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01. (ESPM/SP – 2004) Tomando-se no máximo 3 elementos distintos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4}, a quantidade de números inteiros não negativos que podem ser formados é: A) 48; B) 64; C) 69; D) 72; E) 80. 02. (FMTM/MG – 2003) No jogo de xadrez, a primeira jogada de cada um dos 2 jogadores só pode ser executada com um dos seus 8 peões ou com um dos seus 2 cavalos, sendo que cada uma dessas peças tem 2 maneiras distintas de fazer seu primeiro movimento. No começo do jogo, cada peão e cada cavalo ocupam posições distintas. O total de posições distintas que se pode formar após o primeiro lance, ou seja, saída de um jogador e resposta do outro, é: A) 10 B) 20 C) 40 D) 200 E) 400 03. (MACK/SP– 2005) Um professor deve ministrar 20 aulas em 3 dias consecutivos, tendo, para cada um dos dias, as opções de ministrar 4, 6 ou 8 aulas. O número de diferentes distribuições possíveis dessas 20 aulas, nos 3 dias, é: a) 7 b) 6 c) 4 d) 10 e) 8 04. (MACK/SP– 2005) Uma padaria faz sanduíches, segundo a escolha do cliente, oferecendo 3 tipos diferentes de pães e 10 tipos diferentes de recheios. Se o cliente pode escolher o tipo de pão e 1, 2 ou 3 recheios diferentes, o número de possibilidades de compor o sanduíche é: a) 525 b) 630 c) 735 d) 375 e) 450 05. (PUC/RS– 2005) O atleta brasileiro Vanderlei Cordeiro de Lima foi perturbado por um espectador quando liderava a maratona na última Olimpíada, em Atenas. Mesmo assim, conquistou a medalha de bronze. Supondo que não houvesse o incidente e que a disputa pelos três primeiros lugares fosse feita pelos mesmos três atletas, o número de possibilidades diferentes para o pódio olímpico, além daquela que aconteceu, é: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 06. (PUC/RS– 2004) Marcam-se 3 pontos sobre uma reta r e 4 pontos sobre outra reta paralela a r. O número de triângulos que existem, com vértices nesses pontos, é: A) 60 B) 35 C) 30 D) 9 E) 7 07. (PUC/RS– 2003) A soma das raízes da equação , é: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 08. (UEL/PR– 2005) Um professor entrega 08 questões aos alunos para que, em uma prova, escolham 05 questões para resolver, sendo que duas destas questões são obrigatórias. Ao analisar as provas, o professor percebeu que não havia provas com as mesmas 05 questões. Assim, é correto afirmar que o número máximo de alunos que entregou a prova é: a) 6 b) 20 c) 56 d) 120 e) 336 09. (UFV/MG– 2003) Na primeira fase de um campeonato de futebol, os times participantes são divididos em 8 grupos de times. Se, em cada grupo, todos os times se enfrentam uma única vez, então o número de jogos realizados nesta fase é: a) (- 1) b) 8(- 1) c) 8 d) 4(- 1) e) 4
10. (UFV/MG– 2004)
Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses nutrientes para obter um composto químico. O número de compostos que poderão ser preparados usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é: a) 26 b) 30 c) 28 d) 32 e) 34
11. (ESPM/SP– 2003) A expressão eqüivale a: a) b) c) d) e) 12. (FATEC/SP–2003) Com uma letra A , uma letra C , uma letra E , uma letra F e uma letra T , é possível formar 5! = 120 “palavras” distintas (anagramas, com ou sem sentido). Colocando-se essas “palavras” em ordem alfabética, a posição ocupada pela palavra FATEC será a A) 77 a^ B) 78 a^ C) 80a^ D) 88a^ E) 96 a 13. (IBMEC/SP–2005) Considere a palavra IBMEC. a) Determine quantas palavras podem ser formadas utilizando, sem repetição, uma, duas, três, quatro ou as cinco letras dessa palavra. (Por exemplo, I , BC , MEC , CEM , IMEC e a própria palavra IBMEC devem incluídas nesta contagem.)
b) Colocando todas as palavras consideradas no item anterior em ordem alfabética, determine a posição nesta lista da palavra IBMEC.
