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Exerc´ıcios Resolvidos: Opera¸c˜oes Com N´umeros Complexos
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Atualizado em: 04/10/
Quais s˜ao as opera¸c˜oes?
Adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao:
(a + bi) ± (c + di) = (a + c) ± (b + d)i
Multiplica¸c˜ao:
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bd)i
Conjugado:
O conjugado do complexo z = a + bi ´e o numero z = a − bi ( muda apenas o sinal da parte
imagin´aria )
Divis˜ao:
(a + bi)
(c + di)
(a + bi) · (c − di)
(c + di) · (c − di)
Exemplo 1: Calcule:
a) (−30 + 30i) + (
2 + 3i);
b) (1 + i)(2 − i);
c) z 3 com z = a + bi.
Solu¸c˜ao de A:
(−30 + 30i) + (
2 + 3i)
= − 28 .6 + 33i
Solu¸c˜ao de B:
(1 + i)(2 − i)
= 2 − i + 2i − i 2
= 1 + i
Solu¸c˜ao de C:
z 3 = (a + bi) 3
z 3 = (a + bi) 2 (a + bi) = (a 3 − ab − 2 ab 2 ) + (3ab − b)i
Exemplo 2: Determine o conjugado do numero complexo
(3 + 8i) 4
(1 + i)^10
Solu¸c˜ao de B:
(3 + 8i) 4
(1 + i)^10
(3 + 8i) 4
((1 + i)^2 )
5
(3 + 8i) 4
(2i)
5
(3 + 8i) 4
32 i^5
(3 + 8i) 4
32 i
Como o denominador possui apenas um complexo puro ao inv´es de multiplicar pelo conjugado
(− 32 i) multiplicamos apenas por i.
((3 + 8i) 4 )i
(32i)i
(3 + 8i) 4 · i
32
(721 − 5280 i)i
32
5280 + 721i
32
i
Exemplo 3: Calcule
1 + 2i
Solu¸c˜ao:
3
1 + 2i = (1 + 2i)^1 /^3
Usando a f´ormula:
zk = n
|z|
[
cos
θ
n
2 kπ
n
θ
n
2 kπ
n
)]
; k ∈ { 0 , 1 ,... , n − 1 }
chega-se `a:
z
1 (^3) = 3
|1 + 2i|
[
cos
θ
3
2 kπ
3
θ
3
2 kπ
3
)]
Como |1 + 2i| =
12 + 2^2 =
z
1 (^3) = 3
[
cos
θ
3
2 kπ
3
θ
3
2 kπ
3
)]
Exemplo 6: Qual o complexo “z” tal que z + 3 · z = 8 + 10i.
Solu¸c˜ao:
Sendo z = a + bi ent˜ao:
a + bi + 3(a − bi) = 8 + 10i
⇒ 4 a − 2 bi = 8 + 10i
Igualando parte real com parte real e imagin´aria com imagin´aria:
4 a = 8 ⇒ a = 2
− 2 bi = 10i ⇒ b = − 5
A resposta ´e z = 2 − 5 i
Exemplo 7: Dados z 1 = 3
cos
3 π
4
3 π
4
e z 2 = 5
cos
7 π
6
7 π
6
, calcule
z 1
z 2
Solu¸c˜ao:
z 1
z 2
cos
3 π
4
3 π
4
cos
7 π
6
7 π
6
×
cos
3 π
4
3 π
4
cos
7 π
6
7 π
6
Para calcular o segundo membro do produto podemos tanto usar o conjugado como podemos
fazer o seguinte:
θ 1 − θ 2 =
3 π
4
7 π
6
5 π
12
Como o resultado foi negativo somamos 2π (uma volta).
5 π
12
19 π
12
Assim
cos
3 π
4
3 π
4
cos
7 π
6
7 π
6
) (^) = cos
19 π
12
19 π
12
Portanto:
z 1
z 2
[
cos
19 π
12
19 π
12
)]
Observe que a divis˜ao de complexos na forma trigonom´etrica ´e bem mais trivial.
Exemplo 8: Dado o complexo z = 2
[
cos
5 π
6
5 π
6
)]
, calcule z^6.
Solu¸c˜ao:
Este problema ´e uma aplica¸c˜ao direta da 1a^ f´ormula de Moivre.
z = |z| n (cos nθ + isen nθ) (f´ormula de Moivre)
Primeiro calcula-se |z|^6
|z|^6 = 2^6 = 64
Agora encontramos n · arg(z)
n · arg(z) = 6 ·
5 π
6
= 5π
Como o resultado ultrapassa 2π reduzimos a primeira volta.
5 π − 4 π = π
Portanto z 6 = 64(cos(π) + isen(π))
