 3 x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 17
− 8 x 1 + 4x 2 − 1 x 3 = 29
3 x 1
− 2 x 3
x 1
− 4 x 4
b)
− 2 x 1
5 x 1 + x 2 − x 3 = − 1
x 1 + 6x 2 + 3x 3 − x 4 = 0
4 x 1 + 5x 2 + 2x 3 + 8x 4 = 6
- Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Decomposição LU e considerando duas casas decimais.
a)
2 x 1
− 3 x 3
x 1
4 x 1 − 1 x 2 + 9x 3 = 29
b)
4 x 1
− 1 x 2
x 1 + 6x 2 + 2x 3 − 3 x 4 = 7
5 x 1 + 5x 2 + x 3 = 18
2 x 1 + 4x 2 − 2 x 3 + x 4 = 8
- Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Cholesky e considerando duas casas decimais.
a)
x 1
− 6 x 2
− 6 x 1 + 29x 2 − 7 x 3 = − 8
3 x 1 − 7 x 2 + 18x 3 = 33
b)
4 x 1 − 2 x 2 + 4x 3 + 10x 4 = 2
− 2 x 1 + 2x 2 − 1 x 3 − 7 x 4 = 2
4 x 1 − 1 x 2 + 14x 3 + 11x 4 = − 1
10 x 1 − 7 x 2 − 11 x 3 + 31x 4 = − 2
- Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com x
0
i
= 0 ∀i. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser
utilizado.
a)
3 x 1 + x 2 = 5
x 1 + 4x 2 = 6
com ε = 0, 5
b)
10 x 1
− x 2
−x 1 + 11x 2 − x 3 = 25
2 x 1 − x 2 + 10x 3 = − 11
com ε = 0, 5
c)
5 x 1 + 2x 2 + x 3 = 12
3 x 1
− 2 x 3
x 1
− 2 x 2
com ε = 2, 4
- Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Consi-
dere com x
0
i
= 0 ∀i.
a)
4 x 1 + x 2 = 11
x 1
Com ε = 0, 4
b)
10 x 1 + x 2 + x 3 = 12
2 x 1 + 10x 2 + x 3 = 13
2 x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 14
Com ε = 0, 3.
c)
8 x 1
− 3 x 2
4 x 1
− x 3
6 x 1 + 3x 2 + 12x 3 = 36
Com ε = 0, 2
- Um engenheiro civil está projetando uma estrutura de suporte para um telhado em uma construção. A estrutura é composta por três vigas e um
suporte central. Cada viga é submetida a diferentes forças devido ao peso do telhado e a cargas externas, como vento, que exerce uma carga
horizontal de 4 kN sobre a estrutura. O telhado exerce uma carga total de 12 kN. Sabe-se que a estrutura está em equilíbrio. Determine as forças
em cada viga e no suporte central, de modo que o projeto esteja nos pradões de segurança da estrutura. Modelagem do problema: Analisando as
forças de compressão e tração nas vigas temos que F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = 12. O suporte central ajuda a resistir ao vento, portanto, F 1 − F 2 + 1/ 2 F 4 = 4.
O momento em relação ao superte central nos fornece que 1 / 2 F 1
− 1 / 2 F
2
− 3 / 4 F
3
= 0, Considerando a resistência do suporte central determine o
sistema de equações que resolva o problema e assim determine as forças em cada viga e no suporte central.
- O método da bisseção pode ser aplicado sempre que f (a)f (b) < 0 , mesmo que f (x) tenha mais que um zero em (a, b). Nos casos em que isto ocorre,
verifique, graficamente, se é possível determinar qual zero será obtido por este método.
- Considere a função f (x) = x
3 − x − 1. Resolva pelo método do ponto fixo com a função iteração φ(x) =
1
x
1
x
2 e^ x 0 = 1.
- Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações, com precisão ε = 10
− 4
a) x/ 2 − tg(x) = 0
b) 2 cos(x) = e
x / 2
c) x
5 − 6 = 0
d) x
3 − 2 x
2 − 3 x + 10 = 0
- O valor de π pode ser obtido através da resolução da equação cos(x)+1=0. Aplique o método de Newton com x 0 = 3 e precisão de 10
− 7 .
- O polinômio p(x) = x
5 −
10
9
x
3
5
21
x tem cinco zeros reais no intervalo (− 1 , 1). Considerando uma precisão ε = 10
− 5 , encontre cada raiz pelo método
que se pede:
a) x 1 ∈ (− 1 , − 0 .75) pelo método de Newton, com x 0 = − 0. 8.
b) x 2 ∈ [− 0. 75 , − 0 .25] pelo método daposição falsa.
c) x 3 ∈ [− 0. 25 , 0 , 25] pelo método da bissecção.
d) x 4
∈ [0. 2 , 0 .6] pelo método MPF, com x 0
e) x 5
pelo método da secante, com x 0
= 0. 8 e x 1
- Usando a regra de Descartes e o Teorema 5, verifique se a equação p(x) = 3x
5 − x
4 − x
3
- x + 1 = 0 pode ter duas raízes no intervalo [0, 1].
- Usando a sequência de Sturm, verifique que a equação p(x) = 3x
5 − x
4 − x
3
- x + 1 = 0 pode ter duas raízes no intervalo [0, 1].
