Exercicio de interpolação, Exercícios de Cálculo Numérico

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1 - Questão - Letra a: A partir da aplicação da fórmula "n-1/grau" cujo resultado não deve ter resto, foi identificado que para 13 pontos indicados na tabela acima podem ser gerados as seguintes quantidades de funções por grau: Grau da função Quantidade de funções 1º 12 2º 6 3º 4 4º 3 6º 2 12º 1 Para determinar os conjuntos de polinômios de graus possíveis que interpola o conjunto acima através da teoria do Polinômio de Newton, deve-se determinar os coeficientes bi através da fórmula abaixo:

bi = di −{∑

j = 0 i − 1 bj ¿ ¿ ¿ Em seguida substituir os coeficientes na função: w(h) = b1 + b2(h-h-1) + b3(h-h1)(h-h2)+...+ bn(h-h1)(h-h2)...(h-hn) Considerando os pontos abaixo, foram realizados os cálculos para determinação de cada função com seu respectivo grau: Ponto h w 1 1,0 2, 2 2,2 1, 3 3,4 1, 4 6,7 2, 5 8,9 3, 6 10,1 2, 7 12,6 3, 8 17,8 6, 9 21,1 5, 10 22,0 1, 11 26,5 6, 12 30,1 8, 13 41,9 4,

w(h) = −1,054545 + 0,545455h w(12) = 5, Pontos 5 e 6 Determinando os coeficientes: b1 = 3, b2 = -1, Determinação da função por interpolação e W(12): w(h) = 16,408333 - 1,416667h w(12) = -0, Pontos 6 e 7 Determinando os coeficientes: b1 = 2, b2 = 0, Determinação da função por interpolação e W(12): w(h) = −1,94 + 0,4h w(12) = 2, Pontos 7 e 8 Determinando os coeficientes: b1 = 3, b2 = 0, Determinação da função por interpolação e W(12): w(h) = −4,169231 + 0,576923h w(12) = 2, Pontos 8 e 9 Determinando os coeficientes: b1 = 6, b2 = -0,

Determinação da função por interpolação e W(12): w(h) = 10,954545 −0,272727h w(12) = 7, Pontos 9 e 10 Determinando os coeficientes: b1 = 5, b2 = -4, Determinação da função por interpolação e W(12): w(h) = 91,944444 −4,111111h w(12) = 42, Pontos 10 e 11 Determinando os coeficientes: b1 = 1, b2 = 1, Determinação da função por interpolação e W(12): w(h) = −20,988889 + 1,022222h w(12) = -8, Pontos 11 e 12 Determinando os coeficientes: b1 = 6, b2 = 0, Determinação da função por interpolação e W(12): w(h) = −10,094444 + 0,611111h w(12) = -2, Pontos 12 e 13 Determinando os coeficientes: b1 = 8,

w(h) = 60,543514 - 10,745495h +0,490991h^ W(12) = 2, Pontos 7,8 e 9: Determinando os coeficientes: b1 = 3, b2 = 0, b3 = -0, Determinação da função por interpolação e w(12): w(h) = - 26,588005 +3,615673h - 0,099959h^ W(12) = 2, Pontos 9,10 e 11: Determinando os coeficientes: b1 = 5, b2 = -4, b3 = 0, Determinação da função por interpolação e w(12): w(h) = 533,220988 - 45,082716h + 0,950617h^ W(12) = 129, Pontos 11, 12 e 13: Determinando os coeficientes: b1 = 6, b2 = 0, b3 = -0, Determinação da função por interpolação e w(12): w(h) = - 57,988170 +4,009575h −0,060043h^ W(12) = -18,

Para funções do 3º grau:

Pontos 1,2,3, Determinando os coeficientes: b1 = 2, b2 = -1, b3 = 0, b4 = -0, Determinação da função por interpolação e w(12): w(h) = 5,417788 - 3,626900h +0,984649h^2-0,075536h^ w(12) = -26, Pontos 4,5,6 e 7 Determinando os coeficientes: b1 = 2, b2 = 0, b3 = -0, b4 = 0, Determinação da função por interpolação e w(12): w(h) = - 144,495224+48,866346h - 5,229602h^2+0,181031h^ w(12) = 1, Pontos 7, 8, 9 e 10 Determinando os coeficientes: b1 = 3, b2 = 0, b3 = -0, b4 = -0, Determinação da função por interpolação e w(12): w(h) = 383,180556-71,346658h+4,359404h^2 - 0,086589h^

b5 = 0, Determinação da função por interpolação e w(12): w(h) = 188,532846-51,800789h +5,179594h^2-0,220262h^3+0,003394h^ w(12) = 101, Pontos 9, 10, 11, 12 e 13 Determinando os coeficientes: b1 = 5, b2 = -4, b3 = 0, b4 = -0, b5 = 0, Determinação da função por interpolação e w(12): w(h) = 3874,244137-546,892229h+28,410572h^2 - 0,642342h^3+0,005327h^ w(12) = 403,

Para funções do 6º grau:

Pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 Determinando os coeficientes: b1 = 2, b2 = -1, b3 = 0, b4 = -0, b5 = 0, b6 = -0, b7 = 0, Determinação da função por interpolação e w(12): w(h) = 9.295376-11,608225h +6,625334h^2-1,866556h^3+0,273055h^4- 0,019518h^5+0,000534h^

