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Probabilidades (12.o^ ano)
C´alculo combinat´orio - Probabilidades
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- Numa assembleia de alunos de uma escola secund´aria, est˜ao presentes alunos de v´arios anos de escola- ridade. Dos alunos presentes, 25 s˜ao do 12.o^ ano e, destes, 10 frequentam a disciplina de Matem´atica A.
Dos alunos do 12.o^ ano presentes, v˜ao ser selecionados trˆes alunos, ao acaso, para integrarem a mesa da assembleia.
Qual ´e a probabilidade de, pelo menos, um desses alunos frequentar a disciplina de Matem´atica A?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame – 2025, Ep. especial´
- Uma turma do 12.o^ ano ´e constitu´ıda por 25 alunos com 17 ou 18 anos de idade.
A Isabel e o Jos´e s˜ao alunos da turma e tˆem 17 anos.
Sabe-se que:
- 64% dos alunos s˜ao rapazes;
dos rapazes tˆem 17 anos;
das raparigas tˆem 18 anos.
Pretende-se constituir um grupo de seis alunos selecionados, ao acaso, de entre todos os alunos da turma.
Determine a probabilidade de o grupo ser constitu´ıdo pela Isabel, pelo Jos´e, por outro aluno (rapaz ou rapariga) com 17 anos e por trˆes alunos (rapazes ou raparigas) com 18 anos.
Apresente o resultado na forma de d´ızima, arredondado `as mil´esimas. Exame – 2025, 2.a^ Fase
- O c´odigo de um cart˜ao multibanco ´e uma sequˆencia de quatro algarismos, como, por exemplo, 1526 e
Admita que o c´odigo de qualquer cart˜ao multibanco ´e atribu´ıdo ao acaso, com algarismos de 0 a 9.
Determine a probabilidade de o c´odigo atribu´ıdo a um cart˜ao multibanco ter todos os algarismos dife- rentes, um dos algarismos ser o zero e a soma dos quatro algarismos ser um n´umero ´ımpar.
Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel. Exame – 2025, 1.a^ Fase
- Um saco cont´em apenas bolas amarelas e bolas verdes, todas indistingu´ıveis ao tato.
Considere que se alterou a constitui¸c˜ao inicial do saco e que, neste, est˜ao agora duzentas bolas indis- tingu´ıveis ao tato.
Sabe-se que 49% das bolas s˜ao verdes.
Extraem-se, ao acaso, quatro bolas do saco.
Determine a probabilidade de o conjunto formado por essas quatro bolas conter, pelo menos, trˆes bolas verdes.
Apresente o resultado na forma de d´ızima, arredondado `as d´ecimas.
Exame – 2024, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est´a representado, em referencial o.n. Oxyz, o prisma reto [ABCDEF GH] , de bases [ABCD] e [EF GH].
Sabe-se que:
- as bases do prisma s˜ao trap´ezios retˆangulos;
- o ponto A tem coordenadas (4,− 4 ,−3) , e o ponto B tem a ordenada igual ao dobro da abcissa;
- uma equa¸c˜ao da reta BC ´e (x,y,z) = (3, 5 ,1) + k(2, 3 ,6), k ∈ R.
Selecionam-se, ao acaso, dois v´ertices de cada uma das bases do prisma.
Determine a probabilidade de os quatro v´ertices selecionados n˜ao pertencerem a uma mesma face lateral do prisma.
Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel. (^) x
O y
z
A
C
G
E
H
B
F
D
Exame – 2024, 1.a^ Fase
- Uma empresa tem 60 funcion´arios. Todos trabalham cinco dias por semana, mas fazem-no em regimes diferentes, como a seguir se descreve: - 40% trabalham todos os dias em regime presencial; - 25% trabalham todos os dias a distˆancia; - os restantes trabalham dois dias em regime presencial e trˆes diasa distˆancia. Selecionam-se, ao acaso, quatro funcion´arios dessa empresa.
A express˜ao seguinte permite determinar a probabilidade de serem selecionados, no m´aximo, trˆes fun- cion´arios que trabalham em regime presencial, pelo menos, dois dias por semana. (^60) C 4 −
45 C
4 (^60) C 4
Explique esta express˜ao no contexto descrito.
Na sua resposta:
- enuncie a regra de Laplace;
- explique o n´umero de casos poss´ıveis;
- explique o n´umero de casos favor´aveis.
Exame – 2022, Ep. especial´
- Um saco cont´em 12 cart˜oes com a forma de retˆangulos geometricamente iguais: 3 azuis, 2 brancos, 3 pretos e 4 vermelhos.
Os 12 cart˜oes v˜ao ser retirados, sucessivamente e ao acaso, do saco e dispostos sobre uma mesa, alinhados pela ordem em que s˜ao retirados.
Determine a probabilidade de os cart˜oes azuis ficarem todos juntos.
Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel. Exame – 2022, 2.a^ Fase
- Numa dada localidade, existe um clube onde se pratica badm´ınton e t´enis.
Com doze raquetes distintas, sendo seis de badm´ınton e seis de t´enis, formam-se, ao acaso, dois conjuntos de seis raquetes cada um.
Qual ´e o valor, arredondado `as cent´esimas, da probabilidade de cada um dos dois conjuntos ficar com trˆes raquetes de badm´ınton e trˆes raquetes de t´enis?
(A) 0 , 22 (B) 0 , 43 (C) 0 , 50 (D) 0 , 87 Exame – 2021, 2.a^ Fase
- Uma turma de 11.o^ ano ´e constitu´ıda por 30 alunos com idades de 15, 16 e 17 anos, dos quais 60% s˜ao raparigas. Sabe-se que um ter¸co dos rapazes tem 17 anos e que um ter¸co das raparigas tem 15 ou 16 anos.
O Andr´e e a Beatriz, alunos da turma, s˜ao g´emeos e tˆem 16 anos.
Escolhem-se, ao acaso, cinco alunos da turma.
Determine a probabilidade de o grupo constitu´ıdo por esses cinco alunos ser formado pelo Andr´e, pela Beatriz, por dois jovens com 17 anos e por outro com 15 ou 16 anos.
Apresente o resultado na forma de d´ızima, arredondado `as cent´esimas. Exame – 2021, 1.a^ Fase
- Considere um dado c´ubico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6
Lan¸ca-se esse dado quatro vezes e escrevem-se, da esquerda para a direita, os algarismos sa´ıdos, obtendo- se, assim, um n´umero com quatro algarismos.
Qual ´e a probabilidade de esse n´umero ser par, menor do que 5000 e capicua (sequˆencia de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita d´a o mesmo n´umero)?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame – 2020, Ep. especial´
- Considere um cubo [M N P QRST U ]
Escolhem-se, ao acaso, trˆes v´ertices distintos desse cubo.
Qual ´e a probabilidade de o plano por eles definido conter uma das faces do cubo?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame – 2020, 2.a^ Fase
- Quatro pessoas v˜ao escolher, cada uma e em segredo, um dos seguintes n´umeros: 1, 2, 3, 4 e 5
Qual ´e a probabilidade de exatamente duas delas escolherem o n´umero 5?
(A) 0 , 1530 (B) 0 , 1532 (C) 0 , 1534 (D) 0 , 1536 Exame – 2020, 1.a^ Fase
- Um saco cont´em nove cart˜oes, indistingu´ıveis ao tato, numerados de 1 a 9.
Retiram-se, simultaneamente e ao acaso, quatro cart˜oes do saco.
Qual ´e a probabilidade de o menor dos n´umeros sa´ıdos ser 3 e o maior ser 8?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame – 2019, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, um prisma hexagonal regular.
Sabe-se que [P Q] e [QR] s˜ao arestas de uma das bases do prisma.
Escolhem-se, ao acaso, dois v´ertices de cada uma das bases do prisma.
Determine a probabilidade de esses quatro pontos perten- cerem a uma mesma face lateral do prisma.
Apresente o resultado na forma de d´ızima, arredondado `as cent´esimas. x
O y
z
P
Q
R
S
Exame – 2018, 1.a^ Fase
- Uma escola secund´aria tem alunos de ambos os sexos.
