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Cálculo Numérico
Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo – FEAU
Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia)
Objetivos: Alertar o aluno sobre as dificuldades numéricas que podem ocorrer ao se trabalhar com um computador (ou qualquer outra maquina digital); Erros inerentes ao processo de tradução de números decimais para números binários.
1 – O processo de modelagem de um fenômeno da natureza.
Modelagem – Fase de obtenção de um modelo matemático que descreve o comportamento do problema que se quer estudar. Resolução – Fase de obtenção da solução do modelo matemático através da aplicação de métodos numéricos. Obs: Ambas as fases acima estao passíveis de erros.
De forma mais detalhada temos:
Não é raro acontecer que os resultados finais estejam distantes do que se esperaria obter, ainda que todas as fases de resolução tenham sido realizadas corretamente. Os resultados obtidos dependem também: a) da precisão dos dados de entrada b) da forma como esses dados são representados no computador c) das operações numéricas efetuadas
I – Representação dos números, aritmética de ponto flutuante e erros em máquinas digitais.
Problema ou fenômeno
Modelo Modelagem matemático^ Resolução Solução
Levantamento de dados real
Problema real
Construção do modelo matemático
Escolha do método numérico adequado
Implementação computacional deste
Análise dos resultados
Se necessário: reformular o modelo matemático e/ou escolher novo método numérico
2 – Representação dos números.
Os números empregados no calculo computacional podem ser de dois tipos: números inteiros e números em “ponto flutuante” (números reais da matemática, por exemplo 3.56 → 0.356 x 10 -1). Os computadores atuais representam os números internamente no formato binário, como uma seqüência de 0s e 1s. Apesar dessa representação ser conveniente para as maquinas é antinatural para os seres humanos, cujo sistema de numeração é o decimal. Obs. No passado o nosso sistema de numeração já foi também na base 12 (ex. contar nas falanges dos dedos) na base 60 (ex. sistema horário).
2.1 – Decomposição de um número num sistema de bases.
Em geral qualquer numero pode ser decomposto numa soma dos dígitos que o constitui (d) vezes potências da sua base (β) conforme indicado abaixo:
(N) (^) B = (dnd (^) n-1d (^) n-2 ....d (^) 0,d (^) -1d (^) -2 .... d (^) -m)β = d (^) nβn^ + d (^) n-1βn-1^ + d (^) n-2βn-2^ + ....+ d 0 β^0 + d (^) -1β-1^ + d (^) -2β-2^ + d (^) -mβ-m
Onde os dígitos dj pertencem aos números naturais e satisfazem a condição: 0 ≤ d (^) j ≤ (β-1)
2.2 – Sistema de numeração decimal ou base 10.
Nesse caso todos os múltiplos e submúltiplos de um número são escritos com potencias de 10.
Ex1. 1537 = (1537) 10 = 1 x 10 3 + 5 x 10^2 + 3 x 10 1 + 7 x 10^0 36,189 = (36,189) 10 = 3 x 10 1 + 6 x 10 0 + 1 x 10 -1^ + 8 x 10 -2^ + 9 x 10 - 6,032x10 23 = (6,032x10^23 ) 10 = 6 x 10 23 + 0 x 10 22 + 3 x 10 21 + 2 x 10 20
2.3 – Sistema de numeração binário ou base 2.
Nesse caso todos os múltiplos e submúltiplos de um número são escritos com potencias de 2.
Ex2. (10111) 2 = 1 x 2 4 + 0 x 2 3 + 1 x 2 2 + 1 x 2 1 + 1 x 2 0 (10,1) 2 = 1 x 2 1 + 0 x 2 0 + 1 x 2 - Obs. Os computadores digitais operam basicamente com dois tipos de sinais de tensão: Alto e baixo. Matematicamente, pode-se expressar esses valores por 0 (baixo) e 1 (alto).
3 – Conversão de números
3.1 – Conversão de números decimal → binário.
Para convertermos um numero decimal para um numero binário devemos aplicar um método para a parte inteira (divisões sucessivas) e um método para a parte fracionaria, se houver (multiplicações sucessivas).
Ex3. (23) 10 → (x) 2 Usando o método das divisões sucessivas.
23 2 1 11 2 Resposta: (x) 2 = (10111) 2 1 5 2 1 2 2 0 1
Portanto, a partir de uma seqüência de 0s e de 1s podemos expressar “qualquer” número decimal. Sera?
Leitura
Dividir até que o último quociente seja menor que a base
Atenção!
Ex8. (10111) 2 → (x) 10
(10111) 2 = 1x2 4 + 0x2 3 + 1x2^2 + 1x2^1 +1x2 0 = 23 = (23) 10
Ex9. (110,11) 2 → (x) 10
(110,11) 2 = 1x2 2 + 1x2^1 + 0x2 0 + 1x2 -1^ +1x2 -2^ = 6,75 = (6,75) (^10)
Obs. Um numero inteiro decimal pode sempre ser representado exatamente por um inteiro binário. Mas isso não é verdade para os números fracionários. Pois, já vimos que:
(0,1) 10 = (0,00011001100110011............) 2
4 – Operações aritméticas entre números binários
A) Adição de binários.
