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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SÃO PAULO
LICENCIATURA EM FÍSICA - MATEMÁTICA APLICADA ÀS CIÊNCIAS II
Profª. Wania Tedeschi Porque a necessidade de logaritmos? O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século XVII, quando já era extremamente necessário facilitar os trabalhosos cálculos trigonométricos da Astronomia e da Navegação. A idéia básica era substituir operações mais complicadas, como multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição e subtração. Os principais inventores dos logaritmos foram o suíço JOOST BÜRGI (1552-1632) e o escocês JOHN NAPIER (ou NEPER) (1550-1617), cujos trabalhos foram produzidos independentemente um do outro. As primeiras tábuas de logaritmos de Neper apareceram em 1614, em Edimburgo, ao passo que as de Bürgi só vieram à luz em 1620, em Praga, onde ele trabalhava como assistente de Kepler. Portanto, quando Bürgi publicou suas tábuas, as de Neper já eram conhecidas em toda a Europa. No entanto, é provável que Bürgi tivesse concebido os logaritmos antes mesmo que Neper. Os logaritmos foram reconhecidos como uma invenção realmente extraordinária logo após a publicação de Neper em 1614. Convém mencionar que esses primeiros logaritmos neperianos tinham sérios inconvenientes e foram logo modificados por ele mesmo e por HENRY BRIGGS (1561-1631), um dos primeiros e mais ardentes entusiastas do trabalho de Neper. O resultado foi o aparecimento dos logaritmos de Briggs, ou logaritmos decimais. Briggs publicou sua primeira tábua em 1617; depois, em versão bem mais ampliada, em 1624. A invenção dos logaritmos teve um impacto decisivo no desenvolvimento científico e tecnológico. O astrônomo Kepler (1571-1630) saudou essa invenção como uma bênção e um alívio para o astrônomo, que iria aumentar consideravelmente sua capacidade de computação. E empregou largamente esse novo instrumento nos cálculos que o levaram a descobrir sua 3 .ª lei planetária. Os logaritmos decimais de Briggs sugeriam a definição que nos é familiar hoje:
O logaritmo de um número N numa base a é o expoente r a que se deve elevar a base
para se obter N, isto é, N = a r . Mas essa concepção não aparece nos trabalhos de Neper e Briggs, mesmo porque no tempo em que eles viveram ainda não se usavam expoentes fracionários e irracionais. 0 esquema original de Neper é complicado e não será explicado aqui. Como foram construídas as tábuas de Briggs
Antes de tudo lembremos que estamos falando apenas dos logaritmos decimais, isto é, logaritmos na base 10. A tabela a seguir é um exemplo de como eram compostas as tábuas de logaritmos. Extrato da tabela de logaritmos decimais x log x 10 1/^2 = 3 ,16228 0, 10 1/4^ = 1 ,77828 0, 10 1/8^ = 1 ,33521 0, 10 1/16^ = 1 ,15478 0, 10 l/32^ = 1 ,07461 0, 10 l/64^ = 1 ,03663 0, 10 1/128^ = 1 ,01815 0, 10 1/^256 = 1 ,00904 0, Quer dizer que se log 3,16228 = 0,5 então 10 0,5^ =3,16228, ou melhor, a 10 ^3 ,^162228. Com esse mecanismo era possível conhecer inúmeros cálculos que eram bastante complicados para a época, pois se pode variar esses resultados, vejamos um exemplo: log 3,16228 = 0,5 pois 10 0,5^ =3,16228 10 ^3 ,^162228. log 31,6228 = 1,5 pois 10 1,5=10.3,16228 = 31,6228 1000 ^31 ,^62228. log 316,228 = 2,5 pois 10 2,5=100.3,16228 = 316,228 100000 ^316 ,^2228. e assim por diante. Os resultados foram simplificados também porque várias propriedades foram verificadas, como por exemplo: utilizando os resultados já obtidos na tabela acima e a propriedade fundamental 10.100, 100.100,
Como vimos na história acima, 1020 é um número muito grande, eis aqui um outro número fantasticamente grande: 1075 , calculado como superior ao número de todos os átomos existentes no universo atualmente conhecido, aí incluídas todas os 100 bilhões de galáxias nele existentes. Ora, o universo como o conhecemos hoje possui cerca de 18 galáxias para cada um dos mais de 5 bilhões de habitantes do planeta! Como cada galáxia, por sua vez, possui cerca de 100 bilhões de estrelas, se repartíssemos todas essas estrelas com os habitantes que hoje vivem no planeta Terra, tocaria para cada um cerca de 18 x 100 bilhões de estrelas! O Logaritimo e a Exponencial Números grandes como esses são fruto da função exponencial. Estamos aqui falando de exponenciais como 10 x^ e 2 x. Existe uma função exponencial fundamental, que dá origem a todas as outras, por isso mesmo chamada a exponencial, dada por y = ex, onde e é um número aproximadamente igual a 2,7 (2,718281828...), chamado base dos logaritmos naturais e podemos denotar como: log (^) e y x que é o mesmo que escrever ln y x Pois bem, quando o logaritmo e a exponencial são ensinados no 2.° grau, é costume fazer o gráfico dessas funções. Mas, infelizmente, esse "aspecto funcional" não é devidamente enfatizado. O ensino continua sendo feito como se "logaritmo" fosse apenas um instrumento de cálculo à moda antiga. E nem sempre o aluno é devidamente alertado para o crescimento tão rápido da exponencial com o crescer da variável x , ou para o crescimento tão vagaroso do logaritmo. Os livros mostram os gráficos dessas funções, porém, sem analisá-los em muitos de seus aspectos interessantes. Vejam aí esses gráficos, na Fig. 1, que estão juntos para exibir claramente o fato de que um é o simétrico do outro em relação à reta y = x, já que as funções x y = ex^ e x y = ln x são inversas uma da outra.
Agora vamos analisar o tipo de crescimento fazendo uma tabela (mostrada logo adiante), pondo numa primeira coluna alguns valores de x, numa segunda coluna vamos pôr os valores correspondentes da função y = x^2 , só para efeito de comparação; e, finalmente, numa terceira e última coluna listamos os valores correspondentes de y = ex^. Vamos usar a mesma unidade de comprimento nos dois eixos, veja a tabela com valores arredondados:
x y = x^2 y = ex
0 0 1 cm
3 4 20 cm
5 25 148 cm
10 100 220 m 22026 cm
15 225 33 km
20 400 4 852 km
30,3357 920 distância da Terra ao Sol
41,39 1713 1 ano-luz