14. (ITA/SP–2001) A respeito das combinações temos que, para cada n = 1, 2, 3, ..., a diferença é igual a: A) D) B) E) C)
15. (ITA/SP–2002) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a, b e c? A) 1692. B) 1572. C) 1520. D) 1512. E) 1392. 16. (ITA/SP–2002) Mostre que , para quaisquer x e y reais positivos.
Obs.: denota a combinação de n elementos tomados p a p.
17. (UNAMA/PA–2003) A segunda fase do campeonato nacional de futebol terá apenas 8 clubes, dentre os quais serão premiados o campeão e o vice- campeão. O número de maneiras distintas de fazer essa premiação é: A) 56 B) 48 C) 36 D) 24 18. (ITA/SP–2003) Considere o conjunto S = {( a , b ) є IN × IN: a + b = 18}. A soma de todos os números da forma ,F 0 2 2( a , b ) є S, é: A) 8^6 B) 9! C) 9 6 D) 12^6 E) 12!
Responda a questão de 19 tomando por base o TEXTO abaixo:
19. (UNAMA/PA–2004) O número de modos diferentes que podemos escolher um casal (Homem, Mulher) dentre os participantes da pesquisa para medir o gasto de energia é: A) 343 B) 98 C) 49 D) 21 20. (UFPE/PE–1999) Considerando que em uma festa existem 15 pessoas, não podemos afirmar que: A) pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano. B) pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana. C) se uma pessoa conhece as demais então existem pelo menos duas com o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco) D) se uma pessoa não conhece ninguém então pode não existirem duas pessoas com o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco). E) a diferença de idade "em anos " de duas delas é um múltiplo de 14. 21. (UFPE/PE–1999) Um jogo consiste na escolha de um número do conjunto {1, 2, 3}, que deve ser adicionado a um mesmo montante, o qual no início do jogo é igual a 0. O ganhador é o jogador que primeiro conseguir que o montante alcance ou ultrapasse o valor 100. Suponha que, tendo Joaquim como adversário, Pedro comece o jogo. Analise as alternativas a seguir, referentes aos possíveis resultados do jogo. 1-0) Se os dois sempre escolhem o 3 então Pedro será o ganhador. 1-1) Joaquim pode escolher as suas jogadas de forma que o montante sempre fique divisível por 4. 1-2) Joaquim pode escolher suas jogadas de forma a ser o ganhador. 1-4) Se Pedro sempre escolhe o 1 e Joaquim sempre escolhe o 2 então Joaquim será o ganhador. 1-5) Se Pedro começa escolhendo o 2 então Joaquim sempre será o ganhador. 22. (UFBA/BA-1999) Sobre análise combinatória e binômio de Newton, é verdade:
(01) Se x 1 e x 2 são raízes da equação !F 0 3 D1 , então. (02) Com todas as letras da palavra EXAME podem-se formar 60 anagramas. (04) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, podem-se formar 60 centenas, com algarismos não repetidos. (08) Num campeonato de futebol, cada time joga apenas uma vez com cada adversário; se são 10 times inscritos, o número total de partidas realizadas no campeonato é igual a 90. (16) Considerando-se 6 pontos distintos em uma circunferência, podem-se construir 42 polígonos convexos inscritos, com vértices nesses pontos.
No texto inicial apresentado em código, os símbolos gráficos (excluindo vírgulas e pontos) aparecem segundo o histograma abaixo:
Sabe-se também que as quatro letras mais freqüentes no texto original são, de fato, as quatro letras mais utilizadas na língua portuguesa, não necessariamente na mesma ordem , e que a palavra “SABER” está presente no texto.
Com base nessas informações, é correto afirmar que as letras A, E, O e S do texto original estão representadas no texto codificado, respectivamente , pelos símbolos gráficos: A) J, Z, N e V D) Z, V, J e N B) V, N, J e Z E) Z, J, V e N C) V, Z, J e N
29. (UFMT/MT-2003) Nas eleições de 1998, o eleitor mato-grossense tinha a sua escolha 12 candidatos a presidente, 5 candidatos a governador e 4 candidatos a senador, conforme tabelas abaixo.