Determinando os coeficientes:

Determinação da função por interpolação e w(12):

• w(12) = 5,
• Pontos 10, 11, 12 e
• b1 = 1,
• b2 = 1,
• b3 = -0,
• b4 = -0,
• w(h) = - 42,387406+2,530236h - 0.014065h^2 - 0,000467h^ Determinação da função por interpolação e w(12):
• w(12) = -14,
• Pontos 1,2,3,4 e Para funções do 4º grau:
• b1 = 2, Determinando os coeficientes:
• b2 = -1,
• b3 = 0,
• b4 = -0,
• b5 = 0,
• w(h) = 5,880888-4,505827h +1,514134h^2-0,198436h^3+0,009241h^ Determinação da função por interpolação e w(12):
• w(12) = 18,
• Pontos 5,6,7,8 e
• b1 = 3, Determinando os coeficientes:
• b2 = -1,
• b3 = 0,
• b4 = -0,
• w(12) = -1,
• Pontos 7,8,9,10,11,12 e
• b1 = 3,
• b2 = 0,
• b3 = -0,
• b4 = -0,
• b5 = 0,
• b6 = -0,
• b7 = 0,
• 39,682493h^3+1,262652h^4-0,020817h^5+0,000139h^ w(h) = 21755,135548 - 6057,123016x +681,393658h^2 -
• w(12) = 36,
• Pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e Para função do 12º grau:
• b1 = 2, Determinando os coeficientes:
• b2 = -1,
• b3 = 0,
• b4 = -0,
• b5 = 0,
• b6 = -0,
• b7 = 0,
• b8 = -1,15514*10^-
• b9 = 1,8878*10^-

Determinando os coeficientes k1 e k2 através do sistema baixo: ⌈

n ∑

i = 1 n wi

i = 1 n

wi ∑

i = 1 n wi 2

[

k 1

k 2 ]^

[

i = 1 n log ( hi )

i = 1 n

wi ∗log ( h )]

Pontos w h w^2 ln(h) w*ln(h) 1

Soma 49 204,3 240,48 30,

Substituindo o valores da tabela acima no sistema temos: ⌈

[

k 1

k 2 ]^

= [

132,3891 ]

Resolvendo esse sistema pelo Scilab, encontra-se os coeficientes:

k1 = 1, k2 = 0, Sendo assim: a = ek1= 4, b= k2 = 0, Logo a função exponencial é: h(w) = 4,170029e0,2549184x h(12) = 88, Gráfico gerado h(w): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5 10 15 20 25 30 35 40 h(w)= 4,170029exp(0,2549184w) Figura 1 - Gráfico função h(w)**

Para função potência

Y (x) = a xb^ (7) Para ajustar a função potência ao conjunto de pontos da tabela mais acima é necessário determinar os coeficientes a e b com o menor erro. Aplicando o logaritmo na equação (1) temos:

11

1, 3, 8 3, 5 5, 12

2, 4, 7 3, 5 7, 13

1, 2, 8 3, 6 5, Soma 49 204,3 15, 22, 2 30, 9 40, Substituindo o valores da tabela acima no sistema temos: ⌈

[ k 1 k 2 ]^ = (^) [

40,39781294 ] Resolvendo esse sistema pelo Scilab, encontra-se os coeficientes: k1 = 0, k2 = 1, Sendo assim: a = ek1= 2, b= k2 = 1, Logo a função potencial é: h(w) = 2,700593*w1, h(12) = 46, Gráfico gerado de h(w):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5 10 15 20 25 30 35 h(w) = 2,700593w^1, Figura 2 - Gráfico função potencial h(w)*

Para Função do 3º Grau:

Para a determinação da função do 3º grau que ajusta os pontos acima foi aplicado o método dos mínimos quadrados. [

n ∑ xi … ∑ xin

∑ xi^ …^ ∑ xi

n + 1

⋮ ∑ xi

n + 1

… ∑ xi

2 n (^) ]

( a 1 a 2 ⋮ an )

(

∑ yi

∑ xiyi

∑ xi

n − 1 yi ) Através do Scilab foi determinado os coeficientes da função do 3º grau: a1= 12, a2= -7,

1 2 3 4 5 6 7 8 9

h(w) Exponencial Pontencial Função 3º grau Figura 4 - Comparação entre as curvas A figura 4 apresenta o gráfico com todas as curvas geradas onde é observado que as mesmas possuem pontos próximos em relação ao pontos da tabela. Ao ser feito o cálculo das diferenças entre os pontos da tabela em relação as funções de ajuste indicados na tabela abaixo, observa-se que a função potência foi a que apresentou a menor diferença em relação as demais. h x exponencial h x Potencia h x F. 3grau 7,30 7,

Soma 86,55 78,06 81, A partir da análise gráfica e numérica supracitada, determina-se que a curva Potência h(w) = 2,700593w1,1482975^ é a que mais se ajusta aos ponto da tabela. 2 Questão: Para acharmos a função quadrática f(x,y,z) = a1 + a2x + a3x^2 + a4y + a5y^2 + a6z + a7z^2 + a8xy + a9xz + a10yz de f(x,y,z) = - xcos(xyz) – z * e^y + xzsen(x*y^2), se faz necessário achar os coeficientes resolvendo a seguinte operação: Segue abaixo as fotos da tabela com somatório dos valores dados para x, y, z e f: