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TURMA IME-ITA
Geometria Espacial Exercícios: Cones Prof. J.Carlos(Jô)
1. (Uerj) Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na passagem de óleo para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a mesma capacidade. De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes estão
contidos no segmento TQ, perpendicular ao plano horizontal β.
Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo a ser escoado para o recipiente cilíndrico vazio. Durante o escoamento, quando o nível do óleo estiver exatamente na metade da altura do funil
H
2 o nível do óleo no recipiente
cilíndrico corresponderá ao ponto K na geratriz AB. A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por: a) b) c) d) 2. (Ita) Uma taça em forma de cone circular reto contém um
certo volume de um líquido cuja superfície dista h^ do vértice do
cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de a)
3 2 h.
b)
c)
(^3 2 1)h.
d) h.^ e)
h
3. (Espcex) Um cone de revolução tem altura 4 cm^ e está
circunscrito a uma esfera de raio 1 cm.^ O volume desse cone
(em
cm )^3
é igual a a)
b)
c)
d)
e) 3 π.
4. (Ita) Três circunferências C 1 , C 2 e C 3 são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os raios r 1 , r 2 e r 3 destas circunferências constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão
3 A soma dos comprimentos de C 1 , C 2 e
C 3 é igual a 26 π^ cm.Determine:
a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C 1 , C 2 e C 3. b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que contém o maior lado. 5. (Pucrj) De um disco circular, de raio medindo 6 e centro C, cortamos um setor cujo arco mede 13. Usando o pedaço maior, fazemos um cone reto juntando os lados CA e CB, como nas figuras abaixo.
Não use aproximações para π^ e determine:
a) o perímetro da base do cone; b) o raio da base do cone; c) o volume do cone. 6. (Unicamp) Um brilhante é um diamante com uma lapidação particular, que torna essa gema a mais apreciada dentre todas as pedras preciosas. a) Em gemologia, um quilate é uma medida de massa, que corresponde a 200 mg. Considerando que a massa específica do diamante é de aproximadamente 3,5 g/cm3, determine o volume de um brilhante com 0,7 quilate. b) A figura abaixo apresenta a seção transversal de um brilhante. Como é muito difícil calcular o volume exato da pedra lapidada, podemos aproximá-lo pela soma do volume de um tronco de cone (parte superior) com o de um cone (parte inferior). Determine, nesse caso, o volume aproximado do brilhante. Dica: o volume de um tronco de cone pode ser obtido empregando-se a fórmula
V h (R^2 Rr r 2 )
em que R e r são os raios das bases e h é a altura do tronco. 7. (Fgv) Um ralador de queijo tem a forma de cone circular reto
de raio da base 4 cm^ e altura 10 cm.^ O queijo é ralado na
base do cone e fica acumulado em seu interior ( figura 1 ). Deseja-se retirar uma fatia de um queijo com a forma de cilindro
circular reto de raio da base 8 cm^ e altura 6 cm,^ obtida por
dois cortes perpendiculares à base, partindo do centro da base
do queijo e formando um ângulo α^ ( figura 2 ), de forma que o
volume de queijo dessa fatia corresponda a 90% do volume do ralador.
Nas condições do problema, α^ é igual a
a) 45°. b) 50°. c) 55°. d) 60°. e) 65°.
8. (Ita) A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120º e área igual a
3 π cm^2
. A área total e o volume deste cone medem, em
cm^2
e
cm^3
, respectivamente a)
4 e
b)
4 e
c) 4 π^ e^ π^2
d)
3 e
e) π^ e 2^ π^2
9. (Unicamp) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro. A altura do cone formado pela areia era igual a a)
4 da altura do cilindro. b)
2 da altura do cilindro.
c)
3 da altura do cilindro. d)
3 da altura do cilindro.
10. (Fgv) A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto: O cone a que se refere tal planificação é a) b) c) d) e) 11. (Pucsp) Considere o triângulo isósceles ABC, tal que AB = BC = 10 cm e CA = 12 cm. A rotação desse triângulo em torno de um eixo que contém o lado AB gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é a) 256 b) 298,6π c) 307,2 d) 316 e) 328,4 12. (Ita) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m^2. 13. (Ita) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede
cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é נ cm^3. Determine os ângulos deste triângulo. 14. (Uerj) Para revestir externamente chapéus em forma de cones com 12 cm de altura e diâmetro da base medindo 10 cm, serão utilizados cortes retangulares de tecido, cujas dimensões são 67 cm por 50 cm. Admita que todo o tecido de cada corte poderá ser aproveitado. O número mínimo dos referidos cortes necessários para forrar 50 chapéus é igual a: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 15. (Ita) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm^3 , é igual a a) R^3 b) ( 2 ) R^3 c) [/( 2 )] R^3 d)( 3 ) R^3 e) [/( 3 )] R^3 16. (Unicamp) O quadrilátero convexo ABCD, cujos lados medem, consecutivamente, 1, 3, 4 e 6 cm, está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R. a) Calcule o raio R da circunferência. b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm. 17. (Ufscar) A figura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em compartimentos diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro. Considerando h como a altura máxima de líquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é a) 7 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 12 cm e) 15 cm 18. (Mackenzie) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = 10. O volume desse sólido é: a) 5 2 π b) 4 3 π c) 4 d) 5 e) 3 19. (Mackenzie) Planificando a superfície lateral de um cone, obtém-se o setor circular da figura, de centro O e raio 18 cm. Dos valores abaixo, o mais próximo da altura desse cone é: a) 12 cm b) 18 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 20 cm 20. (Ita) Considere o triângulo isósceles OAB, com lados OA e
OB de comprimento 2 R e lado AB de comprimento 2R. O
volume do sólido, obtido pela rotação deste triângulo em torno da reta que passa por O e é paralela ao lado AB, é igual a: a)
R^3
b) R^3 c)
4 R^3
d)
2 R 3
e) 3 R^3
21. (Ufscar) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho.
a) 72 b) 108 c) 60 d) 144 e) 54 33. (Unb) Um cálice tem a forma de um cone reto de revolução, de altura igual a 100 mm e volume V 1. Esse cálice contém um líquido que ocupa um volume V 2 , atingindo a altura de 25 mm, conforme mostra a figura adiante. Calcule o valor do quociente 1 2 V V (^) 34. (Mackenzie) Na rotação do triângulo ABC da figura a seguir em torno da reta r, o lado AB descreve um ângulo de 270°. Desta forma, o sólido obtido tem volume: a) 48 b) 144 c) 108 d) 72 e) 36 35. (Unicamp) a) Qual é o valor de ë na equação: z^3 - 5z^2 + 8z - = 0 de modo que z = 3 seja uma raiz dessa equação? b) Para esse valor de , ache as três raízes z 1 , z 2 , z 3 dessa equação. c) Ache o volume do sólido obtido quando a região triangular cujos vértices são os pontos z 1 , z 2 , z 3 gira em torno da reta de equação x = 1. 36. (Ita) Considere um cone circular reto cuja geratriz mede
5 cm e o diâmetro da base mede 2cm. Traçam-se n planos
paralelos à base do cone, que o seccionam determinando n+ cones, incluindo o original, de modo que a razão entre os volumes do cone maior e do cone menor é 2. Os volumes destes cones formam uma progressão aritmética crescente cuja soma é igual a 2π. Então, o volume, em cm^3 , do tronco de cone determinado por dois planos consecutivos é igual a: a) 33 π b) 2 33 π c) 9 π d) 2 15 π e) π 37. (Pucrj) Ache o volume do sólido de revolução obtido
rodando um triângulo retângulo de lados 1,1 e 2 cm em torno
da hipotenusa. 38. (Mackenzie) Na figura, a base do cone reto está inscrita na face do cubo. Supondo =3, se a área total do cubo é 54, então o volume do cone é: a) 81 (^2) b) 27 (^2) c) 9 (^4) d) 27 (^4) e) 81 4 39. (Ita) Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da base é: a) 1 5 2 b) 1 5 2 c) 1 5 2 d) 1 35 3 e) 1 5 2 40. (Ita) Um cone circular reto com altura de 8 cm e raio da base de 2 cm está inscrito numa esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do cone é igual a a) 3( 2 1) 2
. b) 9( 2 1) 4 . c) 9( 6 1) 4 . d) 27( 3 1) 8 . e) 9( 2 1) 16 . 41. (Mackenzie) Um prisma e um cone retos têm bases de mesma área. Se a altura do prisma é 2/3 da altura do cone, a razão entre o volume do prisma e o volume do cone é: a) 2 b) 3/2 c) 3 d) 5/3 e) 5/ 42. (Fuvest) Um setor circular, com ângulo central (0 < < 2 ), é recortado de um círculo de papel de raio R (ver figura).
Utilizando o restante do papel, construímos a superfície lateral de um cone circular reto Determine, em função de R e , a) o raio da base do cone. b) o volume do cone.
