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EXERCICIOS DE VIGAS GERBER, Exercícios de Materiais

Universidade Federal do ABC (UFABC)Materiais

VIGAS EM ESTABILIDADE E ROTULAS

Tipologia: Exercícios

2023

À venda por 18/08/2023

roberto-simplicio
roberto-simplicio 🇧🇷

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Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo
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SISTEMAS ESTRUTURAIS
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Apostila 1: Sistemas Estruturais: Aplicações
Prof. Engº Civil Ederaldo da Silva Azevedo
Macapá, Setembro de 2013
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SISTEMAS ESTRUTURAIS

Apostila 1: Sistemas Estruturais: Aplicações

Prof. Engº Civil Ederaldo da Silva Azevedo

Macapá, Setembro de 2013

1. VIGAS ISOSTÁTICA

1.1. Cálculo das Reações

Como já vimos, as reações de apoio se opõe à tendência de movimento devido às cargas aplicadas, resultando um estado de equilíbrio estável. Nas estruturas isostáticas constituídas por uma única chapa, o número de equações de equilíbrio disponíveis é igual ao número de incógnitas, possibilitando o cálculo das reações de forma muito simples. Assim, relembrando o dado na apostila 1, supondo a estrutura no plano xy , as condições de equilíbrio é dado pelas equações:

y ∑ ∑ (0,0)a ∑^ x ∑

∑ ∑ ∑

Onde Fx e Fy são as componentes das forças aplicadas em relação aos eixos x e y, respectivamente e; M o módulo do momento das forças em relação a um ponto qualquer do plano.

Poderão ser usadas, nos problemas práticos, também como condições de equilíbrio, três equações de momentos , desde que relativas a pontos não pertencente à mesma reta(pontos não colineares):

Exemplo 1: Viga isostática com carga distribuída simétrica.

q= 1 KN/m Diagrama de Corpo Livre (DCL)

Modelo Estrutural (ME)

Rv1 Rv

Rh

Sistema de Referência (SR)

A B

Equações de Equilíbrio (EE)

∑ ∑ ∑

∑ RH=

∑ RV 1 + RV 2 – q.L = 0

∑ (Para se fazer um somatório de momentos, é necessário escolher um ponto fixo , que deverá estar localizado dentro do sistema de referência adotado. Para maior facilidade é necessário conveniente que esse ponto coincida com um ponto localizado sobre o modelo estrutural onde houver maior número de incógnitas. No exemplo em análise o ponto a ser escolhido é o ponto A. A escolha do ponto para determinação dos momentos é um passo muito importante, pois dependendo do ponto escolhido, a resolução do problema pode ser simplificada ou muito complicada.)

Assim,

∑ (RH 1 .0) + (RV 1 .0) – (RV 2 .L) + (q.L.L/2)= q.L²/2- RV 2 .L=0 (multiplicando 1/L) q.L/2 – RV 2 =0 RV 2 = qL/

Substituindo RV2 na equação ∑

∑ RV 1 + qL/2 – qL =

RV 1 = qL/

Respostas: RV1=qL/2; RV2=qL/2; RH=

Exemplo 2: Viga isostática com carga concentrada no centro da viga.

Diagrama de Corpo Livre (DCL)

Modelo Estrutural (ME)

Rv1 Rv

Rh

Sistema de Referência (SR)

A B

P

P= kN

Equações de Equilíbrio (EE)

∑ ∑ ∑

∑ RH=
∑ RV 1 + RV 2 – P = 0 RV 1 = P – RV 2
∑ (RH 1. 0) + (RV 1 .0) – (RV 2 .L) + (P.L/2) = 0

∑ (RH 1. 0) + (RV 1 .0) – (RV 2 .L) + (q.L.L/2) + (P.L/2) = 0 P.L/2 + q.L²/2 – RV 2 .L =0 multiplicando 1/L para simplificar P/2 + q.L/2 – RV 2 = RV 2 = P/2 + qL/

Substituindo RV2 na equação ∑

∑ RV1 + RV2 = P + qL

RV1=P/2 + qL/ Respostas: RV1= P/2 + ql/2; RV2= P/2+ qL/2; RH=

Análise dos resultados obtidos nos três exemplos anteriores:

  1. A reação de apoio horizontal em todos os casos é igual a zero, porque não existe, no modelo em análise, nenhuma força horizontal ativa;
  2. Quando uma viga está submetida a uma carga uniformemente distribuída, as reações de apoio são iguais; RV1=RV2=q.L/
  3. Quando a viga está submetida a uma carga concentrada no meio do seu vão, as reações de apoio também são iguais; RV1=RV2=P/
  4. Quando a viga estiver submetida a uma carga uniformemente distribuída e a uma carga concentrada no meio do seu vão, as reações de apoio são iguais ao somatório das reações dos dois casos anteriores. RV1=RV2= qL/2 + P/ Isso acontece devido ao princípio da superposição de efeitos. Esse princípio diz que, quando existir linearidade entre as forças que atuam no sistema, quer dizer, quando as ações de uma carga não afetam as reações da outra, as cargas que atuam no sistema se somam, e seus efeitos também.
  1. As cargas uniformemente distribuídas são concentradas a um determinado ponto. Esse ponto deve ser o baricentro da área de atuação da carga. No caso de cargas uniformemente distribuídas de seção constante, o baricentro é exatamente o centro do espaço de atuação da carga.(abaixo)
  2. Em cargas triangulares, o baricentro está localizado a 1/3 do lado maior.(abaixo)

q= KN/m

P= q.L

q1= KN/m

q2= KN/m P1= q1.L P2= q2.L =

q P= q.L/ =

Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 60

∑ RV1 + 30 = 60

RV1 = 30 kN Respostas: RV1= 30 kN; RV2= 30 KN; RH=

Diagrama com as Cargas Ativas e Reativas

Rv1=30 kN Rv2=30 kN

Rh=

A B

P= 60 kN

  1. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento submetida ao carregamento de carga uniformemente distribuída , de 8KN/m por todo o vão.

