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Lista 1
Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares
Disciplina: Álgebra Linear
Professor: Renato Tolentino de Sene
- Considere as matrizes A = (aij ) 2 × 2 tal que aij =
i + j, se i = j
0 , se i 6 = j
e
B = (bij ) 2 × 2 tal que bij = 2i − 5 j. Determine as matrizes:
a) A + B;
b) 3 A;
c) A
t
t ;
d) − 2 B
t
- Sejam x e y números reais, determine o produto xy onde (
1 x − 2 y
x + 18 4
1 y + 1
y − 3 x 4
- Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens 4 × 3 ,
4 × 5 , 3 × 5 , 2 × 5 e 3 × 5. Avalie quais matrizes abaixo são possíveis de
serem obtidas e determine sua respectiva ordem:
a) AE + B
b) C(D
t
c) AC + B
d) E
t (CB
t )
e) (AC)E
t
- Sejam as matrizes A =
, B =
, C =
D =
e E =
. Determine, se possível, ou
responda os itens abaixo:
a) (
A)(− 3 B);
b) A
3 ;
c) DC;
d) AC;
e) DC
t ;
f) CE;
g) C
t E
h) É verdade que (A
2 )
t = (A
t )
2 ?
i) Veri que se os pares de matrizes D e E, A e B comutam em relação
à operação de multiplicação de matrizes
j) É verdade que AE + 5E = (A + 5I 2 )E?
k) A matriz X tal que AX − A = 2D − B
t X.
- Considere as matrizes A =
e B =
Seja a matriz C = AB então determine apenas os elementos c 52 , c 13 e c 22
da matriz C.
6.Obtenha a matriz X em cada caso, sabendo que A =
(^) e
B =
a) X = (2A +
B
t )
t ;
b) (X + A)
t = 2B;
c) 2 X +
A = −B
t
X;
- O traço de uma matriz quadrada é a soma dos termos da diagonal
principal. Considere a matriz A = (aij ) 8 × 8 cujos elementos são dados por
aij = 5i − 2 j + 1. Sendo assim determine o traço da matriz A, denotado
por tr(A).
- A matriz M é uma matriz diagonal de ordem 4 cujos elementos da
diagonal principal são m 11 = 2, m 22 = − 1 , m 33 = 3 e m 44 = − 2. Deter-
mine a o traço da matriz M
5 .
- Classi que em verdadeiro (V) ou falso (F). Sempre justi cando sua
resposta.
a) X e Y são duas matrizes quadradas simétricas entao X + Y é uma
matriz simétrica. ( )
b) X e Y são duas matrizes quadradas antissimétricas entao X + Y é
uma matriz antissimétrica. ( )
c) X e Y são duas matrizes quadradas simétricas entao XY é uma
matriz simétrica. ( )
d) X é uma matriz quadrada simétrica e Y é uma matriz quadrada
antissimétrica então X + Y é uma matriz quadrada antissimétrica.
( )
- Calcule os determinantes abaixo utilizando um método apropriado:
f) F =
- Use o método da matriz inversa para resolver os sistemas de
equação abaixo:
a)
2 x − 3 y = 7
3 x + 5y = 1
b)
2 x − y − 3 z = 5
3 x − 2 y − 2 z = 5
5 x − 3 y − z = 16
c)
2 x + 3y − z = 1
3 x + 5y + 2z = 8
x − 2 y − 3 z = − 1
- Use a REGRA DE CRAMER para resolver os sistemas abaixo. Es-
creva o conjunto solução e classi que-os:
a)
x − y + 2z = 0
2 x + 3y − 2 z = 1
x − 3 y − z = − 1
b)
x + 2y + z = 0
−x + 3z = 5
x − 2 y − z = 1
c)
x − y + z + w = 0
x + 3y − z − w = 1
x − y − w = − 1
y − w = 2
- Use o método de Gauss-Jordan para obter o conjunto solução dos
sistemas de equação abaixo. Classi que-os:
a)
x + z = 3
x + 2y + 2z = 6
3 y + 3z = 6
b)
x + y + z = 4
2 x + 5y − 2 z = 3
x + 7y − 7 z = 5
c)
x − 2 y + 3z = 0
2 x + 5y + 6z = 0
d)
x + y + z + w = 0
x + y + z − w = 4
x + y − z + w = − 4
x − y + z + w = 2
e)
2 x + y − z + w = 0
2 x + y − z − w = 1
x − 3 y − z − w = − 3
f)
x − y + 3z − w = 0
2 x + y + z − 2 w = 1
g)
x + 2y + z = 0
x + 2y − 2 z = 2
−x − 2 y − 4 z = − 9
h)
2 x − 5 y + 3z − 4 s + 2t = 4
3 x − 7 y − 2 y − 5 s + 4t = 9
5 x − 10 y − 5 z − 4 s + 7t = 22
i)
x + 2y + z = 0
2 x + y − z = 0
3 x − 2 y − z = 0
j)
3 x + 2y − 4 z = 1
x − y + z = 3
x − y − 3 z = − 3
−x + y + z = 1
- Determine os valores de a e b para que o sistema abaixo seja possível
e indeterminado. { 6 x + ay = 12
4 x + 4y = b
- Encontre o valor de a para que o sistema seja:
(i) possível e determinado (ii) possível e indeterminado (iii) impossível
−y + az = − 2
x + y + z = a
ax − 2 y + 4z = − 5
x + y − z = 1
2 x + 3y + az = 3
x + ay + 3z = 2
- Num estacionamento, entre motos e carros, contaram um total de
200 rodas. Sabendo que o número de carros é o dobro do número de
motos, quantos veículos de cada espécie estão nesse estacionamento? 20
motos e 40 carros
- Ache dois números inteiros sabendo que a soma deles é 51 e a dife-
rença é 27. 39 e 12
- Descubra dois números inteiros sabendo que a soma deles é 88 e que
um é igual ao triplo do outro. 22 e 66
- Num quintal há galinhas e coelhos, num total de 100 animais. Sa-
bendo que o total de pés é de 320, quantas galinhas e quantos coelhos há
nesse quintal? 40 galinhas e 60 coelhos
- Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos
de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg do produto X são
utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama do insumo B; para cada kg
do produto Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada
kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O preço de venda do kg de cada
um dos produtos X, Y e Z é R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente.
Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1,
kg de A e 2,4 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2900,00. Determine
quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. 500 kg
do produto X, 300 kg do produto Y e 200 kg do produto Z.
- As moedas de um determinado país são de três tipos: As que pesam
3g valem $ 10, as que pesam 5g valem $20 e as que pesam 9g valem
$50. Uma pessoa tem cem moedas, pesando num total 600g e somando
$2800,00. Quantas moedas de cada tipo essa pessoa possui? 10 moedas
de 3g, 60 moedas de 5g e 30 moedas de 9g
- Um nutricionista está elaborando uma refeição que contenha os ali-
mentos A, B e C. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de pro-
teína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidrato. Cada grama
do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e
1 unidade de carboidrato. Já o alimento no alimento C encontramos 3
unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato.
