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Análise Combinatória: Princípios Básicos e Exemplos, Exercícios de Matemática

Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)Matemática

Os princípios básicos da análise combinatória, incluindo o princípio da multiplicação e do adição, e fornece exemplos para ilustrar aplicação destes princípios em contagem de subconjuntos de um conjunto finito. O documento enfatiza a importância de entender os princípios e reconhecer a técnica adequada em cada caso.

Tipologia: Exercícios

2022

Compartilhado em 10/12/2022

emilly-torquato
emilly-torquato 🇧🇷

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ANALISE COMBINATORIA
Antônio L. Pereira -IME USP (s. 234A) email:[email protected]
Introducão
Embora frequentemente lembrada como o estudo de ‘arranjos’, ‘permutações’ e
‘combinacões’ a Análise Combinatória de fato trata de muitos outros conceitos e
técnicas ligadas ao estudo de estruturas e relações em conjuntos finitos (ou mais
geralmente discretos). O nosso objetivo principal aqui será o de estudar algumas
técnicas e conceitos que permitam a contagem de certos tipos de subconjuntos de um
determinado conjunto finito. Veremos que muitos problemas de contagem podem ser
tratados usando apenas alguns princípios básicos e alguma (às vezes muita)
engenhosidade. Nossa ênfase será na compreensão plena do problema tratado e no
reconhecimento da técnica adequada em cada caso. Estes são passos iniciais
essenciais e, frequentemente, a parte mais delicada no tratamento de um problema
combinatório (e de muitos outros tipos também).
Dois princípios fundamentais
•Princípio da Multiplicação: Se uma decisão d1 pode ser tomada de x
maneiras e se,uma vez tomada a decisão d1 , a decisão d2 puder
ser tomada de y maneiras então o número de maneiras de se tomarem as
decisões d1 e d2 é xy.
•Princípio da Adição: Se A e B são conjuntos disjuntos, com p e q elementos
respectivamente, então A B tem p + q elementos.
Alguns exemplos
Exemplo 1 A professora Ana tem 40 estudantes em sua classe de Combinatória e 30
estudantes em sua classe de Geometria. Quantos estudantes ela tem no total?
Exemplo 2 Em um cardápio estão listados 6 pratos e 3 molhos distintos. Quan-tos
pedidos distintos podem ser feitos?
Exemplo 3 Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser col-oridas
usando-se apenas as cores amarelo, branco e preto, não devendo listras adjacentes ter
a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
(Obs. Note que cada escolha limita as opções subsequentes.)
Exemplo 4 Quantos números naturais de 3 algarismos distintos (na base 10)
existem? (Obs. As decisões envolvidas podem ser tomadas em varias ordens? Qual é
a mais conveniente? )
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Baixe Análise Combinatória: Princípios Básicos e Exemplos e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!

ANALISE COMBINATORIA

Antônio L. Pereira -IME USP (s. 234A) email:[email protected]

Introducão

Embora frequentemente lembrada como o estudo de ‘arranjos’, ‘permutações’ e ‘combinacões’ a Análise Combinatória de fato trata de muitos outros conceitos e técnicas ligadas ao estudo de estruturas e relações em conjuntos finitos (ou mais geralmente discretos). O nosso objetivo principal aqui será o de estudar algumas técnicas e conceitos que permitam a contagem de certos tipos de subconjuntos de um determinado conjunto finito. Veremos que muitos problemas de contagem podem ser tratados usando apenas alguns princípios básicos e alguma (às vezes muita) engenhosidade. Nossa ênfase será na compreensão plena do problema tratado e no reconhecimento da técnica adequada em cada caso. Estes são passos iniciais essenciais e, frequentemente, a parte mais delicada no tratamento de um problema combinatório (e de muitos outros tipos também).

Dois princípios fundamentais

  • Princípio da Multiplicação: Se uma decisão d 1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada a decisão d 1 , a decisão d 2 puder ser tomada de y maneiras então o número de maneiras de se tomarem as decisões d 1 e d 2 é xy_._
  • Princípio da Adição: Se A e B são conjuntos disjuntos , com p e q elementos respectivamente, então A B tem p + q elementos.