Ex10: 1 1100
= 10011
Explicando: Os números binários são base 2, ou seja, há apenas dois algarismos: 0 (zero) ou 1 (um). Na soma de 0 com 1 o total é 1. Quando se soma 1 com 1, o resultado é 2, mas como 2 em binário é 10, o resultado é 0 (zero) e passa-se o outro 1 para a "frente", ou seja, para ser somado com o próximo elemento, conforme assinalado pelo asterisco,como no exemplo acima.
16 + 0 + 4 + 2 + 1
d
d
4 + 2 + 0 + 1/2 + 1/
d
d
d (^) -
d
Repetições
Repetições
Propriedades: 0+0= 0+1= 1+0= 1+1= 0 e vai 1 (para somar ao digito imediatamente à esquerda)
Ex11: 11 1100
= 11011
B) Subtração de binários.
Ex12: 1 111 1101110
= 1010111
Explicando: Quando temos 0 menos 1, precisamos "pedir emprestado" do elemento vizinho. Esse empréstimo vem valendo 2 (dois), pelo fato de ser um número binário. Então, no caso da coluna 0 - 1 = 1, porque na verdade a operação feita foi 2 - 1 = 1. Esse processo se repete e o elemento que cedeu o "empréstimo" e valia 1 passa a valer 0. Os asteriscos marcam os elementos que "emprestaram" para seus vizinhos. Perceba, que, logicamente, quando o valor for zero, ele não pode "emprestar" para ninguém, então o "pedido" passa para o próximo elemento e esse zero recebe o valor de 1.
C) Multiplicação de binários
A multiplicação entre binários é similar à realizada com números decimais. A única diferença está no momento de somar os termos resultantes da operação:
Ex13:
1 0 1 1 x 1 0 1 0
0 0 0 0
- 1 1 0 1 1
- 0 0 0 0
- 1 0 1 1
= 1 1 0 1 1 1 0
C) Divisão de binários
Essa operação também é similar àquela realizada entre números decimais:
Ex15:
110 10
010
Propriedades: 0-0= 0-1= 1 e vai 1 (para subtrair ao digito imediatamente à esquerda) 1-0= 1-1=
Ex14: 1 1 1 x 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
= 1 1 0 0 0 1
Parâmetros de aritméticas de ponto flutuante utilizadas em alguns computadores digitais.
Máquina e Aritmética^ β^ t e (^) min e max Cray-1 Precisão Simples 2 48 -8192 8191 Cray-1 Precisão Dupla 2 96 -8192 8191 DEC VAX formato G Dupla
DEC VAX formato D Dupla
Calculadoras HP 28 e 48G 10 12 -499 499 IBM 3090 Precisão Simples 16 6 -64 63 IBM 3090 Precisão Dupla 16 14 -64 63 IBM 3090 Precisão Extendida
IEEE Precisão Simples 2 24 -126 127 IEEE Precisão Dupla 2 53 -1022 1023 PDP 11 2 24 -128 127 Control Data 6600 2 48 -976 1070
Mais detalhes sobre a aritmética de ponto flutuante:
Uma aritmética de ponto flutuante F é caracterizada por quatro números inteiros: F( β , t , e min , e max). Pode-se observar que F é um subconjunto dos números reais, ou seja F ⊂ℜ.
Ex: Considere F (2,2,-1,2 ), com número normalizado, isto é, d 1 ≠ 0. Os números serão: ±. 10 × 2 e^ ou ±. 11 × 2 e^ , sendo -1≤ e ≤ 2.
Convertendo para decimal, temos:
. 10 = ½ e_._ 11 = ¾
Com isso, os únicos números positivos representáveis nesse computador são: Mantissa Expoentes 1/2 × 2 e 3/4 × 2 e^ para e= -1, 0, 1 e 2
Ou seja, ¼, ½, 1, 2, 3/8, 3/4, 3/2 e 3, que podem ser representados na reta numerada:
4
1 8
3 2
1 4
2
Alem desses números, os seus respectivos números negativos e o numero zero também serão representados.
5.1 - O número total de elementos de uma aritmética de ponto flutuante é dado por:
n. deelementos = 2 (β− 1 ) β t −^1 ( e max− e min+ 1 )+ 1
Para contabiliza os números negativos Para o numero zero
Para o exemplo anterior temos que o número de elementos é 17. (8 positivos, 8 negativos e o zero).
O conjunto dos números de ponto flutuante é discreto, e não contínuo como os números reais. Não temos mais o conceito que entre dois números sempre existe um outro. Esse fato pode ter conseqüência desastrosa!