Uma das turmas dessa escola tem trinta alunos, numerados de 1 a 30
Com o objetivo de escolher quatro alunos dessa turma para formar uma comiss˜ao, introduzem-se, num saco, trinta cart˜oes, indistingu´ıveis ao tato, numerados de 1 a 30. Em seguida, retiram-se quatro cart˜oes do saco, simultaneamente e ao acaso.
Qual ´e a probabilidade de os dois menores n´umeros sa´ıdos serem o 7 e o 22?
Apresente o resultado arredondado `as mil´esimas. Exame – 2017, 2.a^ Fase
- Na figura seguinte, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, o prisma quadrangular regular [OP QRST U V ]
Sabe-se que:
- a face [OP QR] est´a contida no plano xOy
- o v´ertice Q pertence ao eixo Oy e o v´ertice T pertence ao eixo Oz
- o plano ST U tem equa¸c˜ao z = 3
Escolhem-se, ao acaso, trˆes v´ertices do prisma.
Determine a probabilidade de o plano definido por esses trˆes v´ertices ser perpendicular ao plano xOy Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel. (^) x
O y
z
V
U
Q
S
T
P
R
Exame – 2018, 1.a^ Fase
- Um saco cont´em n bolas indistingu´ıveis ao tato, numeradas de 1 a n (com n par e superior a 6).
Retira-se, ao acaso, uma bola do saco. Sejam A e B os acontecimentos: A: o n´umero da bola retirada ´e menor ou igual a 6 B: o n´umero da bola retirada ´e par Escreva o significado de P
A ∪ B
, no contexto da situa¸c˜ao descrita e determine uma express˜ao, em fun¸c˜ao de n, que dˆe esta probabilidade.
Apresente a express˜ao na forma de uma fra¸c˜ao. Exame – 2017, 1.a^ Fase
- Um saco cont´em n bolas, indistingu´ıveis ao tato, numeradas de 1 a n, sendo n um n´umero par maior do que 3 Retiram-se, em simultˆaneo e ao acaso, trˆes bolas do saco.
Escreva uma express˜ao, em fun¸c˜ao de n, que dˆe a probabilidade de, dessas trˆes bolas, duas terem n´umero par e uma ter n´umero ´ımpar. N˜ao simplifique a express˜ao que escrever. Exame – 2016, Ep. especial´
- Um saco cont´em nove bolas numeradas de 1 a 9, indistingu´ıveis ao tato.
Retiram-se, sucessivamente e ao acaso, trˆes bolas do saco. As bolas s˜ao retiradas com reposi¸c˜ao, isto ´e, rep˜oe-se a primeira bola antes de se retirar a segunda e rep˜oe-se a segunda bola antes de se retirar a terceira.
Qual ´e a probabilidade de o produto dos n´umeros das trˆes bolas retiradas ser igual a 2? Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
Exame – 2015, Ep. especial´
- De uma turma de 12.o^ ano, sabe-se que:
- 60% dos alunos s˜ao rapazes;
- 80% dos alunos est˜ao inscritos no desporto escolar;
- 20% dos rapazes n˜ao est˜ao inscritos no desporto escolar.
Considere que essa turma de 12.o^ ano tem 25 alunos. Pretende-se escolher, ao acaso, trˆes alunos dessa turma para a representarem num evento do desporto escolar.
Determine a probabilidade de serem escolhidos, pelo menos, dois alunos que est˜ao inscritos no desporto escolar. Apresente o resultado com arredondamento `as cent´esimas. Exame – 2014, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, um octaedro [ABCDEF ], cujos v´ertices pertencem aos eixos coordenados.
Escolhem-se, ao acaso, trˆes v´ertices desse octaedro.
Qual ´e a probabilidade de esses trˆes v´ertices definirem um plano paralelo ao plano de equa¸c˜ao z = 5?
(A)
6 C 3 (B)^
6 C 3 (C)^
6 C 3 (D)^
6 C 3
x
y
z
O
C
A
E
F
D
B
Exame – 2014, 2.a^ Fase
- Uma caixa tem seis bolas distingu´ıveis apenas pela cor: duas azuis e quatro pretas.