CANDIDATO A PRESIDENTE PARTIDO
P1 A
P2 B
P3 C
P4 F
P5 G
P6 H
P7 I
P8 J
P9 K
P10 L
P11 M
P12 N
CANDIDATO A GOVERNADOR PARTIDO
G1 A
G2 B
G3 D
G4 F
G5 O
CANDIDATO A SENADOR PARTIDO
S1 A
S2 B
S3 E
S4 P
Os partidos A, B, C, D e E são de grande projeção nacional.
De quantas maneiras distintas um eleitor poderia votar nos três cargos em candidatos de partidos diferentes com grande projeção nacional?
30. (ITA/SP–2001) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par? A) 375 B) 465 C) 545 D) 585 E) 625 31. (UFPE/PE–2001) Suponha que existam 20 diferentes tipos de aminoácidos. Qual dos valores abaixo mais se aproxima do número de agrupamentos ordenados, formados de 200 aminoácidos, que podem ser obtidos? Dado: Use a aproximação: log 10 2 F 0 4 00,30.
A) 10 220 B) 10 230 C) 10^240 D) 10^250 E) 10 260
32. (UFPE/PE–1999) A ilustração abaixo é do mapa de uma região, onde estão indicadas as cidades A , B , C , D , E , F e as estradas que ligam estas cidades. Um vendedor deseja empreender uma viagem partindo de A para visitar cada uma
das outras cidades, exatamente uma vez, e voltar para A. Acerca dos trajetos possíveis de tais viagens, qual das seguintes afirmações é incorreta? A) Existem 6 trajetos para o vendedor. B) Se ele começa visitando D existe um único trajeto. C) Se ele primeiro visita B então existem três trajetos. D) Se ele começa visitando E existe um único trajeto. E) Existem três trajetos em que ele visita C antes de B.
33. (FGV/SP–2004)
a) Os enxadristas Dráuzio e João jogam 12 partidas de xadrez, das quais 6 são vencidas por Dráuzio, 4 por João e 2 terminam empatadas. Os jogadores combinam a disputa de um torneio com 3 partidas. Determine a probabilidade de 2 das 3 partidas do torneio terminarem empatadas.
b) O Conselho Diretor de uma empresa é composto por n diretores, além do Presidente. Com os membros do Conselho Diretor podem ser formadas C comissões de 4 elementos, todas contando com a participação do Presidente. Se, no entanto, a presença do Presidente não for obrigatória, podendo participar ou não, 2C comissões poderão ser formadas. Determine o número de membros do Conselho Diretor.
34. (PUC/RS-2001) Se , então n é igual a a) 13 b) 11 c) 9 d) 8 e) 6 35. (PUC/RS-2000) Colocando em ordem crescente todos os inteiros de cinco algarismos distintos obtidos com 1, 2, 5, 6 e 8, a posição do inteiro 61582 é a) 74ª b) 76ª c) 78ª d) 85ª e) 96ª 36. (PUC/PR– 2005) Um quadrado mágico é um arranjo quadrado de números tais que a soma dos números em cada fila (linha ou coluna) e nas duas diagonais é o mesmo. Os nove números n , n + 3 , n + 6 , ..., n + 24 , em que n é um número inteiro positivo, podem ser usados para construir um quadrado mágico de três por três. A soma dos números de uma fila deste quadrado vale: A) 3 n + 6 B) 3 n + 36 C) 3 n D) 3 n + 24 E) 3 n + 12 37. (ESPM/SP– 2005) A quantidade de números naturais de 3 algarismos distintos cuja soma dos algarismos é 20 é: a) 30; b) 26; c) 24; d) 20; e) 18. 38. (UFPE/PE–2003) Um candidato a deputado faz 3 promessas distintas por comício. Como estratégia eleitoral, ele nunca repete em um comício as mesmas três promessas já feitas em outro comício. Qual o número mínimo de promessas que ele deve compor para poder realizar 30 comícios? 39. (Fuvest/SP-1990) Uma caixa automática de banco só trabalha com notas de 5 e 10 cruzados novos. Um usuário deseja fazer um saque de NCz$100,00. De quantas maneiras diferentes a caixa eletrônica poderá fazer esse pagamento? a) 5. b) 6. c) 11. d) 15. e) 20. Resp.C 40. (Unicamp/SP-1991) Sabendo que números de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantos diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos.
a) 12! b) (8!) (5!) c) 12! - (8!) (5!) d) 12! - 8! e) 12! - (7!) (5!) Resp.: C
52. (Unb/DF-1997) Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado na figura I, deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior (DI). Somente são permitidos os movimentos horizontal (H), vertical (V) e diagonal (D), conforme ilustrado na figura II.