5.2 - Erros na representação dos números O conjunto de números de números reais é infinito, entretanto, a sua representação em um sistema de ponto flutuante é limitada, pois é um sistema finito. Essa limitação tem duas origens:
A) a faixa dos expoentes é limitada ( e min (^) ≤ e ≤ e max ); B) a mantissa representa um número finito de números ( β t −^^1 ≤ m ≤ β t −^1 )
Faixa dos expoentes é limitada ( e min (^) ≤ e ≤ e max );
Sempre que uma operação aritmética produz um número com expoente superior ao expoente máximo, tem-se o fenômeno de “ overflow ”. De forma similar, operações que resultem em expoente inferior ao expoente mínimo tem-se o fenômeno de “ underflow ”.
No caso do exemplo dado, pode-se observar qual as regiões que ocorrem o overflow e o underflow. Neste caso, considera-se a parte positiva e negativa da aritmética do exemplo.
-3,0 - 41 0 41 3,
Overflow Underflow Overflow
Ex1: Considere uma aritmética de ponto flutuante F (10,2,-5,5)
- overflow : Sejam x =875 e y=3172. Calcular x × y. Primeiro, deve-se arredondar os números e armazena-los no formato indicado. A operação de multiplicação é efetuada usando 2t dígitos. x = 0.88x 10 3 e y =0 .32 x 10 4 , x×y = 0.2816 x 10 7 Como o expoente é maior que 5, resulta em overflow
- underflow : Sejam x =0,0064 e y=7312 Calcular x ÷ y. Primeiro, deve-se arredondar os números e armazená-los no formato indicado. A operação de divisão é efetuada usando 2t dígitos. x = 0.64x 10 -2^ e y = 0.73 x 10 4 , x÷y = 0.8767 x 10 - O resultado dessa operação resultou em um valor menor que o computador pode armazenar, ou seja, resulta em underflow
6.2 Erro absoluto
Cota para o erro.
6.3 Erro relativo
EAx =| x − x |
x
x x
x
EA ER (^) x x
− = =
6.4 Outras fontes de erros numa maquina digital
A) Erros relacionados à aproximações dos cálculos (números de iterações).
B) Erros devido ao armazenamento.
Existem dois tipos de erros por arredondamento. O arredondamento truncado e o arredondamento simétrico (ou arredondamento propriamente dito).
Regra para o truncamento:
- Desprezam-se os algarismos que ficam acima da (t+1)-ésima casa decimal. Onde
t representa o numero de dígitos da mantissa.
Regras para o arredondamento:
B) Propagação dos erros relativos.
Concluindo, o erro relativo final das operações é obtido a partir da combinação dos erros
relativos da operação adicionado ao erro devido a tipo de armazenamento numérico ( δ ):
onde t = número de dígitos da mantissa.
Ex. Um coreano ganhou de presente do pai uma máquina de calcular super moderna, capaz de armazenar 4 dígitos na mantissa utilizando arredondamento. Muito satisfeito, o ansioso rapaz efetuou duas operações em sua maquina nova envolvendo os números de arvores da plantação de seu pai (x=17534) e o número médio de frutas de cada arvore (y=21178). a) Calcule os erros absolutos e relativos envolvido no processo de utilização da máquina digital para cada número x e y? Resp : Devido ao tamanho da mantissa e ao arredondaremos termos: x = 0,1753 x 10^5 e y = 0,211 8 x 10 5 a) Calcule o erro absoluto e relativos das variáveis x e y. Resp.
EAx = x − x = |17534-17530|= 4
EA (^) y = y − y = |21178-21180|= 2
x
EA
ER x = x = 4/17530 = 2.281E-
y
EA
ER
y
y =^ = 2/21180 =9.442E-
a) Após realizar as operações x+y e x×y percebeu que uma das duas operações resultava no erro relativo final maior. Qual foi?
Resp: x y x x yERy
y
ER
x y
x
ER
+ = + δ, onde δ = ½ 10 -t+1^ (arredondamento)
= (17530/ 38710) 2.281E-4 + (21180/ 38710) 9.442E-5 + ½ 10 -4+
=1.0329E-4 + 5.1661e-5 + 5E-4 = 6.5495E-
ERxy = ERx + ER y + δ, onde δ = ½ 10
-t+1 (^) (arredondamento)
= 2.281E-4 + 9.442E-5 + 5E-4 = 8.2242E-
Logo a operação xy apresentara o maior erro relativo final.
d) Calcule o erro relativo envolvido na operação x^4? Resp: ERxx^ =^ ERx 2 = ERx + ERx +^ δ, onde δ = ½ 10 -t+1^ (arredondamento)
ERxx 2 = ERx 3 = ERx + ERx 2 + δ = 3 ERx + 2 δ
ERxx 3 = ERx 4 = ERx + ERx 3 + δ = 4 ERx + 3 δ
logo,
ER x 4 =4x 2.281E-4 + 3x 5E-4 = 2.4124E-
Repita este exercício considerando o truncamento.
Exercício Proposto
1- Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos e base decimal. Dados os números: x= 0,7237×10 4 , y = 0.2145×10 -3^ e z = 0.2585×10 -1^ efetue as operações x+y+z e (xy)/z e obtenha o erro relativo em cada caso, supondo que x, y e z estão exatamente representados (Ea=Eb=Ec=0)