Considere a experiˆencia aleat´oria que consiste em retirar, ao acaso, uma a uma, sucessivamente e sem reposi¸c˜ao, todas as bolas da caixa. A medida que s˜` ao retiradas da caixa, as bolas s˜ao colocadas lado a lado, da esquerda para a direita. Determine a probabilidade de as duas bolas azuis ficarem uma ao lado da outra. Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
Exame – 2014, 2.a^ Fase
- Uma caixa tem nove bolas distingu´ıveis apenas pela cor: seis pretas, duas brancas e uma amarela.
Considere a experiˆencia aleat´oria que consiste em retirar dessa caixa, simultaneamente e ao acaso, trˆes bolas. Determine a probabilidade de as bolas retiradas n˜ao terem todas a mesma cor. Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
Exame – 2014, 1.a^ Fase
- Numa certa escola, eclodiu uma epidemia de gripe que est´a a afetar muitos alunos. Nessa escola, h´a 300 alunos. Numa altura em que 17 alunos est˜ao com gripe, v˜ao ser escolhidos aleatoriamente 3 alunos, de entre os 300 alunos da escola, para responderem a um inqu´erito. Qual ´e a probabilidade de pelo menos um dos alunos escolhidos estar com gripe? Apresente o resultado na forma de d´ızima, com arredondamento `as cent´esimas. Teste Interm´edio 12.o^ ano – 30.04.
- Na figura ao lado est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, um octaedro regular [ABCDEF ], cujos v´ertices pertencem aos eixos coordenados.
Escolhem-se ao acaso dois v´ertices distintos do octaedro. Qual ´e a probabilidade de a reta definida por esses dois v´ertices ser paralela `a reta definida por x = 1 ∧ y = 2? Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao. x
y
z
O
C
A
E
F
D
B
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 29.11.
- Considere uma empresa em que:
- 80% dos funcion´arios apostam no euromilh˜oes;
- dos funcion´arios que apostam no euromilh˜oes, 25% apostam no totoloto;
- 5%dos funcion´arios n˜ao apostam no euromilh˜oes nem no totoloto.
Considere que essa empresa tem 50 funcion´arios. Escolhem-se, ao acaso, oito funcion´arios dessa empresa. Determine a probabilidade de, pelo menos, sete desses funcion´arios serem apostadores no euromilh˜oes. Apresente o resultado com arredondamento `as cent´esimas.
Exame – 2012, Ep. especial´
- Para assistirem a um espet´aculo, o Jo˜ao, a Margarida e cinco amigos sentam-se, ao acaso, numa fila com sete lugares. Qual ´e a probabilidade de o Jo˜ao e a Margarida n˜ao ficarem sentados um ao lado do outro?
(A)
2 × 5!
(B)
(C)
(D)
Exame – 2012, 1.a^ Fase
- Numa escola, realizou-se um estudo sobre os h´abitos alimentares dos alunos. No ˆambito desse estudo, analisou-se o peso de todos os alunos. Sabe-se que:
- 55% dos alunos s˜ao raparigas;
- 30% das raparigas tˆem excesso de peso;
- 40% dos rapazes n˜ao tˆem excesso de peso. Considere que a escola onde o estudo foi realizado tem 200 alunos. Pretende-se escolher, ao acaso, trˆes alunos para representarem a escola num concurso. Determine a probabilidade de serem escolhidos duas raparigas e um rapaz. Apresente o resultado com arredondamento `as cent´esimas. Exame – 2012, 1.a^ Fase
- A Ana disp˜oe de sete cartas todas diferentes: quatro cartas do naipe de espadas e trˆes cartas do naipe de copas.
Admita que a Ana baralha essas sete cartas e, em seguida, tira trˆes, ao acaso. Qual ´e a probabilidade de, nessas trˆes cartas, haver pelo menos uma carta de copas? Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 19.01.
- Uma turma ´e constitu´ıda por 27 alunos, dos quais 17 s˜ao rapazes. A professora de Portuguˆes vai escolher, ao acaso, um grupo de cinco alunos para definirem as regras de um Jogo de Palavras.
