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Prof. Jomar
Exercícios – Matrizes
- Escreva na forma de tabela as matrizes: a) A=(aij)2x3, aij=i^2 -j; b) B=(bij)2x2, bij=4, se i≥j e bij=2.j-i, se i<j; c) C=(cij)1x5, cij=i+j, se i=j; cij=i^2 +j^2 , se i>j e cij=(i+j)^2 , se i<j; d) D=(dij)5x2, dij=2.i+3.j, se i=j; dij=2i-3j, se i>j e dij=i-j^3 , se i<j.
- Dada a matriz A=(aij)3x4, aij= √i +2, obtenha o elemento a’ 14 da matriz A’, transposta de A.
- Obtenha x, y e z na igualdade entre as matrizes:
a) (^)
1 3 5 x x y x y
x z ;
b) (^)
5 3 x x y x y
x z ;
- Dadas as matrizes:
,^42
A 5 0 B e C , obtenha:
a) A+B-C’; b) –A+B/2; c) 2A-3B-(-C); d) (A-4)+C; e) (A-C)’.
- Dadas as matrizes A e B do exercício 4, obtenha: a) a matriz X tal que: 4X-A+B=0, em que 0 é a matriz nula; b) o produto da matriz A pela matriz B; c) acrescente à matriz A uma linha (3ª): [1 -1] e obtenha, novamente, A.B e, posteriormente, B.A.
- Dadas as matrizes: A=(aij)4x2, aij=i+j e B=(bij)2x3, bij=5, obtenha o elemento c 32 da matriz C=A.B.
- Se a matriz 3 Ar, 5 Bs e (A.B)3x7, então, r e s valem:
- Dadas as matrizes:
,^8
A 1 2 B e C. Obter:
a) a matriz X tal que A.X=B; b) a matriz Z tal que A.B + Z=C.
- A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante. Já a matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos P1, P2 e P3 desse restaurante. Dessa forma:
, : : ( 1 , 2 3 ) : ,. 2 2 0
e emque linhas pratos e ecolunas ace salada c
c
c
s
c
a
A = P Pede-se:
Qual a matriz que fornecerá o custo de produção, em reais, dos pratos (1, 2 e 3)?
- Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: I) AB=BA; II) A(B+C)=AB+AC; III) A(B+C)= (B+C)A; IV) ABC=BAC; V) A(BC)=(AB)C; VI) Se A^2 =0 (matriz nula), então, A=0.
- Considere a matriz (^)
b A a. Obter a e b tal que
A 2 11 6.
- Dada a matriz (^)
A 1 3 , obtenha:
a) A^2 ; b) A^3 ; c) A^14 e d) A^15.
- Dizemos que duas matrizes A e B comutam se AB=BA. Calcule os valores de x e y para que as matrizes
y A e B x comutem.
- Dada a matriz P= (^)
y
x (^) , com x e y reais, pedem-se:
a) os valores da x e y para que se tenha P^2 =I(2); b) a matriz P^17 , nas condições do item (a). Matriz Inversa (clássica) Uma Matriz Quadrada A de ordem n, diz-se invertível (inversível), ou não singular, se e somente se, existir uma matriz que indicamos por A-1, tal que: A.A-1=A-1.A=I
Equação Matricial do Tipo X.A=B Sendo X, A e B matrizes quadradas do mesmo tipo, prova-se que, se A admite inversa, então: X.A=B ⇔ X=B.A- Prova: X.A=B ⇔ (X.A).A-1=B.A-1^ ⇔ X.I=B.A-1^ ⇔ X=B.A-1.
Propriedades da Matriz Inversa Clássica Sendo A e B matrizes quadradas do mesmo tipo e inversíveis, temos que: a) (A-1)-1=A; b) (A-1)’=(A’)-1; c) (AB)-1=B-1A-1; d) A inversa clássica de uma matriz, se existir, é única.
- Se A e B são matrizes quadradas inversíveis e de mesma ordem n, prove que: a) as propriedades (a), (b) e (c); b) (ABA-1)^2 =AB^2 A-1; c) (ABA-1)-1=AB-1A-1.
- Supondo que A e B são inversíveis e I a matriz identidade, o valor de X na equação matricial AX+B=A é dada por:
