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Lista de Exercícios de Métodos de Interpolação
Tipologia: Exercícios
1 / 26
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[SME0334] - COMPUTAÇÃO NUMÉRICA E SIMULAÇÕES
PARA ENGENHARIA AMBIENTAL II
Aluna:
Letícia de Oliveira - nºUSP: 11885436
Docente:
Prof. Dr. Antonio Castelo Filho
28 de outubro de 2021
x f(x)
Solução:
Temos que: x 0 = − 2 , x 1 = − 1 , x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = 2 e x 5 = 3. De forma que: h 1 =
h 2 = h 3 = h 4 = h 5 = 1 = h. Como o objetivo é encontrar S 3 = akx
3
2
é preciso calcular os coeficientes. Para tal, encontraremos os termos bk da spline, utilizando o
sistema Ax = B. Inicialmente, a matriz A de tamanho (n + 1) × (n + 1) é montada:
h 1 2(h 1 + h 2 ) h 2 0 0 0
0 h 2 2(h 2 + h 3 ) h 3 0 0
0 0 h 3 2(h 3 + h 4 ) h 4 0
0 0 0 h 4 2(h 4 + h 5 ) h 5
Então, o próximo a ser montado é o vetor B, de tamanho (n + 1) × 1 de modo que:
f (x 2 )−f (x 1 ) h 2
f (x 1 )−f (x 0 ) h 1
f (x 3 )−f (x 2 ) h 3
f (x 2 )−f (x 1 ) h 2
f (x 4 )−f (x 3 ) h 4
f (x 3 )−f (x 2 ) h 3
f (x 5 )−f (x 4 ) h 5
f (x 4 )−f (x 3 ) h 4
Assim:
4 b 1 + b 2 = 0
b 1 + 4b 2 + b 3 = − 6
b 2 + 4b 3 + b 4 = 0
b 3 + 4b 4 = 6
De forma que:
b 2 = − 4 b 1
b 1 + 4(− 4 b 1 ) + b 3 = − 6 → b 3 = 15b 1 − 6
− 4 b 1 + 4(15b 1 − 6) + b 4 = 0 → b 4 = 24 − 56 b 1
15 b 1 − 6 + 4(24 − 56 b 1 ) = 6 → b 1 =
84 209
Resultando em:
b 0
b 1
b 2
b 3
b 4
b 5
84 209
336 209
6 209
312 209
A partir dos valores de bk é possível calcular ak, ck e dk:
ak =
bk − bk− 1
3 hk
ck =
f (xk) − f (xk− 1 )
hk
hk(2bk + bk− 1 )
dk = f (xk)
Assim, para ak:
a 1 =
84 209
→ a 1 =
a 2 =
336 209
84 209
3
→ a 2 = −
a 3 =
6 209
336 209
→ a 3 =
a 4 =
312 209
6 209
3
→ a 4 =
a 5 =
312 209
3
→ a 5 = −
Assim, para ck:
c 1 =
84 209
→ c 1 =
c 2 =
336 209
84 209
→ c 2 =
c 3 =
6 209
336 209
→ c 3 = −
c 4 =
312 209
6 209
→ c 4 =
c 5 =
312 209
→ c 5 =
Solução:
Para chegar no polinômio p 3 (x) de forma:
p 3 (x) = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2 + y 3 L 3
Adotaremos 1 de janeiro como 1, 21 de janeiro como 21, 31 de janeiro como 31, 10 de
fevereiro como 41 e 20 de fevereiro como 51. Assim:
x 0 = 21
x 1 = 31
x 2 = 41
x 3 = 51
e
y 0 = 10
y 1 = 15
y 2 = 20
y 3 = 13
Calculando os polinômios Lk:
(x−x 1 )(x−x 2 )(x−x 3 ) (x 0 −x 1 )(x 0 −x 2 )(x 0 −x 3 )
(x−31)(x−41)(x−51) (21−31)(21−41)(21−51)
(x−31)(x−41)(x−51) 6000
(x−x 0 )(x−x 2 )(x−x 3 ) (x 1 −x 0 )(x 1 −x 2 )(x 1 −x 3 )
(x−21)(x−41)(x−51) (31−21)(31−41)(31−51)
(x−21)(x−41)(x−51) 2000
(x−x 0 )(x−x 1 )(x−x 3 ) (x 2 −x 1 )(x 2 −x 0 )(x 2 −x 3 )
