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Números Complexos
Resolução de exercícios
- Usando unidade imaginária i, escrever os seguintes números: - Temos que: , portanto usando esta definição teremos:
posteriores.a).^ de modo análogo procede-se nas alíneas b). c). d). e). f). g). 5 − √45 = 5 − 3 √5 + 0𝑖 h).
- (^) puro.Determine a (a∈ ℝ) de modo que o número 𝑧 = (2𝑎 − 3) + 2𝑖 seja um número imaginário Resolução: Da condição 𝑅𝑒(𝑧) = 0 teremos
- Determine a (a∈ ℝ) de modo que o número 𝑧 = (𝑎 − 1) + (𝑎 − 3)𝑖 seja: a). Imaginário puro. Resolução: condição 𝑅𝑒(𝑧) = 0; logo 𝑎 − 1 = 0 2 1 D 4𝑎 = 1
b). Real Resolução: Condição Im(z) = 0; logo 𝑎 − 3 = 02 1 D 4 𝑎 = 3 c). Imaginário
Resolção Condição: Im(z) ≠ 0 2 2 2 7 Re(z) ≠ 0 ; das alineas anteriores vem: 𝑎 ≠ 1 2 2 2 7 𝑎 ≠ 3 solução 𝑎2 2 0 82 1 1 D/{1; 3}
- Determine Re(z) e Im(z) em cada caso abaixo: Resoluções a). Dado 𝑧 = 2 + 30𝑖 então Re(z) = 2 e Im(z) = 30 b). Dado 𝑧 = − 6 então Re(z) = − 6 e Im(z) = 0 c). Dado 𝑧 = 0 então Re(z) = 0 e Im(z) = 0
- Tendo como o universo o conjunto dos números complexos, resolver as equações: a). 𝑥^2 −0 1 D 4 6 5 2 + 2 = 0 b). 𝑥^2 −0 1 D 4 6 5 4 + 5 = 0 c). 𝑥 2 + 60 1 D 4 6 5 + 10 = 0 △= 𝑏^2 − 4 𝑎𝑐 2 5 B 3= 16 − 20 = − 4 2 5 B 3= 36 − 40 = − 4 2 5 B 3= 4 − 4 2 2 1 7 2 = − 4 0 1 D 4 6 0= {2 + 0 1 D 4 5 6 , 2 0 1 D 4 5 6− } 0 1 D 4 6 0= { −3 +0 1 D 4 5 6 , − 3 0 1 D 4 5 6− }
0 1 D 4 6 0= {1 + 0 1 D 4 5 6 , 1 0 1 D 4 5 6− }
d). 𝑥^2 − 10 0 1 D 4 6 5 + 28 = 0 e). 2𝑥^2 + 12 = 0 2 5 B 3= 100 − 112 = − 12 𝑥^2 + 6 = 0
𝑥^2 = − 6 ⇔ 𝑥 = ±√ 6 𝑖 𝑠 = {− 50 − √ 3 𝑖, −50 + √ 3 𝑖}
𝑆 = 𝑆´ + 𝑖 133 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 3 + 𝑆 4 + 𝑖 133 = 𝑖^ e d). 𝑆 = 𝑖^4 + 𝑖 6 + 𝑖^8 + … + 𝑖 74 + 𝑖^76 Vamos dencompor em duas somas assim:
Assim , verifica-se que tanto são PA´s e 𝑆 = 𝑆 1 + 𝑆 2
e). 𝑆 = 𝑖^7 + 𝑖 9 + 𝑖 11 + … + 𝑖^83 + 𝑖^85 Vamos dencompor em duas somas assim:
Assim , verifica-se que tanto são PA´s e 𝑆 = 𝑆 1 + 𝑆 2 e 𝑆 = 𝑆 1 + 𝑆 2 = 200 1 D 4 5 6 − 20 0 1 D 4 5 6 = 0
- Sabendo-se que a somavalor possível de n (n ).𝑖 (^10) Resolução:^ + 𝑖^11 + 𝑖 12 + … + 𝑖 𝑛^ é nula e que > 200 , determine o menor Seja: 𝑆 = 𝑖 10 + 𝑖 11 + 𝑖 12 + … + 𝑖 𝑘^ e consideremos as partições 𝑆𝑡 ( t=1,2,3 e 4 ) de S, e 𝑘 = 200 Assim : 𝑆 1 = 𝑖 10 + 𝑖 14 + … + 𝑖 4 𝑡+2^ + … + 𝑖 198 = − 48 𝑆 2 = 𝑖^11 + 𝑖^15 + … + 𝑖^4 𝑡+3^ +2 2 E F+ 𝑖 199 = − 48 𝑖 𝑆 3 = 𝑖 12 + 𝑖^16 + … + 𝑖 4 𝑡^ + … + 𝑖^200 = 48 𝑆 1 = 𝑖 13 + 𝑖 17 + … + 0 1 D 4 6 1𝑖 4 +1 + … + 𝑖 197 = 48𝑖 Torna-se evidente que 𝑆 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 3 + 𝑆 4 = 0 a para 𝑘 = 200 logo para 𝑛 > 200 teremos Completar o ciclo para ke S seja nula novamente logo solução n =204.
