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TURMA IME-ITA
Geometria Espacial Exercícios: Pirâmides Prof. J.Carlos(Jô)
1. (Ime) Seja um tetraedro regular
ABCD
de
aresta
a e um octaedro inscrito no tetraedro, com
seus vértices posicionados nos pontos médios das
arestas do tetraedro. Obtenha a área da seção do
octaedro formada pelo plano horizontal paralelo à
base do tetraedro
BCD,
distando desta base de um
quarto da altura do tetraedro.
a)
2
a
192 b)
2
a
96 c)
2
a
32 d)
2
a
64 e)
2
a
64
2. (Ita) Na construção de um tetraedro, dobra-se
uma folha retangular de papel, com lados de
3cm e
4cm, ao longo de uma de suas diagonais, de modo
que essas duas partes da folha formem um ângulo
reto e constituam duas faces do tetraedro. Numa
segunda etapa, de maneira adequada, completa-se
com outro papel as faces restantes para formar o
tetraedro. Obtenha as medidas das arestas do
tetraedro.
3. (Ime) Um tetraedro regular, com arestas de
comprimento igual a
d, é cortado por
planos
paralelos entre si e a uma das bases, dividindo-o
em
sólidos de volumes iguais. Determine a altura
de cada um destes
sólidos em função de
d.
4. (Esc. Naval) Em um polígono regular, cujos
vértices
A,B e C são consecutivos, a diagonal
AC
forma com o lado
BC
um ângulo de
Se o lado
do polígono mede
unidades de comprimento, o
volume da pirâmide, cuja base é esse polígono e
cuja altura vale o triplo da medida do lado, é igual
a
a)
3 3 3
b)
2 3 3
c)
3 3
d)
e)
3 3 3
5. (Ita) Uma pirâmide de altura
h 1 cm e volume
3 V 50 cm tem como base um polígono convexo de
n lados. A partir de um dos vértices do polígono
traçam-se
n 3 diagonais que o decompõem em
n 2 triângulos cujas áreas i
S , i 1, 2, ..., n 2,
constituem uma progressão aritmética na qual
2
3
S cm
2
e
2
6
S 3 cm. Então n^ é igual a
a) 22. b) 24. c) 26. d) 28. e) 32.
6. (Afa) Considere uma pirâmide regular
ABCDV
de base
ABCD.
Sendo
2 2 cm a medida da aresta da base e
2 3 cm a medida da altura dessa pirâmide, a
distância, em
cm, de
A
à aresta lateral
VC
é
a)
b)
c)
d)
7. (Ime) Seja
SABCD
uma pirâmide, cuja base é
um quadrilátero convexo
ABCD.
A aresta
SD
é a
altura da pirâmide. Sabe-se que
AB BC 5 ,
AD DC 2 ,
AC 2
e
SA SB 7.
O volume da
pirâmide é
a)
b)
c)
d)
e)
8. (Ita) Um plano intercepta as arestas de um
triedro trirretângulo de vértice V, determinando
um triângulo ABC cujos lados medem,
respectivamente,
e 5 cm. O volume, em
cm
3 , do sólido VABC é
a) 2. b) 4. c)
d) 6. e)
9. (Afa) Uma pirâmide regular ABCV, de base
triangular ABC, é tal, que sua aresta lateral
AV
mede
3 cm.
Sendo
5 cm a altura de tal pirâmide, a distância,
em cm, de A à face BCV é igual a
a)
b)
c)
d)
10. (Ime) Uma pirâmide regular possui como base
um dodecágono de aresta a. As faces laterais fazem
um ângulo de 15° com o plano da base. Determine
o volume desta pirâmide em função de a.
a)
3 a 3 2
b)
3 a 3 2
c)
3
a
d)
3
a
e)
3
a
11. (Ita) Dada uma pirâmide regular triangular,
sabe-se que sua altura mede 3a cm, onde "a" é a
medida da aresta de sua base. Então, a área total
desta pirâmide, em cm
2 , vale:
a)
2
a 327
b)
2
a 109
c)
2
a 3
d)
2
a 3 (2 33)
e)
2
a 3 (1 109)
12. (Ita) A aresta de um cubo mede x cm. A razão
entre o volume e a área total do poliedro cujos
vértices são os centros das faces do cubo será:
a)
x cm b)
x cm c)
x cm d)
x
cm
e)
x cm
13. (Ita) Uma pirâmide regular tem por base um
quadrado de lado 2 cm. Sabe-se que as faces
formam com a base ângulos de 45
°
. Então, a razão
entre a área da base e a área lateral é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
14. (Ita) Um triedro tri-retângulo é cortado por um
plano que intercepta as três arestas, formando um
triângulo com lados medindo 8 m, 10 m e 12 m. O
volume, em m
3 , do sólido formado é:
a) 15
b) 5
c) 6
d) 30
e) 45
15. (Uerj) A figura 1 representa uma chapa de
metal com a forma de um triângulo retângulo
isósceles em que AB = BC = CD = 2 m.
Dobrando-a nas linhas BE e CE, constrói-se um
objeto que tem a forma de uma pirâmide.
Desprezando a espessura da chapa, calcule o
cosseno do ângulo formado pela aresta AE e o
plano ABC.
16. (Ita) A razão entre a área da base de uma
pirâmide regular de base quadrada e a área de
uma das faces é 2. Sabendo que o volume da
pirâmide é de 12m
3 , temos que a altura da
pirâmide mede (em metros):
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
17. (Unicamp) A base de uma pirâmide é um
triângulo equilátero de lado L = 6 cm e arestas
laterais das faces A = 4 cm.
a) Calcule a altura da pirâmide.
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?
18. (Ita) Seja uma pirâmide regular de base
hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice
devemos cortá-la por um plano paralelo à base de
forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do
volume da pirâmide original?
a) 2 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. e) 8 m.
19. (Unicamp) O sólido da figura a seguir é um
cubo cuja aresta mede 2 cm.
a) Calcule o volume da pirâmide ABCD 1.
b) Calcule a distância do vértice A ao plano que
passa pelos pontos B, C e D 1.
20. (Ita) Quatro esferas de mesmo raio R > 0 são
tangentes externamente duas a duas, de forma que
seus centros formam um tetraedro regular com
arestas de comprimento 2 R. Determine, em função
de R, a expressão do volume do tetraedro
circunscrito às quatro esferas.
21. (Ita) Considere um cilindro circular reto, de
volume igual a 360cm
3 , e uma pirâmide regular
cuja base hexagonal está inscrita na base do
cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o
dobro da altura do cilindro e que a área da base da
pirâmide é de 54
cm
2 , então, a área lateral da
pirâmide mede, em cm
2 ,
a) 18
b) 27
c) 36
d) 108
e)
22. (Fuvest) A pirâmide de base retangular ABCD
e vértice E representada na figura tem volume 4.
Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto
médio da aresta EC, então o volume da pirâmide de
base AMCD e vértice V é:
a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
23. (Fgv)
a) Calcule a altura
AB
do livro.
b) Calcule o volume do tetraedro de vértices A, B,
C e D.
30. (Fuvest) Pedrinho, brincando com seu cubo
mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que
- apenas um vértice do cubo ficasse no interior do
copo, conforme ilustra a foto;
- os pontos comuns ao cubo e ao copo
determinassem um triângulo equilátero.
Sabendo-se que o bordo do copo é uma
circunferência de raio 2
cm, determine o volume
da parte do cubo que ficou no interior do copo.
31. (Ufrj) Um sólido tem a forma de uma pirâmide
ABCD e está apoiado sobre uma mesa. A base da
pirâmide é o triângulo equilátero ABC e as outras
faces são triângulos isósceles congruentes. A altura
OD mede 5 cm e a aresta AD mede 10 cm. A
pirâmide é girada em torno da aresta AB. O vértice
D percorre um arco
DD '
tal que D' fica situado
sobre a mesa.
Determine o comprimento do arco
DD '
32. (Fuvest) A figura representa uma pirâmide
ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se
que:
AB = CD =
AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1
AP = DQ =
Determine:
a) A medida de BP.
b) A área do trapézio BCQP.
c) Volume da pirâmide BPQCE.
33. (Ita) Sejam A, B, C e D os vértices de um
tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm. Se M
e o ponto médio do segmento
AB
e N e o ponto
médio do segmento
CD
, então a área do triangulo
MND, em cm
2 , e igual a
a)
b)
c)
d)
e)
34. (Ime) A área da superfície lateral de uma
pirâmide quadrangular regular SABCD é duas
vezes maior do que a área de sua base ABCD. Nas
faces SAD e SDC traçam-se as medianas AQ e DP.
Calcule o ângulo entre estas medianas.
35. (Ufrj) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC,
ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos
medem a. Considere o cubo de volume máximo
contido em ABCD tal que um de seus vértices seja
o ponto A, como ilustra a figura a seguir.
Determine a medida da aresta desse cubo em
função de a.
36. (Espcex) Na figura abaixo, está representado
um sólido geométrico de
faces, obtido a partir de
um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as
arestas desse sólido têm medida
, então as
medidas da altura (distância do ponto
V
à face
ABCD
) e da superfície total desse sólido são,
respectivamente,
a)
e
2 ( 3 4) b)
e
2 ( 3 5)
c)
e
2
d)
e
2 ( 3 5)
e)
e
2
37. (Ime) A base de uma pirâmide é um retângulo
de área S. Sabe-se que duas de suas faces laterais
são perpendiculares ao plano da base. As outras
duas faces formam ângulos de 30° e 60° com a
base. O volume da pirâmide é:
a)
S S
b)
S S
c)
2S S
d)
2S S
e)
2 2S
38. (Ita) Uma esfera está inscrita em uma
pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12
cm e a aresta da base mede
3cm.
3
. Então o raio
da esfera, em cm, é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
39. (Ime) Uma pirâmide regular triangular
apresenta um volume V. Determine o raio da
circunferência circunscrita a uma das faces laterais
da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo
do vértice vale 30°.
40. (Fuvest) No sólido S representado na figura a
seguir, a base ABCD é um retângulo de lados AB =
2 ℓ e AD = ℓ; as faces ABEF e DCEF são trapézios; e AD = ℓ e AD = ℓ; as faces ABEF e DCEF são trapézios;; as faces ABEF e DCEF são trapézios;
as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o
segmento EF tem comprimento ℓ e AD = ℓ; as faces ABEF e DCEF são trapézios;.
Determinar, em função de ℓ e AD = ℓ; as faces ABEF e DCEF são trapézios;, o volume de S.
