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Exercicio de Flexao Simples Exercicio de Flexao SimplesExercicio de Flexao SimplesExercicio de Flexao SimplesExercicio de Flexao SimplesExercicio de Flexao Simples
Tipologia: Exercícios
1 / 18
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Professores : ARMANDO LOPES MORENO JR.
MARIA CECILIA AMORIM TEIXEIRA DA SILVA
Monitoras PED: SUSANA DE LIMA PIRES - 2005
MARCELLE ANDRADE COSTA - 2004
Monitor PAD: RODOLFO GONÇALVES FURTADO LIMA - 2006
1- Calcular e detalhar a armadura longitudinal para a viga de concreto armado abaixo,
na seção de maior momento, dimensionando-a como peça sub-armada.
2 E (^) s = 21000 KN/cm
f (^) ck = 30 MPa
c = 3 cm
γf = 1,
γc = 1,
γs = 1,
Estribo φ5.0mm
a) Cálculo do momento:
q.l M 1,
2 2
d =^ = M^ d =^140 KN.m=^14000 KN.cm
b) Características da seção:
Seção retangular Æ A (^) c =0,8.x.bw
Adotando ⎩
d' 5cm
d 35cm
c) Características dos materiais:
Concreto: f (^) ck = 30 MPa
2
c
ck cd 21 ,^43 MPa^2 ,^14 KN/cm 1,
γ
f f = = = =
Armadura: CA-
2 f (^) yk = 500 MPa= 50 KN/cm
2
s
yk yd 43 ,^5 KN/cm 1,
γ
f f = = =
f ε s
yd yd = = = =
2,
2,
d x
x
3,
3,
d x
x
x (^) 2,3 = 0 ,35d− 0 , 35 x 2,3 0,207x (^) 3,4 = 0 ,35d− 0 ,35x3,
x (^) 2,3 = 0,259d x (^) 3,4 = 0 , 628 d
x (^) 2,3 = 9,1cm x (^) 3,4 =21,98cm
d) Cálculo da armadura:
50KN/m
400 cm
435
0,207 1
σ (^) s(Mpa)
ε s (^) (%)
2
3
4
x (^) 2,
x (^) 3,
0,35%
0,207%
1%
20cm
40cm
¾ Domínio 2 ou 3
¾ Armadura tracionada escoando Æ σ (^) s =fyd
x (^) 2,3 = 0,259d x (^) 3,4 = 0 , 628 d
x (^) 2,3 = 8 , 55 cm x (^) 3,4 = 20 , 72 cm
Equação de equilíbrio para o momento: (2ª equação)
M (^) d =Rc.zc=Acσc(d−0,4x)
c
2
d k
bw.d M =
bw.d k
2
d
2
c = = =
Pela tabela 1 temos: β (^) x = 0 , 57 Æ Como βx =0,57>0,5 →βx=0,
⎩
x 16 , 5 cm
x βx.d
Domínio 3!! ---- Armadura dupla.
Md = Rczc+Rs (d-d´)
Md = Md1 +ΔMd
Md1 = Rczc = 0,8.x.bw.0,85.fcd.(d-0,4.x)
= 0,8.16,5.20.0,85.2,14.(33-0,4.16,5) = 12694,62KN/cm
2
Ou pela tabela 1 para βx = 0,5 → Kc = 1,716 → Ks = 0,
k
bw.d M
2
1 c
2
d1 =^ → M^ d = = KN/cm
2
Equação de equilíbrio para a força normal: (1ª equação)
0 =Rc1 −Rs
0 =Ac1 .σc1−As1.σ s
0 =0,8.x.bw.0,85.fcd −As1.σ s
0 =0,68.bw.fcd .d.βx−As1.σ s
s1 s x
d A .σ d.(1 0,4β )
σ.d.(1 0,4β )
s x
d s −
σ.(1 0,4.β )
k s x
s −
d
A k
d s1 = s =
2 A (^) s1 = 11 , 15 cm
M (^) d =Md1+ΔMd
14000 = 12694 , 62 +ΔM d
ΔM (^) d = 1305 , 38 KN.cm
ΔM (^) d = Rs2(d−d' ) ΔM (^) d =Rs'(d−d')
ΔM (^) d =As2.σs(d−d' ) s
s σ
k = ΔM (^) d = As'.σs'(d−d') σ '
k' s
s =
(d d' )
d s2 2 −
= k (^) s (d d')
d s −
= ks
Pela tabela 2 temos: k (^) s2 = 0 , 023 Pela tabela 3 – para βx=0,5 e η=0,
k (^) s '= 0 , 023
A (^) s2 0 , 023 −
A (^) s ' 0 , 023 −
2 A (^) s2 = 1 , 07 cm
2 A (^) s '= 1 , 07 cm
2 A (^) s =As1+As2= 11 , 15 + 1 , 07 = 12 , 22 cm
Portanto:
2
2 A (^) s '= 1 , 07 cm Æ 2 φ 10mm
g) Verificação do d e detalhamento:
d (^) real = 40 − 3 −0,5− 2 − 3 / 2 = 33 cm
d (^) real = d adotado OK!