Considere os acontecimentos: A: a Maria e o Manuel s˜ao escolhidos para definirem as regras do jogo ; B: dos cinco alunos escolhidos, dois s˜ao rapazes e trˆes s˜ao raparigas . Uma resposta correta para a probabilidade condicionada P (B|A) ´e
16 × 9 C 2
25 C 3
Numa composi¸c˜ao, explique porquˆe. A sua composi¸c˜ao deve incluir:
- a interpreta¸c˜ao do significado de P (B|A), no contexto da situa¸c˜ao descrita;
- uma referˆencia `a regra de Laplace;
- uma explica¸c˜ao do n´umero de casos poss´ıveis;
- uma explica¸c˜ao do n´umero de casos favor´aveis.
Exame – 2010, Ep. especial´
- Num grupo de dez trabalhadores de uma f´abrica, v˜ao ser escolhidos trˆes, ao acaso, para frequentarem uma a¸c˜ao de forma¸c˜ao. Nesse grupo de dez trabalhadores, h´a trˆes amigos, o Jo˜ao, o Ant´onio e o Manuel, que gostariam de frequentar essa a¸c˜ao. Qual ´e a probabilidade de serem escolhidos, exatamente, os trˆes amigos?
(A)
10 A 3 (B)^
10 A 3 (C)^
10 C 3 (D)^
10 C 3
Exame – 2010, 1.a^ Fase
- Um teste ´e constitu´ıdo por oito perguntas de escolha m´ultipla. A sequˆencia das oito respostas corretas as oito perguntas desse teste ´e A A B D A D A A O Pedro, que n˜ao se preparou para o teste, respondeu ao acasoas oito perguntas. Qual ´e a probabilidade de o Pedro ter respondido corretamente a todas as perguntas, sabendo que escolheu cinco op¸c˜oes A, uma op¸c˜ao B e duas op¸c˜oes D?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 19.05.
- Na figura ao lado est´a representado um prisma pentagonal regular. Quatro dos v´ertices desse prisma est˜ao designados pelas letras A, B, E e O 46.1. Ao escolhermos trˆes v´ertices do prisma, pode acontecer que eles per- ten¸cam todos a uma mesma face. Por exemplo, os v´ertices A, B e O per- tencem todos a uma mesma face, o mesmo acontecendo com os v´ertices A, E e O. Escolhem-se aleatoriamente trˆes dos dez v´ertices do prisma. Qual ´e a probabilidade de esses trˆes v´ertices pertencerem todos a uma mesma face? Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel. 46.2. Escolhe-se aleatoriamente um v´ertice em cada base do prisma. Qual ´e a probabilidade de o segmento de reta definido por esses dois v´ertices ser diagonal de uma face? Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 04.12.
- Um saco cont´em bolas azuis e bolas verdes, indistingu´ıveis ao tato. Redija, no contexto desta situa¸c˜ao, o enunciado de um problema de c´alculo de probabilidade, inventado por si, que admita como resposta correta
7 C 4 × 3 + 7 C 5
10 C 5
No enunciado que apresentar, deve explicitar claramente:
- o n´umero total de bolas existentes no saco;
- o n´umero de bolas de cada cor existentes no saco;
- a experiˆencia aleat´oria;
- o acontecimento cuja probabilidade pretende que seja calculada (e cujo valor ter´a de ser dado pela express˜ao apresentada).
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 04.12.
- A Maria gravou nove CD, sete com m´usica rock e dois com m´usica popular, mas esqueceu-se de identificar cada um deles. Qual ´e a probabilidade de, ao escolher dois CD ao acaso, um ser de m´usica rock e o outro ser de m´usica popular?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame – 2009, 2.a^ Fase
- Considere um baralho com cartas, repartidas por quatro naipes (Copas, Ouros, Espadas e Paus). Em cada naipe, h´a um As, trˆ´ es figuras (uma Dama, um Valete, um Rei) e mais nove cartas (do Dois ao Dez). Admita que, num jogo, cada jogador recebe trˆes cartas, por qualquer ordem. Qual ´e a probabilidade de um determinado jogador receber exatamente dois ases? Uma resposta correta a esta quest˜ao ´e
4 C 2 × 48
52 C 3.
Numa pequena composi¸c˜ao, justifique esta resposta, fazendo referˆencia:
- `a Regra de Laplace;
- ao n´umero de casos poss´ıveis;
- ao n´umero de casos favor´aveis.
