1.7 Matrizes diagonais, triangulares e simétricas 71
䉴 EXEMPLO 6 O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz
simétrica
Seja A a matriz 2 3
Então
Observe que ATA e AAT são simétricas, como se esperava. 䉳
Adiante, neste texto, obteremos condições gerais sobre A sob as quais AAT e ATA são
invertíveis. Contudo, no caso especial em que A é quadrada, temos o seguinte resultado.
TEOREMA 1.7.5 Se A for uma matriz invertível, então AAT e ATA também serão inver-
tíveis.
Prova Como A é invertível, também AT é invertível, pelo Teorema 1.4.9. Assim, AAT e
ATA são invertíveis, por serem produtos de matrizes invertíveis. 䉳
Revisão de conceitos
•Matriz diagonal
•Matriz triangular inferior
•Matriz triangular superior
•Matriz triangular
•Matriz simétrica
Aptidões desenvolvidas
•Determinar se uma matriz diagonal é invertível sem fazer
contas.
•Calcular mentalmente produtos matriciais envolvendo
matrizes diagonais.
•Determinar se uma matriz é triangular.
•Entender como a transposição afeta matrizes diagonais e
triangulares.
•Entender como a inversão afeta matrizes diagonais e
triangulares.
•Determinar se uma matriz é simétrica.
Conjunto de exercícios 1.7
䉴 Nos Exercícios 1–4, determine se a matriz dada é invertível. 䉳
1. 2.
3. 4.
䉴 Nos Exercícios 5–8, determine o produto por inspeção. 䉳
5.
6.
7.
