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MAP 2121 - CÁLCULO NUMÉRICO (POLI) Lista de Exercícios sobre Interpolação e Integração 1: Sjamm=—,m=Wm=2ez=3 vs Determine os polinômios de Lagrange Li(x) correspondentes a estes pontos e mostre que eles são dois a dois ortogonais com relação ao produto interno 3 (ob) — DO elme) blme). k=0 (b) Encontre o polinômio de grau < 3 que melhor aproxima a função f(x) = sen(mr/2) segundo L o produto interno dado. Qual o erro quadrática cometido? Surpreso? 2: Utilizando interpolação polinomial de grau < 3 para a tabela abaixo, estime o valor de sen (01.65). Delimite o erro cometido em tal estimativa sem empregar o valor exato de sen (0.65). E = 0 Ts RE) T Ray sen; 0 TATO 1.682 DEM + 3: Considere a seguinte tabela de diferenças simples de uma certa função f, 14 = Fr RR E AI A AF —LO (44 I —0.5 1 Ão ) EA ca 0.0 E “| = VIT) ; = = E a) 0.5 A! | -12 JE - 3. = - 15 Tê 2 j LO E o E 18 = E 15 =37 [EE 2. 20 = (a) Preencha as lacunas da tabela. (b) Determine o polinômio interpolador (de grau < 6) na forma de Newton relativo à tabela inteira. (e) Determine o polinómio de grau < 3 que interpola f nos últimos 4 pontos da tabela. (d) Sabendo que f(3) = —5, qual dos dois polinômios obtidos nas partes (b) e [€) é o que melhor aproxima f no ponto — 3? 3 4: (a) Utilizando a Fórmula de Simpson, calcule numericamente a integral definida UF / Ê eta, 5 a partir dos dados da seguinte tabela: t —n/8 | —r/6 0 1/6 =/3 TU) Ela PTE] E. EN cit a onde e = 2.718282... e f(t) — est, b) Delimite o erro cometido na integração numérica efetuada na parte (a), sabendo que no inter” 4 gra valo 7/3 < t< /3 temos | (| < 20e. 5: Seja f(x) = cosFE e considere a tabela Ed q 1 2 3 d- fiz) 1 U E? [ (a) Determine o polinômio interpolador p(x) da tabela na forma de Newton usando dliferenças simples. (b) Estime o exro da interpolação, ou seja, encontre uma cota superior pars L(z)=plr)l, x e [0,9]. [rosas 1 : ne usando o método de Simpson e os pontos 29 = 1, 7 =2, Z=% 24 =dez— 5. (b) Quantos pontos devemos levar em conta na integração por Simpson para que à diferença entre o valor aproximado e o valor exato da integral seja menor do que 10" ? Justifique. 6: (a) Estime o valor da integral 7: Considere a função F(x) dada por Fto)= Í “ sen(cos y) dy. Utilizando a fórmula de Simpson com uma repetição, calcule 8= JA Fix) dz. Fara obter cada um dos valores de F necessários ao cálculo de S, utilize a fórmula dos trapéxios com duas repetições. Estime os erros cometidos no cálculo desses valores. &: Seja f(r) = Ji) €Ydy A (a) Use o método de r»trapézios para calcular os valores f(1), f(2) e F(3) com erro menor que 102 (justifique a escolha dos valores de n). (Dado: o erro na integração por n trapézios é limitado por max.cja 4 |1"(x)l(b — a)h?/12.) (b) Determine o polinômio interpolador (de grau menor ou igual a 3) de f nos pontos 0, 1,2 e 3 (usando os valores calculados no item (a)). E dd 9: Dados 4 pontos uniformemente espaçados 74, 03, X3 et (onde ze — z;+h, é — 1,2,8), determine coeficientes ay, 2, du e q4 tal que para todo polinômio de grau menor ou igual a 3 tenhamos p(25)- Bate 10: No cóleulo de [É fls)dz com o método de 1 trapéxio obtemos o valor 4/8, com o método de 2-+rapésios obtemos o valor 7/6 e com 4-trapézios 67/60. Determine que valores obtemos ao se caleular à integral pelos métodos de Simpson e 2-Simpsons. 11: (a) Mostre que [É p(x)dz = p(3/3) + p(—v'3/3), para todo polinômio p de grau menor ou igual ERA (b) Use o item (a) para calcular INES — rj. 12: É dada a função f tabelada a seguir: Fx) 10 1 05 0.0 =. 