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Afonso Oliveira;Nº mec: 97517 Ana Afonso; Nº mec: 97578

Trabalho Colaborativo

PBL

Capítulo II – Sistemas de Equações Lineares Ax=b

× x 1 x 2 x 3

A x b **Código Implementado

3. O sistema Ax= b inicial é possível e determinado?** Um sistema na forma matricial Ax=b apenas é possível e determinado se det(A)≠ Código Implementado Saída do programa Interpretações Uma vez que det(A)=-170 então pudemos concluir que o sistema é possível e determinado. 4) Verifique se é possível resolver o sistema pelo método de Cholesky. Condições: A matriz A tem de ser simétrica; A matriz A tem de ser definida positiva; Se alguma destas condições falhar não podemos aplicar estes métodos. A é simétrica se e só se A = (^) AT A é definida positiva se os valores próprios forem positivos. Código Implementado Saída do programa Interpretações Como A não é simétrica não é possível aplicar diretamente o método de Cholesky ao sistema.

Contudo se considerarmos w= A’ A, podemos verificar que w é simétrica e definida positiva e posteriormente aplicar a fatorização e o método de Cholesky. Fatorização de Cholesky: Se w é uma matriz simétrica (w = wT^ ) e definida positiva. ( x T wx > 0, ∀x ̸ = 0), então existe uma única decomposição na forma w = L L T em que L é uma matriz triangular inferior com elementos diagonais estritamente positivos. Código Implementado Saída do programa

Interpretações D e D+L não admitem inversa, o que é um dos pressupostos, para a utilização do Método de Gauss-Seidel. Logo ,podemos concluir que este método não pode ser aplicado na resolução deste problema na forma que ele se encontra. 6) Reescreva o sistema de forma a garantir que os métodos iterativos de Jacobi e Gauss- Seidel convergem para a solução exata x= [x1; x2; x3] Código Implementado Saída do programa Interpretações Após a troca de linhas efetuada (L1-L3), verificamos que a matriz D e D+L já admitem inversa e por sua vez conseguimos proceder á utilização dos métodos. Após o cálculo das matrizes iteradoras dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, verificamos que o raio espetral da matriz iteradora de Jacobi é maior que um enquanto que o raio espetral da matriz iteradora de Gauss-Seidel é menor que 1.

Dai pudemos concluir, que o método de Gauss-Seidel converge para a solução qualquer que seja a condição inicial, por outro lado, conclui-se que o método de Jacobi não converge quando aplicado neste sistema. 7) Consideremos o sistema inicialmente criado e admitamos que os elementos estão afetados por erros. Qual o condicionamento de A? Condicionamento de um sistema Um sistema é bem condicionado quando cond(A)1. Código Implementado Saída do programa Interpretações Note-se que, cond(A) = (^) ¿∨ A ∨¿ × ∨¿ A −^1 ∨¿=104.4125 ≫ 1 , confirmando-se que a matriz A é mal condicionada, o que leva ao mal condicionamento do sistema inicial.

Conclusões

Relativamente ao método direto, a solução de um sistema Ax = b obtida por esses métodos, não é em geral exata, devido a erros de arredondamento que se propagam ao longo das operações efetuadas. Contudo, o método de Cholesky é numericamente mais estável mesmo sem escolha de pivot e exige cerca de metade das operações que são necessárias no método da fatorização LU. Debruçando-nos agora sobre os métodos iterativos, no nosso sistema verificamos que o método de Jacobi não convergiu para a solução enquanto que na aplicação do método de Gauss-Seidel se verificou o contrario isso levou-nos a concluir que em geral, o método de Gauss-Seidel converge mais rapidamente do que o método de Jacobi. Sobre o condicionamento do sistema com cond(A) >> 1, pequenas perturbações em A ou em b podem originar grandes perturbações na solução x. Logo, O sistema Ax = b diz-se mal condicionado.

Referências

https://elearning.ua.pt/pluginfile.php/2882763/mod_resource/content/18/ FP2_SistEqLineares_Solucoes_MN20-21.pdf file:///C:/Users/Master/Desktop/Cap2_SistEqLineares_MN20-21.pdf