Exame – 2009, 2.a^ Fase
- O Jo˜ao e a Maria convidaram trˆes amigos para irem, com eles, ao cinema. Compraram cinco bilhetes com numera¸c˜ao seguida, numa determinada fila, e distribu´ıram-nos ao acaso. Qual ´e a probabilidade de o Jo˜ao e a Maria ficarem sentados um ao lado do outro?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame – 2008, 1.a^ Fase
- Uma turma do 12.o^ ano de uma Escola Secund´aria est´a a organizar uma viagem de finalistas.
Os alunos da turma decidiram vender rifas, para angariarem fundos para a viagem. A numera¸c˜ao das rifas ´e uma sequˆencia de trˆes algarismos (como, por exemplo, 099), iniciando-se em 000. De entre as rifas, que foram todas vendidas, ser´a sorteada uma, para atribuir um pr´emio. Qual ´e a probabilidade de a rifa premiada ter um ´unico algarismo cinco? Apresente o resultado na forma de d´ızima, com aproxima¸c˜ao `as cent´esimas.
Exame – 2008, 1.a^ Fase
- Considere o seguinte problema:
Lan¸ca-se trˆes vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e multiplicam-se os n´umeros sa´ıdos. Qual ´e a probabilidade de o produto obtido ser igual a 6?
Uma resposta correta a este problema ´e
Numa pequena composi¸c˜ao, explique porquˆe. A sua composi¸c˜ao deve incluir:
- uma referˆencia `a Regra de Laplace;
- uma explica¸c˜ao do n´umero de casos poss´ıveis;
- uma explica¸c˜ao do n´umero de casos favor´aveis.
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 29.04.
- Doze amigos v˜ao passear, deslocando-se num autom´ovel e numa carrinha, ambos alugados. O autom´ovel disp˜oe de cinco lugares: o do condutor e mais quatro. A carrinha disp˜oe de sete lugares: o do condutor e mais seis. Apenas dois elementos do grupo, a Filipa e o Gon¸calo, tˆem carta de condu¸c˜ao, podendo qualquer um deles conduzir, quer o autom´ovel, quer a carrinha.
Admita que os doze amigos j´a se encontram devidamente instalados nos dois ve´ıculos. O Gon¸calo vai a conduzir a carrinha. Numa opera¸c˜ao STOP, a Brigada de Trˆansito mandou parar cinco viaturas, entre as quais a carrinha conduzida pelo Gon¸calo. Se a Brigada de Trˆansito escolher, ao acaso, dois dos cinco condutores para fazer o teste de alcoolemia, qual ´e a probabilidade de o Gon¸calo ter de fazer o teste? Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 17.01.
- De um baralho de cartas, selecionaram-se 16 cartas (4 ases, 4 reis, 4 damas e 4 valetes). Dividiram-se as 16 cartas em dois grupos: um com os ases e os reis e outro com as damas e os valetes. Retiraram-se, ao acaso, duas cartas de cada grupo (sem reposi¸c˜ao). Qual ´e a probabilidade de obter um conjunto formado por um ´as, um rei, uma dama e um valete, n˜ao necessariamente do mesmo naipe? Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
Exame – 2007, 2.a^ Fase
- Escolhem-se, ao acaso, dois v´ertices diferentes de um paralelep´ıpedo retˆangulo. Qual ´e a probabilidade de que esses dois v´ertices sejam extremos de uma aresta?
(A)
8 C 2 (B)^
(C)
8 C 2 (D)^
8 A 2
Exame – 2007, 1.a^ Fase
- Um saco cont´em vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Ao acaso, extraem-se simultaneamente trˆes bolas do saco e anotam-se os respetivos n´umeros. Qual ´e a probabilidade de o maior desses trˆes n´umeros ser 10?
(A)
20 C 3 (B)^
20 C 3 (C)^
20 C 3 (D)^
20 C 3
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 15.03.
- Um baralho de cartas completo ´e constitu´ıdo por 52 cartas, repartidas em 4 naipes (Espadas, Copas, Ouros e Paus). Em cada naipe h´a 13 cartas: um As, trˆ´ es figuras (Rei, Dama e Valete) e mais 9 cartas (do Dois ao Dez).