0.0 05 1.0 15 1.0 z 00 I 0.25 [ U.Ta 1.0 1.25 1.5 lia 20 Determine o polinômio de grau menor ou igual a dois que interpola Ff) = E Jlxjdz nos pontos “ta=0ty= Leto = 2 (utilizando o método de n-simpsons para avaliar P(t)). Determine então E polinômio interpolador de F (de grau 3) nos pontos O, (1.5, 1 e 2. — 20: Desejamos aproximar o valor de log; 5/2 através de interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de log; 7, nos pontos 1, 2, 4 e 8 Usando diferenças divididas, calcule cs polinômios interpoladores de log, 7 nos pontos 2 e 4 (linear), 2, 4 e & (quadrático) e 1,2, 4e 8 (cúbico). Delimite o erro cometido na aproximação de loga 5/2 em cada caso. Dado: erro na interpolação é menor ou igual a maxi sa] 9) (n + Te - É dada uma função contínua f definida em [0,4], tal que f(x) = 22-37 +2 para z € [0,1], fiz) = —e2 + 524, para e € [1,5/2] e f(x) = (2 — 2/2) em [5/2, 4). (a) Calcule [é f(x)dr pelo método de 2-Simpsons e 4-Simpsons (ou seja, com espaçamentos h — 1 e 1/2). Algum destes resultados fornece o valor exato da integral? Justifique! (b) Usando os valores de / apenas nos pontos 0, 1/2, 1, 7/4, 5/2 e 4 obtenha o valor exato ds integral! Justifique! (Ole: trabalhe com frações) : A função F(t) = 100/(L + 962) representa a evolução de uma população a partir de t = 0. Valores aproximados desta população estão na tabela a seguir: Ê L) 1 z 3 4 5 6 Fi [10 T E ES ES EK Determine, wsando a tabela, o polinômio p de grau menor ou igual a 3 que interpola F nos pontos 1,2,4€ 6 (use diferenças divididas). Faça um gráfico comparativo entre F e p no intervalo [0, 12]. 23: (continuação da questão 84) À população média entre o instante O e o instanto 6 é dada por Po - bd di Aprosme o valor de Fm através do método de 3 e &-trapéxios (use os dados da tabela da questão 22), e de 1 e 5-Simpsons. Compare os resultados obtidos com o valor exato da integral, a ser determinado por você. 24: A função F(£) = LOD/(1 4 942) & solução da equação diferencial (“crescimento logístico”): *y- E Ca HO “o-10 Verifique que P(t) é realmente solução da equação. Partindo de z(0)=10, utilize o método de Euler com At = 1, e com At = 0.5, para aproximar o valor de (1). 25: Utilize o método de Euler e dos Trapézios com At — 0.5, para calcular uma aproximação para X(1), onde X(t) = (ra(£), ma(t)) é uma solução da equação *o-[" HE x0=( 4 ). “| =, A LISA dE CXERCÍCIOS Sopas TInERRoL TÃO € Dneerado | Resolução Jal Xe-h grO rd fes O Luma (ex NonÉRICO PARE Re: Poiy= tre Re Hits) o leaf: 3) (Ro Aa Kit + Gltey) Eid) bo (e AMA) 2 Ga DES) = Gicale 3) El Re)fea- Par fa) LE) E = Laio (che bet) = (ei) xdca) alados Patu ÉS B 9/0 E BM GA De DA Be) od Néa) [ESTO ER TE E er Ea E És, a Cos So es Pourômes de CAIA coRREIPDeMENTES (os percios armar e -s .o - .“ o + 9) “Side VMA tod tp lot + Ltd do la “) = fls lap Pray dão a ) UU db Ao - Lite) 14560) -0 (4. a pai é t 6) o + bio) dz vãs, : tsana jo lis tefho) aa a aj ; tubo Cof GOV 4) 4 tc a = -0 f flo, Lap tl vopão, Do do, Voa ' E * do lo fls do pia do a df) 63 Vs, Va ' Lâduta-o ASIM, conavo ae os FUÓÔMIS de LNEC CRACSOAPIES pos ONO aos Sb dos ns ares )3] Or 4-3 Gui) + Sofa Duas) al Ga ea, B (an (nos bois) - hos o e al E (o fra (xD be) +3 (8 45) x (x 0) 00 Dee) 5! nº6! E. X Polos Poxa +6c%o)hbho) br a + fred No Ba) AY) hm at O jo 4 -satrog MR -OSNE) 430 (GSM pod o E E 13.91 o Fel Soa Ê Ra temo Jreeo- fia] > pio) fo), o Punímo os no mem B % fo qe vor MON P po ONO ves [o exriorisao m | "so [ 00 [ 5º | nes E; NE [8 Es E [a | L Fo 4 ao on A 49 6 5uy 35 48 bes od E FO) = 4 E) Bed 3304 Dx be a Is fo Mae od) 3! ul 5º I605)= 443 -3735 OSSOS 4 0,0305105 = 2,18 Pla ER eêty Ns e h= fra RE 16 ESA RR PES) g =x 2 F AM za ral s ç mo 5 Pd me f Soa = (leo 42 Mo) PEA Lo) a És ss Ke qu his Wade pode 3 6 O mesmo EZ 7) Fo NH cm É PARES CoMóRUGES , OMENO He Ka, «..,Xy hsm, ddr, MT, WO, am, nz 4 re ONDE “Ada alhae tes e fo) o 4 A/E Ea j det Get, de sueb vet] [663] > Det malta Es xs[a focé tg) tido om 87 Enio goraia te) Ear Elo im (is) dy & Find mel ha “ho cos mor Mi E tj 0403 o as 4 t+ a fra birio. 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