Com base nessa situação e com o auxílio dos princípios de análise combinatória, julgue os itens que se seguem. (0) Se forem utilizados somente movimentos horizontais e verticais, então o número de percursos possíveis será igual a
(1) Se forem utilizados movimentos horizontais e verticais e apenas um movimento diagonal, o número de percursos possíveis será igual a 140. (2) Utilizando movimentos horizontais, verticais e três movimentos diagonais, o número de percursos possíveis é igual a
Resp.: itens corretos: 0, 1; item errado: 2.
53. (Puccamp/SP-1998) O número de anagramas da palavra EXPLODIR, nos quais as vogais aparecem juntas, é a) 360 b) 720 c) 1.440 d) 2.160 e) 4. Resp.: E 54. (Vunesp/SP-1992) Determinar quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas pertencem a {1,2,3,4} e os demais algarismos a {0,5,6,7,8,9}. Resp. 48 55. (Ufmg/MG-1994) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O número 75391 ocupa, nessa disposição, o lugar a) 21° b) 64° c) 88° d) 92° e) 120° Resp. C 56. (UFBA/BA-1996) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se formar x números ímpares, com três algarismos distintos cada um. Determine x. Resp. x = 40 57. (Faap/SP-1997) Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos? a) 25.000 b) 120 c) 120.000 d) 18.000 e) 32. Resp. D 58. (Vunesp/SP-1998) Considere o conjunto A dos múltiplos inteiros de 5, entre 100 e 1000, formados de algarismos distintos. Seja B o subconjunto de A formado pelos números cuja soma dos valores de seus algarismos é 9. Então, a soma do menor número ímpar de B com o maior número par de B é: a) 835. b) 855. c) 915. d) 925. e) 945. Resp. E 59. (Unicamp/SP-1999) Um torneio de futebol foi disputado por quatro equipes em dois turnos, isto é, cada equipe jogou duas vezes com cada uma das outras. Pelo regulamento do torneio, para cada vitória são atribuídos 3 pontos ao vencedor e nenhum ponto ao perdedor. No caso de empate, um ponto para cada equipe. A classificação final no torneio foi a seguinte:
a) Quantas partidas foram disputadas em todo o torneio? b) Quantos foram os empates? c) Construa uma tabela que mostre o número de vitórias, de empates e de derrotas de cada uma das quatro equipes.
Resp. a) 12 b) 4 c) Observe a figura a seguir
60. (Fuvest/SP-1994) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1,2,3,...,até 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4(quadra), 5(quina) ou todos os 6(sena) números sorteados. Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 números e faz todos os 38760 jogos possíveis de serem realizados com esses 20 números. Realizado o sorteio, ele verifica que TODOS os 6 números sorteados estão entre os 20 que ele escolheu. Além de uma aposta premiada com a sena. a) quantas apostas premiadas com a quina este apostador conseguiu? b) Quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu? Resp. a) 84 b) 1365 61. (Vunesp/SP-1995) Nove times de futebol vão ser divididos em 3 chaves, todas com o mesmo número de times, para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça de chave definido. Nessas condições, o número de maneiras possíveis e diferentes de se completarem as chaves é: a) 21. b) 30. c) 60. d) 90. e) 120. Resp. D 62. (Unitau/SP-1995) Sendo A=
C 2 (combinação de 5 dois a dois), B=log 0,01 e , o valor da expressão A.B.C é:
a) 1. b) 2. c) 10. d) - 5. e) 5. Resp. E
63. (Unitau/SP-1995) O número de maneiras que se pode escolher uma comissão de três elementos num conjunto de dez pessoas é: a) 120. b) 210. c) 102. d) 220. e) 110. Resp. A 64. (Ita/SP-1996) Três pessoas, A, B, C, chegam no mesmo dia a uma cidade onde há cinco hotéis H 1 , H 2 ‚, H 3 , H 4 e H 5. Sabendo que cada hotel tem pelo menos três vagas, qual/quais das seguintes afirmações, referentes à distribuição das três pessoas nos cinco hotéis, é/são corretas?