Verificação do a (^) h
agregmáx mm mm cm
barra mm cm
mm cm
a (^) h
a (^) h = (20-2.3-2.0,5-2.2) = 9 cm → OK!
3
40cm
20cm
4 φ 20mm
o o
Armadura: CA - 40 2 f (^) yk = 400 MPa= 40 KN/cm
2
s
yk yd 34 ,^78 KN/cm 1,
γ
f f = = =
f ε s
yd yd = = =
2,
2,
d x
x
3,
3,
d x
x
x (^) 2,3 = 0 ,35d− 0 , 35 x 2,3 0,166x (^) 3,4 = 0 ,35d− 0 ,35x3,
x (^) 2,3 = 0,259d x (^) 3,4 = 0 , 678 d
x (^) 2,3 = 9,1cm x (^) 3,4 =23,73cm
Cálculo da armadura:
a Tentativa:
Armadura escoando σ (^) s =fyd
Equação de equilíbrio para o momento:
M (^) d =Rc.zc=Acσc(d−0,4x)
M (^) d =0,8.x.bw.0,85.fcd.(d− 0,4.x)
M (^) d = 0,68.x.bw.fcd.(d− 0,4.x) d
x βx =
M 0,68.bw.f .d .βx(1 0,4.βx )
2 d =^ cd − 0,68.f .β (1 0,4.β )
k cd x x
c −
c
2
d k
bw.d M = 0,68.1,43.β (1 0,4.β )
x − x
bw.d k
2
d
2
c =^ = = β^ x1 =^2 ,^12 Falso!!^ βx1 <^1 ,^0
β (^) x2 = 0 , 372
β (^) x = 0 , 372 Æ ⎩
x 13 , 05 cm
x βx .d Domínio 3 – Hipótese falsa!
a Tentativa:
2 = − x + x − d
x βx =
2
x 1 = 13,75 cm→ β (^) x1 = 0 , 4 Æ Dentro do intervalo Æ OK!!
x 2 = 73,74 cm → β (^) x1 = 2 , 10 Æ Fora!
Equação de equilíbrio para a força normal:
0 =Rc - Rs
0 =Ac .σc-As.σ s
0 =( 3. 10. 20 )]. 0 , 85. 1 , 43 + 20 , 35. 34 , 78 − As. 34 , 78
As. 34 , 78 =[ 32. 13 , 9 + 600 ]. 1 , 43. 0 , 85
2 A (^) s = 36 , 51 cm
Portanto:
2
Verificação do d e detalhamento:
35 , 50 cm 2
d (^) real = 40 − 3 −0,5− =
d (^) real > d adotado OK!!!
Verificação do ah
agregmáx mm mm cm
barra mm cm
mm cm
a (^) h
a (^) h = (100-2.3,0-2.0,5-14.2,0)/13 = 5 cm → OK!
2 σ (^) s = 40KN/cm
2 σ (^) s =fyd=43,5KN/cm
d x
x
1,0x = 0 , 32 d− 0 , 32 x
x = 0 , 24 d
d
x βx = =
M 0,68.bw.f .d .βx.(1 0,4.βx )
2 d = cd −
5600 0,68.15,1,79.d .0,24.(1 0,4.0,24)
2 = −
d = 37 , 6 cm
d.(1 0,4.β )
A.σ
x
d s s −
A (^) s .43, −
2 A (^) s = 3 , 79 cm
Portanto:
2
g) Detalhamento:
42cm 2
h =d+ 4 +0,63+ =
forma está não pode ser considerada uma situação aceitável de dimensionamento.
d’
d
x
1%
0,32%
42cm
15cm
2 φ16mm
x (^) 2,3 = 9,1cm x (^) 3,4 =21,98cm
d) Cálculo da armadura:
a Tentativa:
Armadura escoando σ (^) s =fyd
Equação de equilíbrio para o momento:
M (^) d =Rc.zc=Acσc(d−0,4x)
M (^) d =0,8.x.bw.0,85.fcd.(d− 0,4.x)
M (^) d = 0,68.x.bw.fcd.(d− 0,4.x) d
x βx =
M 0,68.bw.f .d .βx(1 0,4.βx )
2 d = cd −
10631 , 25 0 , 68. 15. 1 , 43. 35 ( 1 0 , 4. )
2
Então βx =1,54 (domínio 5 – incompatível)
Ou βx =0,96 (domínio 4).
Mas βx =0,96 ≥ 0,5, portanto deve-se REDIMENSIONAR!
a Tentativa:
x'-d'
x'
x'- 5
x'
x'- 5
x' = 12 , 24 cm
OK! Escoamento inicia no domínio 3!
