Lista de Exerc´ıcios
Teoria de An´eis
Prof. Paulo Henrique
1. An´
eis
1. Mostre que Z[√2] = {m+n√2|m, n ∈Z}´e um anel com a adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao
usuais de n´umeros reais.
2. Mostre que Q(√2) = {a+b√2|a, b ∈Q}´e um corpo com a adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao
usuais de n´umeros reais.
3. Se um anel Rsatisfaz x2=x, ent˜ao R´e comutativo.
4. Se R´e um dom´ınio de caracter´ıstica positiva, ent˜ao a caracter´ıstica de R´e um n´umero
primo.
5. Um anel comutativo R´e um dom´ınio se, e somente se, para a, b, c ∈R,a6= 0, temos
ab =ac =⇒b=c.
6. Considere o conjunto Q={a+bi +cj +dk |a, b, c, d ∈R}, onde dois elementos
a+bi +cj +dk, a0+b0i+c0j+d0k∈ Q s˜ao iguais se, e s´o se, a=a0,b=b0,c=c0e
d=d0. Mostre que, munido das seguintes opera¸c˜oes
(a+bi +cj +dk)+(a0+b0i+c0j+d0k)=(a+a0)+(b+b0)i+ (c+c0)j+ (d+d0)k
(a+bi +cj +dk)·(a0+b0i+c0j+d0k) = (aa0−bb0−cc0−dd0)+(ab0+ba0+cd0−dc0)i
+(ac0+ca0+db0−bd0)j+ (ad0+da0+bc0−cb0)k
o conjunto Q´e um anel de divis˜ao n˜ao-comutativo, chamado de anel dos quat´ernios
reais, onde valem as rela¸c˜oes
i2=j2=k2=−1 e ij =−ji =k, jk =−jk =i, ki =−ki =j.
2. Homomorfismos de an´
eis e ideais
1. Mostre que se I´e ideal de Re 1 ∈I, ent˜ao R=I.
2. Mostre que os ´unicos ideais de um corpo Fs˜ao {0}eF.
3. Mostre que todo homomorfismo de an´eis φ:F→R, onde F´e um corpo, ou ´e injetor
ou leva todo elemento em 0.
4. Mostre que para R´e um anel comutativo e a∈R, o conjunto (a) = {ar |r∈R}´e um
ideal de R, chamado de ideal principal de Rgerado por a.
5. Para Ium ideal de um anel R, mostre que r(I) = {x∈R|xa = 0,para todo a∈I}
´e um ideal de R.