(I) Existe um total de 120 combinações. (II) Existe um total de 60 combinações se cada pessoa pernoitar num hotel diferente. (III) Existe um total de 60 combinações se duas e apenas duas pessoas pernoitarem no mesmo hotel.
a) Todas as afirmações são verdadeiras. b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. c) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. d) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. e) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras. Resp. E
65. (FMABC - SP) Simplifique
a) 101 103 b) 102! c) 100 000 d) 101! e) 10 403
66. Os valores de x que verificam a expressão são:
a) 3 ou – b) 6 c) -3 ou 6 d) 3 e) -
67. (CEFET - PR) O valor de n para que é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
e)
76. (FUVEST - SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:
a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144
77. (CEFET - PR) O número de anagramas da palavra NÚMERO, em que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é:
a) 12 b) 36 c) 48 d) 60 e) 72
78. (MACK - SP) O número de maneiras diferentes de colocar em uma linha de um tabuleiro de xadrez (8 posições) as pesas brancas (2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, a rainha e o rei) é:
a) 8! b) 504 c) 5040 d) 8 e) 4
79. (PUC - PR) Oito políticos foram convidados a participar de uma mesa em uma convenção. Os lugares eram contíguos e dispostos em linha, de um mesmo lado da mesa. Sabendo que o político A não suporta o político B, não podendo sentar juntos, de quantas maneiras a mesa poderá ser composta?
a) 56 b) 5040 c) 30240 d) 35280 e) 40320
80. (UFRN - RN) A quantidade de número de dois algarismos distintos que se pode formar com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9 é igual a:
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
81. (MACK - SP) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:
a) 1680 b) 8! c) 8. 4! d) e) 32
82. (PUC - MG) O número inteiro positivo que verifica a equação A (^) n,3 = 3. (n - 1) é
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
83. (PUC - PR) O número de placas de veículos que poderão ser fabricadas utilizando-se das 26 letras do alfabeto latino e dos 10 algarismos arábicos, cada placa contendo três letras e quatro algarismos, não podendo haver repetição de letras e algarismos é:
a) 67 600 000
b) 78 624 000 c) 15 765 700 d) 1 757 600 e) 5 760 000
84. (UFC - CE ) A quantidade de número inteiros compreendidos entre 30 000 e 65 000 que podemos formar utilizando- se somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7 de modo que não fiquem algarismos repetidos é:
a) 48 b) 66 c) 96 d) 120 e) 72
85. (CESGRANRIO - RJ) Seja M um conjunto de 20 elementos. O número de subconjuntos de M que contém exatamente 18 elementos, é:
a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18
86. (UEPG - PR) Em uma circunferência são marcados 7 pontos distintos: A, B, C, D, E, F e G. Com estes pontos, quantas cordas podem ser traçadas?
a) 42 b) 14 c) 21 d) 7 e) 28
87. (ACAFE - SC) Diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?
a) 72 b) 63 c) 36 d) 27 e) 18
88. (FCMSC - SP) Num hospital há 3 vagas para trabalhar no berçário, 5 no banco de sangue e 2 na radioterapia. Se 6 funcionários se candidatam para o berçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a radioterapia, de quantas formar distintas essas vagas podem ser preenchidas?
a) 30 b) 240 c) 1120 d) 11200 e) 16128000
89. (CEFET - PR) Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, o número de subconjuntos de A que tem menos de 3 elementos é:
a) 41 b) 38 c) 27 d) 22 e) 19
90. (MACK - SP) O numero de triângulos determinados por 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma paralela á primeira, é:
a) 60 b) 30 c) 20 d) 10