Retirando ao acaso, sucessivamente e sem reposi¸c˜ao, seis cartas de um baralho completo, qual ´e a proba- bilidade de, entre elas, haver um e um s´o As? Apresente o resultado na forma de d´´ ızima, arredondado `as cent´esimas. Teste Interm´edio 12.o^ ano – 07.12.
- Um saco cont´em dez bolas. Quatro bolas est˜ao numeradas com o n´umero 1, cinco com o n´umero 2 e uma com o n´umero 3. Do saco tiram-se simultaneamente, ao acaso, duas bolas. Determine a probabilidade de essas duas bolas terem o mesmo n´umero. Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 07.12.
- Numa sala de Tempos Livres, a distribui¸c˜ao dos alunos por idades e sexo ´e a seguinte:
5 anos 6 anos 7 anos Rapaz 1 5 2 Rapariga 3 5 7
Escolhem-se dois alunos ao acaso. Qual ´e a probabilidade de a soma das suas idades ser igual a 12? Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
Exame – 2006, 2.a^ Fase
- Considere um prisma hexagonal regular num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que uma das suas bases est´a contida no plano de equa¸c˜ao z = 2. Escolhendo ao acaso dois v´ertices do prisma, qual ´e a probabilidade de eles definirem uma reta paralela ao eixo Oz? Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
Exame – 2006, 1.a^ Fase
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, um octaedro regular em que cada um dos seus v´ertices pertence a um dos eixos coordenados (dois v´ertices em cada eixo). Escolhendo, ao acaso, trˆes v´ertices desse octaedro, qual ´e a probabilidade de eles definirem um plano perpendicular ao eixo Oy?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 17.03.
- Considere duas caixas, A e B, cada uma delas contendo quatro bolas numeradas, tal como a figura ao lado ilustra. Extraem-se, ao acaso, duas bolas da caixa A e uma bola da caixa B. Multiplicam-se os trˆes n´umeros das bolas retiradas. Qual ´e a probabilidade de o n´umero obtido ser um n´umero par?
(A) 0 (B) 1 (C)
2 × 1
4 C 2 × 4 C 1 (D)
3 C 2 × 1 C 1
4 C 2 × 4 C 1
Caixa A
Caixa B
Exame – 2005, 2.a^ Fase (c´od. 435)
- Num saco, est˜ao trˆes bolas pretas e nove bolas brancas, indistingu´ıveis ao tato. Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposi¸c˜ao, as doze bolas do saco. Determine: 73.1. A probabilidade de as duas primeiras bolas extra´ıdas n˜ao serem da mesma cor. Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel. 73.2. A probabilidade de as trˆes bolas pretas serem extra´ıdas consecutivamente (umas a seguir `as outras). Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel. Exame – 2005, 1.a^ Fase (c´od. 435)
- Considere o seguinte problema:
Um saco cont´em doze bolas, indistingu´ıveis ao tato: trˆes bolas com o n´umero 1, cinco bolas com o n´umero 2 e quatro bolas com o n´umero 3. Retiram-se, do saco, trˆes bolas, ao acaso. Qual ´e a probabilidade de a soma dos n´umeros sa´ıdos ser igual a cinco?
Uma resposta correta para este problema ´e
3 C 2 × 4 + 5 C 2 × 3
12 C 3
Numa pequena composi¸c˜ao, com cerca de dez linhas, explique esta resposta. Nota: Deve organizar a sua composi¸c˜ao de acordo com os seguintes t´opicos:
- referˆencia `a Regra de Laplace;
- explica¸c˜ao do n´umero de casos poss´ıveis;
- explica¸c˜ao do n´umero de casos favor´aveis. Exame – 2004, 2.a^ Fase (c´od. 435)
- O Jo˜ao tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de 1 euro e quatro moedas de 50 cˆentimos. O Jo˜ao retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso. Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o Jo˜ao informou a sua irm˜a Inˆes de que elas eram iguais. Ela apostou, ent˜ao, que a quantia retirada era de 2 euros. Qual ´e a probabilidade de a Inˆes ganhar a aposta? Apresente o resultado sob a forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel. Exame – 2004, 1.a^ Fase (c´od. 435)
- Considere o seguinte problema:
Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados l´a, verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com dez lugares consecutivos em cada uma delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como ´e evidente, cinco jovens ir˜ao ficar sem bilhete. Qual ´e a probabilidade de uma das filas ficar ocupada s´o com rapazes e a outra s´o com raparigas?