Armadura comprimida escoando Æ σ (^) s '=fyd'
Adotando x = 12 , 24 cm
Equação de equilíbrio para o momento:
M (^) d =Rc.zc+Rs(d-d')
M (^) d =Md1+ΔM d
M (^) d1 =Rc1.z c
M (^) d1 =0,8.x.bw.0,85.fcd.(d− 0,4.x)
M 0,68.bw.f .d .βx(1 0,4.βx )
2 d1 = cd −
c
2
d k
bw.d M =
d
x βx = = = Pela tabela 1 temos: k 0 , 027
k 3 , 42
s
c
=
2
2
c
2
d1 5372 ,^81 KN/cm 3,
k
bw.d M = = =
Equação de equilíbrio para a força normal:
0 =Rc1 −Rs
0 =Ac1 .σc1−As1.σ s
0 =0,8.x.bw.0,85.fcd −As1.σ s
0 =0,68.bw.fcd .d.βx−As1.σ s
s1 s x
d A .σ d.(1 0,4β )
σ.d.(1 0,4β )
s x
d s −
σ.(1 0,4.β )
k s x
s −
d
A k
d s1 = s =
2 A (^) s1 = 4 , 15 cm
M (^) d =Md1+ΔM d
8400 = 5372 , 81 +ΔM d
x’
0,
ε S
d’ ‘
5- Dimensionar a armadura para a seção dada, sujeita a um momento fletor em serviço
de 60 KN.m:
f (^) ck =20MPa
c =2,5cm
2 E (^) s =21000KN/cm
γc = 1,
γf = 1,
γs = 1,
i) Cálculo do momento:
M (^) d =1,4.MK= 1 , 4 .60KN.m=84KN.m= 8400KN.cm
j) Características da seção:
0 x 6 , 25 cm
0 y 5cm Æ Seção retangular
6 ,25cm x 12 , 5 cm
5cm y 10 cm Æ Seção vazada
1 2,5cm x 25 cm
10cm y 20 cm Æ Seção vazada
2 5cm x 37 , 5 cm
20cm y 30 cm Æ Seção vazada
3 7,5cm x 50 cm
30cm y 50 cm Æ Seção vazada
Adotando ⎩
d' 5cm
d 45cm
k) Características dos materiais:
Concreto: f (^) ck = 20 MPa
2
c
ck cd 14 ,^3 MPa^1 ,^43 KN/cm 1,
γ
f f = = = =
M
20cm
5cm 5cm
5cm
5cm
10cm
50cm
10cm
10cm
20cm
Armadura: CA-
2 f (^) yk = 500 MPa= 50 KN/cm
2
s
yk yd 43 ,^5 KN/cm 1,
γ
f f = = =
f ε s
yd yd = = = =
2,
2,
d x
x
3,
3,
d x
x
x (^) 2,3 = 0 ,35d− 0 , 35 x 2,3 0,207x (^) 3,4 = 0 ,35d− 0 ,35x3,
x (^) 2,3 = 0,259d x (^) 3,4 = 0 , 628 d
x (^) 2,3 = 11 , 66 cm x (^) 3,4 = 28 , 26 cm
l) Cálculo da armadura:
a Tentativa:
A (^) c = 2. 5 .y+ 10. 5 + 1 0.(y−10)= 16 x- 50
A (^) c1 = 2 .0,8.x.bw= 2. 0,8.x.5Æ A (^) c1 = 8 .x
z 1 =d-0,4.x= 45 - 0,4.x
A (^) c2 = 10. 5 Æ A (^) c2 =50KN
z 2 =d−2,5= 45 −2,5= 42,5cm
A (^) c3 = 10. ( y- 10 )Æ A (^) c3 = 8 .x- 100
50 0,4x 2
0,8x- 10 45 - 2
y- 10 z 3 d- ⎟= − ⎠
Armadura escoando σ (^) s =fyd
Equação de equilíbrio para o momento:
M (^) d =Rc.zc=Rc1.zc1+Rc2.zc2+Rc3.zc
M (^) d =Ac1σc1(45−0,4x)+Ac2σc2(42,5)+Ac3σc3(50− 0,4x)
M (^) d =8.x.0,85.fcd(45−0,4x)+50.0,85.fcd(42,5)+( 8 x-100).0,85.fcd(50− 0,4x)
M (^) d = 6 , 8 .x.fcd(45−0,4x)+ 1806 , 25 .fcd+ 0 , 85 .fcd.(50−0,4x).( 8 x- 100)
8400 = 6 , 8 .x.1,43(45−0,4x)+ 1806 , 25 .1,43+ 0 , 85. 1 , 43 .(50−0,4x).(8x- 100)
x 1 = 11 1,35cm Falso!
x 2 = 13 , 76 cm OK! Domínio 3!
Equação de equilíbrio para a força normal:
0 =Rc −Rs
435
0,207 1
σ (^) s(Mpa)
ε s (%)
2
3
4
x (^) 2,
x (^) 3,
0,35%
0,207%
1%
1 1
2
3