Alguns exemplos

Exemplo 1 A professora Ana tem 40 estudantes em sua classe de Combinatória e 30 estudantes em sua classe de Geometria. Quantos estudantes ela tem no total? Exemplo 2 Em um cardápio estão listados 6 pratos e 3 molhos distintos. Quan-tos pedidos distintos podem ser feitos? Exemplo 3 Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser col-oridas usando-se apenas as cores amarelo, branco e preto, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira? (Obs. Note que cada escolha limita as opções subsequentes .) Exemplo 4 Quantos números naturais de 3 algarismos distintos (na base 10) existem? ( Obs. As decisões envolvidas podem ser tomadas em varias ordens? Qual é a mais conveniente? )

Exemplo 5 Quantos números naturais pares de 3 algarismos distintos (na base 10) existem? ( Obs. Qual é a dificuldade quando se tenta usar o princípio da multiplicação? ) Exemplo 6 Em uma estante existem 5 livros em espanhol, 6 em francês e 3 em inglês. De quantas maneiras posso escolher 2 livros sem escolher dois da mesma lingua? ( Obs. Voce pode resolver este problema de mais de uma maneira? ) Exemplo 7 Quantas coleções distintas podem ser formadas com 5 maçãs (idênticas) e oito laranjas (idem)? ( Obs. O que distingue uma coleção de outra? ) Exemplo 6 Quantas maneiras existem de formar uma sequência com 3 letras usando as letras a,b,c,d,e,f nos seguintes casos:

  1. permitindo repetição de letras?
  2. sem repetição de qualquer das letras?
  3. sem permitir repetições e exigindo que a letra f apareça?
  4. permitindo repetições e exigindo que a letra e apareça?

Problemas

Vamos considerar agora alguns problemas de grau variado de dificuldade. Ao tentar resolvê-los lembre-se: para todos (ou pelo menos quase todos) nós problemas de aparência simples podem ser difíceis e isto é particularmente verdadeiro no assunto que estamos tratando. Não é possível dar uma ”receita” que cubra todos os casos, mas as seguintes sugestões podem ser uteis´.

(a) Estaremos tentando contar o número de ‘objetos’ de uma certa classe. Tente

identificar precisamente quando um objeto pertence á classe e quando dois deles devem ser considerados distintos. (b) Faça uma representação (figura, esquema, etc.) do problema. Liste alguns dos objetos que pertencem e outros que não pertencem à coleção. (c) Examine quantas ‘decisões’ você deve tomar para executar os passos (a) e (b). Tente usar os princípios básicos para contar os objetos. Se surgirem dificuldades, tente entender claramente quais são elas. Caso ainda não esteja claro como proceder você pode tentar: (a’) Dividir em subcasos que você saiba resolver. (b’) ‘Esquecer’ algumas das condições exigidas para que um objeto pertença (^) ´ à coleção. Isto, em geral, dá origem a uma classe maior que a desejada. É necessário, portanto, excluir posteriormente os objetos ”indesejados” (c’) Enunciar o problema de uma forma diferente e/ou descobrir problemas equivalentes. Muitas vezes estes poderão ser mais simples de resolver.

  1. (**) Escrevem-se os inteiros de 1 até 222 222. Quantas vezes o algarismo zero é escrito? R.108 462

Questões do ultimo concurso para professor III

  1. Para uma seleção brasileira de futebol foram convocados 2 jogadores para cada uma das 11 posições. De quantas maneiras a seleção pode ser escalada, respeitando-se a posição de cada jogador?

a) 112 b)2^1 1 c) 22 d) 22^2 e) 2^22

  1. Numa urna há 6 bolas numeradas de 1 a 6. Extraindo-se sucessivamente 6 bolas, qual a probabilidade de que a bola de número 6 saia antes do que a bola de número 1?

a) 12 b) 23 c) 34 d) 56 e) 16