Uma resposta correta para este problema ´e:
12 C 10 × 13 C 10 × 2 × 10! × 10!
25 C 20 × 20!
Numa pequena composi¸c˜ao, com cerca de vinte linhas, explique esta resposta. Nota: Deve organizar a sua composi¸c˜ao de acordo com os seguintes t´opicos:
- referˆencia `a Regra de Laplace;
- explica¸c˜ao do n´umero de casos poss´ıveis;
- explica¸c˜ao do n´umero de casos favor´aveis. Exame – 2003, 1.a^ Fase – 2.a^ chamada (c´od. 435)
- Numa turma de vinte e cinco jovens, as suas idades e sexos est˜ao distribu´ıdos como indica a tabela:
Idade Rapazes Raparigas 15 4 2 16 5 4 17 6 4
Ao escolher dois jovens ao acaso, qual ´e a probabilidade de eles serem de sexo diferente e terem a mesma idade? Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel. Exame – 2002, Prova para militares (c´od. 435)
- Um baralho de cartas completo ´e constitu´ıdo por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: Espadas, Copas, Ouros e Paus. Cada naipe tem trˆes figuras: Rei, Dama e Valete.
Retirando, ao acaso, seis cartas de um baralho completo, qual ´e a probabilidade de, entre elas, haver um e um s´o Rei? Apresente o resultado na forma de d´ızima, com aproxima¸c˜ao `as mil´esimas.
Exame – 2002, 2.a^ Fase (c´od. 435)
- Considere todos os n´umeros de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. Escolhe-se, ao acaso, um desses n´umeros.
79.1. Determine a probabilidade de o n´umero escolhido ter exatamente dois algarismos iguais a 1. Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado `as unidades. 79.2. Determine a probabilidade de o n´umero escolhido ter os algarismos todos diferentes e ser maior do que 9800. Apresente o resultado na forma de d´ızima, com trˆes casas decimais.
Exame – 2002, 1.a^ Fase – 2.a^ chamada (c´od. 435)
- Um saco cont´em cinco cart˜oes, numerados de 1 a 5. A Joana retira sucessivamente, ao acaso, os cinco cart˜oes do saco e alinha-os, da esquerda para a direita, pela ordem de sa´ıda, de maneira a formar um n´umero de cinco algarismos. Qual ´e a probabilidade de esse n´umero ser par e de ter o algarismo das dezenas tamb´em par?
(A)
5 C 2
5 A 2 (B)
5 C 2
(C)
2 × 3!
5 A 2 (D)^
2 × 3!
Exame – 2002, 1.a^ Fase – 1.a^ chamada (c´od. 435)
- Trˆes casais, os Nunes, os Martins e os Santos v˜ao ao cinema.
81.1. Ficou decidido que uma mulher, escolhida ao acaso de entre as trˆes mulheres, paga trˆes bilhetes, e que um homem, escolhido igualmente ao acaso de entre os trˆes homens, paga outros trˆes bilhetes. Qual ´e a probabilidade de o casal Nunes pagar os seis bilhetes? Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao. 81.2. Considere o seguinte problema: Depois de terem comprado os bilhetes, todos para a mesma fila e em lugares consecutivos, as seis pessoas distribuem-nos ao acaso entre si. Supondo que cada pessoa se senta no lugar correspondente ao bilhete que lhe saiu, qual ´e a probabilidade dos membros de cada casal ficarem juntos, com o casal Martins no meio?
Numa pequena composi¸c˜ao, com cerca de quinze linhas, explique porque raz˜ao
´e uma resposta correta a este problema. Deve organizar a sua composi¸c˜ao de acordo com os seguintes t´opicos:
- referˆencia `a Regra de Laplace;
- explica¸c˜ao do n´umero de casos poss´ıveis;
- explica¸c˜ao do n´umero de casos favor´aveis.
Exame – 2001, 1.a^ Fase – 2.a^ chamada (c´od. 435)