(x−21)(x−31)(x−51) (41−31)(41−21)(41−51)
(x−21)(x−31)(x−51) 2000
(x−x 0 )(x−x 1 )(x−x 2 ) (x 3 −x 1 )(x 3 −x 0 )(x 3 −x 2 )
(x−21)(x−31)(x−41) (51−31)(51−21)(51−41)
(x−21)(x−31)(x−41) 6000
Substituindo na fórmula de p 3 (x):
p 3 (x) = 10
(x − 31)(x − 41)(x − 51)
(x − 21)(x − 41)(x − 51)
(x − 21)(x − 31)(x − 51)
(x − 21)(x − 31)(x − 41)
Resultando em:
p 3 (x) = −
x
3
93 x
2
2533 x
Ou seja:
p 3 (x) = − 0. 0020 x
3
2 − 5. 0660 x + 52. 8820
A seguir, para calcular a data de pico máximo, derivamos o polinômio, resultando em:
p
′ 3 (x) =^ −^0 ,^006 x
2
Igualando a zero, temos que suas raízes são 20,1988 e 41,8012. Analisando os dias de maior
pico na tabela, conclui-se que o número 41,8012 é o mais adequado. Significando que a data
de pico máximo é em 10 de fevereiro, às 19h13m23s.
(b) Determinar, usando o polinômio de Newton de 3º grau, a demanda de 14 fev.
Solução:
A fórmula do polinômio interpolador de Newton de grau três é:
p 3 (x) = d 0 + d 1 (x − x 0 ) + d 2 (x − x 0 )(x − x 1 ) + d 3 (x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 )
Isto posto, e levando em consideração que x 0 = 21, x 1 = 31, x 2 = 41 e x 3 = 51, calculare-
mos dos operadores de diferenças divididas di:
d 0 = f (x 0 )
d 1 = f (x 0 , x 1 ) =
f (x 1 ) − f (x 0 )
x 1 − x 0
d 2 = f (x 0 , x 1 , x 2 ) =
f (x 1 , x 2 ) − f (x 0 , x 1 )
x 2 − x 0
d 3 = f (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) =
f (x 1 , x 2 , x 3 ) − f (x 0 , x 1 , x 2 )
x 3 − x 0
Resultando em:
p 3 (x) = −
x
3
93 x
2
2533 x
Por fim, calcula-se a demanda para 14 de fevereiro utilizando o polinômio acima, sendo que,
14 de fevereiro equivale a x = 45:
p 3 (45) = −
3
2
p 3 (45) = 19, 312 M w
(c) Determinar a demanda média
R (^) b
a
f (x)dx
b − a
entre 21 de janeiro e 20 de fevereiro.
Solução:
Substituindo e calculando:
21
− 0. 0020 x
3
2 − 5. 0660 x + 52. 8820 dx
colocados radares para medir a velocidade instantânea dos carros. Suponha que numa distância
d = 1. 0 km, um motorista conferiu através do velocímetro (suponha que o velocímetro seja
exato) as seguintes velocidades:
Distância 0 0.2 0.3 0.5 0.8 1.
Velocidade 80 85 88 92 85 80
Considere um radar colocado na posição d = 0, 4. Usando um polinômio interpolador de grau
dois ou menor, calcule:
(a) Velocidade aproximada neste ponto.
Solução:
Como o exercício pede para calcular o erro posteriormente, a forma de Newton será utilizada
para o cálculo do polinômio interpolador. Uma vez que, a forma de Newton auxilia no
cálculo do erro da interpolação, por fornecer a tabela de diferenças divididas.