q= 8 KN/m

Diagrama de Corpo Livre (DCL)

Modelo Estrutural (ME)

Rv1 Rv

Rh A B

q= 8 KN/m

RESOLUÇÃO:

Sistema de Referência (SR)

Equações de Equilíbrio (EE)

∑ ∑ ∑

∑ RH=
∑ RV 1 + RV 2 – (8.6) = 0 RV1 + RV2= 48
∑ (RH 1. 0) + (RV 1 .0) + 48.3 - RV2.6 = 0
0+0+144 - RV2.6 =
6RV 2 =1 44
RV2=144/

RV2= 24 kN

Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 48

∑ RV1 + 24 = 48

RV1 = 24 kN

Respostas:

RV1= 24 kN;

∑ RV 1 + RV 2 – (6.4) = 0 RV1 + RV2= 24
∑ (RH 1. 0) + (RV 1 .0) + 24.4 - RV2.6 = 0
0+0+96 - RV2.6 =
6RV 2 =
RV2=96/

RV2= 16 kN

Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 24

∑ RV1 + 16 = 24

RV1 = 8 kN Respostas: RV1= 8 kN; RV2= 16 KN; RH=

q= 6 KN/m

Rv1= 8 kN Rv2= 16 kN

Rh=

Diagrama com as Cargas Ativas e Reativas

  1. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento submetida ao carregamento de carga distribuída triangular , sobre todo o vão com 6KN/m na extremidade direita.

6,00 m

q= 6 kN/m

q= 6 kN/m RhA (^) Rv1 BRv

Modelo Estrutural (ME)

Diagrama de Corpo Livre (DCL)

RESOLUÇÃO: R= 6 X 6/2 = 18 kN

4,00 m 6,00 m

2,00 m

Sistema de Referência (SR)

  • (^) -

R=área do triangulo

Equações de Equilíbrio (EE)

∑ ∑ ∑

∑ RH=
∑ RV 1 + RV 2 – (6.6/2) = 0 RV1 + RV2= 18
∑ (RH 1. 0) + (RV 1 .0) + 18.4 - RV2.6 = 0
0+0+72 - RV2.6 =
6RV 2 =
RV2=72/

RV2= 12 kN

Substituindo RV 2 na equação RV1 + RV2= 18

∑ RV1 + 12 = 18

RV 1 = 6 kN

∑ ∑ ∑

∑ RH=
∑ RV 1 + RV 2 = 0 RV1 = - RV 2
∑ (RH 1. 0) + (RV 1 .0) + 30 - RV2.6 = 0
0 + 0 + 30 - RV2.6 =
6RV 2 =
RV2=30/

RV2= 5 kN

Substituindo RV 2 na equação RV1 = - RV 2

∑ RV1 = -

RV 1 = - 5 kN

Respostas: RV1= - 5 kN; RV2= 5 KN; RH= Obs.: O sinal negativo de RV1 indica que o sentido correto da reação é o oposto ao inicialmente arbitrado. Uma solução mais refinada seria obtida observando-se que, para equilibrar o momento aplicado na viga, as reações verticais teriam que ser equivalentes a um binário, de mesma intensidade e sentido contrário, Fig. abaixo.

5 kN 5 kN

Rh= A + B

M= 30kN.m

Diagrama de Cargas Ativas e Reativas

  1. Calcule as reações de apoio para uma viga em balanço de 4m de comprimento submetida a uma carga concentrada de 20 kN na sua extremidade.

P= 20 kN

Diagrama de Corpo Livre (DCL)

Rv

Rh

Sistema de Referência (SR)

A B

20 kN

RESOLUÇÃO:

Ma

Modelo Estrutural (ME) q= 8 KN/m

M=20kNm 10 kN

Diagrama de Corpo Livre (DCL)

RESOLUÇÃO:

M=20kNm 10 kN

Rv

Rh

A B Rv

q= 8 KN/m

Sistema de Referência (SR)

R=8.4=32kN

∑ ∑ ∑

∑ RH=
∑ RV 1 + RV 2 – 32 – 10 = 0 RV1 + RV2 = 42
∑ (RH. 0) + (RV 1 .0) + 32.2 - 20 - RV2.6 + 10.8= 0
0 + 0 + 64 – 20 - RV2.6 - 80 =
6RV 2 = 100 - 64
RV2=36/

RV2= 6 kN

Substituindo RV 2 na equação RV1 + RV2= 42

∑ RV1 + 6 = 42

RV 1 = 36 kN

Diagrama de carga ativa e reativa

M=20kNm 10 kN

Rv1=

Rh=

A B Rv2=

q= 8 KN/m

Respostas: RV1= 36 kN; RV2= 6 KN; RH=

  1. Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico abaixo:

3 kN

4 KN/m