A fórmula do polinômio interpolador de Newton de grau dois é:
p 2 (x) = d 0 + d 1 (x − x 0 ) + d 2 (x − x 0 )(x − x 1 )
Para encontrar os valores dos operadores de diferenças divididas di as seguintes fórmulas
são utilizadas:
d 0 = f (x 0 )
d 1 = f (x 0 , x 1 ) =
f (x 1 ) − f (x 0 )
x 1 − x 0
d 2 = f (x 0 , x 1 , x 2 ) =
f (x 1 , x 2 ) − f (x 0 , x 1 )
x 2 − x 0
Como o exercício pede a aproximação da velocidade para d = 0, 4 , considerando as distân-
cias como xi e as velocidades como f (xi), utilizaremos: x 0 = 0, 2 , x 1 = 0, 3 , x 2 = 0, 5. De
forma que, calculando d 0 e d 1 :
d 0 = f (x 0 ) → d 0 = 85
d 1 = f (x 0 , x 1 ) =
f (x 1 ) − f (x 0 )
x 1 − x 0
→ d 1 =
Da mesma forma, calculando d 2 :
f (x 1 , x 2 ) =
f (x 2 ) − f (x 1 )
x 2 − x 1
d 2 = f (x 0 , x 1 , x 2 ) =
f (x 1 , x 2 ) − f (x 0 , x 1 )
x 2 − x 0
→ d 2 =
Substituindo:
f (x 2 , x 3 ) =
f (x 1 , x 2 , x 3 ) =
70 3
d 3 = f (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) =
260 3
100 3
Por fim, aplicando fórmula de estimativa do erro:
(c) Podemos concluir que o carro não será multado?
Solução:
Levando em consideração a velocidade aproximada de 90,33 km/h e a estimativa de erro de
0,17 km/h, há uma variação de 90,16 km/h a 90,5 km/h, atingindo valores acima do máximo
permitido, que é de 90 km/h. No entanto, dada a faixa de tolerância dos radares, é provável
que a velocidade considerada seja menor que a indicada no velocímetro. Portanto, a multa é
pouco provável.
xi 0 1 2 3 4
f (xi) 1 3 β + 1 α β
2
Solução:
Calculando os termos da tabela de diferenças divididas, de forma que:
f (x 0 , x 1 ) =
f (x 1 , x 2 ) =
β + 1 − 3
= β − 2
f (x 2 , x 3 ) =
f (x 2 ) − f (x 3 )
x 2 − x 3
β + 1 − α
= α − β − 1
f (x 3 , x 4 ) =
f (x 3 ) − f (x 4 )
x 3 − x 4
α − β
2
= − 15 − α + β
2
f (x 0 , x 1 , x 2 ) =
f (x 1 , x 2 ) − f (x 0 , x 1 )
x 2 − x 0
β − 2 − 2
β − 4
f (x 1 , x 2 , x 3 ) =
f (x 2 , x 3 ) − f (x 1 , x 2 )
x 3 − x 1
α − β − 1 − (β − 2)
− 2 β + α + 1
f (x 2 , x 3 , x 4 ) =
f (x 3 , x 4 ) − f (x 2 , x 3 )
x 4 − x 2
− 15 − α + β
2 − (α − β − 1)
β
2
f (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) =
f (x 1 , x 2 , x 3 ) − f (x 0 , x 1 , x 2 )
x 3 − x 0
− 2 β+α+ 2
β− 4 2
3 − 0
α − 3 β + 5
f (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) =
f (x 2 , x 3 , x 4 ) − f (x 1 , x 2 , x 3 )
x 4 − x 1
β^2 +β− 2 α− 14 2
− 2 β+α+ 2
4 − 1
− 3 α + β
2
Temos:
β =
α + 5
− 3 α + (
α+ 3
2
α+ 3
= 0 → α 1 = − 5 e α 2 = 13
αi − 3 β + 5
= 0 → β 1 = 0 e β 2 = 6
de pontos do seu percurso. Na tabela seguinte são apresentados os dados provenientes dessas
observações.
Tempo (s) 0 3 5 8 13
Distância (m) 0 69 117 190 303
Velocidade (m/s) 22.9 23.5 24.4 22.6 21.
(a) Use o polinômio de Hermite para prever a posição do automóvel, bem como a sua veloci-
dade, quando t = 10 s.
Solução:
O polinômio interpolador e a tabela de diferenças divididas será da forma:
H 3 (x) = f [x 0 ] + f [x 0 , x 0 ](x − x 0 ) + f [x 0 , x 0 , x 1 ](x − x 0 )
2
2 (x − x 1 )
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
x 0 f [x 0 ]
f [x 0 , x 0 ]
f [x 0 , x 0 , x 1 ]
f [x 0 , x 0 , x 1 , x 1 ]
x 0 f [x 0 ]
f [x 0 , x 1 ]
x 1 f [x 1 ]
f [x 0 , x 1 , x 1 ]
f [x 1 , x 1 ]
x 1 f [x 1 ]
Sendo x 0 = 8 e x 1 = 13, temos:
f (x 0 , x 0 ) = f
′ (x 0 ) = 22, 6
f (x 0 , x 1 ) =
f (x 1 ) − f (x 0 )
x 1 − x 0
f (x 1 , x 1 ) = f
′ (x 1 ) = 21, 9
f (x 0 , x 0 , x 1 ) =
f (x 0 , x 1 ) − f (x 0 , x 0 )
x 1 − x 0
f (x 0 , x 1 , x 1 ) =
f (x 1 , x 1 ) − f (x 0 , x 1 )
x 1 − x 0
f (x 0 , x 0 , x 1 , x 1 ) =
f (x 0 , x 1 , x 1 ) − f (x 0 , x 0 , x 1 )
x 1 − x 0
Substituindo na fórmula do polinômio:
H 3 (x) = 190 + 22, 6(x − 8) + 0(x − 8)
2 − 0 , 028(x − 8)
2 (x − 13)
Temos que:
H 3 (x) = 32, 496 + 14, 984 x + 0, 812 x
2 − 0 , 028 x
3
Assim, a posição do automóvel para t = 10s é:
2 − 0 , 028 · 10
3 = 235, 536 m
Por fim, a velocidade do automóvel para t = 10s é:
′ 3 (x) = 14,^ 984 + 1,^624 x^ −^0 ,^084 x
2 = 22, 824 m/s
(b) Utilizando a derivada do polinômio de Hermite, veja se o automóvel alguma vez ultrapassa
3 = 1 → B = D
3 4
2
3 = 1
3 4
2
3 = 0 → C = −A −
1 4
Sabemos que:
′ 0 (1) =^ S
′ 1 (1)
′′ 0 (1) =^ S
′′ 1 (1)
′ 0 (2) =^ S
′ 1 (2)
Tendo as derivadas:
′ (x) =
′ 0 (X) =^ B^ −^3 D(x^ −^ 1)
2 se 1 ≤ x < 2
′ 1 (X) =^ A^ −^
3 2
(x − 2) + 3C(x − 2)
2 se 2 ≤ x ≤ 3
′′ (x) =
′′ 0 (X) =^ −^6 D(x^ −^ 1)^ se^1 ≤^ x <^2
′′ 1 (X) =^ −
3 2
Desta forma:
′′ 1 (3) =^ −
Como em S 1 (3) chegamos em C = −A −
1 4
temos que A = −
1 2
. E como S
′ 0 (2) =^ S
′ 1 (2),
temos que A = B − 3 D. E como em S 0 (2) temos que B = D, substituindo temos:
Assim, temos os valores: A = −
1 2
1 4
1 4
e D =
1 4
(b) Um spline cúbico S está definido em [1,3] por:
S(x) =
S 0 (X) = 3(x − 1) + 2(x − 1)
2 − (x − 1)
3
S 1 (X) = A + B(x − 2) + C(x − 2)
2
3
Sabendo que f
′ (1) = f
′ (3).
Solução:
Dadas as derivadas:
′ (x) =
′ 0 (X) =^ −4 + 10x^ −^3 x
2
′ 1 (X) =^ B^ + 2C(x^ −^ 2) + 3D(x^ −^ 2)
2
′′ (x) =
′′ 0 (X) = 10^ −^6 x
′′ 1 (X) = 2C^ + 6D(x^ −^ 2)
Como S 0 (2) = S 1 (2):
2 − (2 − 1)
3 = A + B(2 − 2) + C(2 − 2)
2
3
Como S
′ 0 (2) =^ S
′ 1 (2):
2 = B + 2C(2 − 2) + 3D(2 − 2)
2
Como S
′′ 0 (2) =^ S
′′ 1 (2):
Como S
′ 1 (3) =^ S
′ 0 (1):
2 = −4 + 10 − 3
no local: 6 metros.