- Resolução 𝑅𝑒Sejam(𝑧 1 = (𝑚^ −^ 3) + 2𝑖^ e^ 𝑧^2 = 5^ −^ (𝑛^ −^ 2)𝑖^ para que^ 𝑧^1 =^ 𝑧^2 é necessário que Im(𝑧^1 ) = Im(𝑧^2 )^ e 1 ) =^ 𝑅𝑒(𝑧 2 )^ Assim:
- Determine os valores de 𝑚 𝑒 𝑛 Resolução a). 𝑚𝑖 + 𝑛 = 5 − 3 𝑖 b). (𝑚 + 1) − 7 𝑖 = 5 − (2𝑚 − 𝑛)𝑖
c).0 1 D 4 5 A( 0 1 D 4 5 B 0 1 D 4 5 6− ) + 5 = 1 + ( 0 1 D 4 5 A 0 1 D 4 5 B− ) Sol: sistema indeterminado
- determinar a soma, diferença e produto. a). 𝑧 1 = 1 − 3 𝑖 𝑒 𝑧 2 = 4 + 6𝑖
- 𝑧 1 + 𝑧 2 = 1 − 3 𝑖 + 4 + 6𝑖 = 5 + 3𝑖 2. 𝑧 1 − 𝑧 2 = 1 −0 1 D 4 5 6 3 − 4 −0 1 D 4 5 6 6 = − 3 − 9 𝑖
- 𝑧 1 ∗ 𝑧 2 = 4 − 6 𝑖 − 18 𝑖^2 = 22 − 6 𝑖
b). 𝑧 1 = 5 + 9𝑖 𝑒 𝑧 2 = 3 − 𝑖
- 𝑧 1 + 𝑧 2 = 5 + 9𝑖 + 3 − 𝑖 = 8 − 8 𝑖 2. 𝑧 1 − 𝑧 2 = 5 + 9𝑖 − 3 + 𝑖 = 2 + 10𝑖
- 𝑧 1 ∗ 𝑧 2 = 15 − 5 𝑖 + 27𝑖 − 9 𝑖 2 = 24 + 22𝑖
- Resolução Regra 𝑧 ∗ 𝑧̅ = 𝑥^2 + 𝑦^2 sendo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 a). (3 + 20 1 D 4 5 6 )(3 −0 1 D 4 5 6 2 ) b).0 1 D 4 4 E( 0 1 D 4 4 F− 0 1 D 4 5 60 1 D 4 4 E)( 0 1 D 4 4 F+ 0 1 D 4 5 6) c). (2 0 1 D 4 5 6− ) 2 = 4 − 2 𝑖 − 1 = 3 − 2 𝑖 2 1 D 4 32 + 2^2 = 13 ⇔ 𝑎 2 + 𝑏^2
- efectuar as operações abaixo a). (1 +0 1 D 4 5 6 ) 2 = 1 + 2𝑖 − 1 = 2𝑖
- Resolução Seja = 2 − 3 𝑖 𝑒 𝑤 = 5 − 𝑖 a). 𝑧𝑤̅ = (2 − 3 𝑖)(5 + 𝑖) = −13 + 13𝑖 b).0 1 D 4 6 70 1 D 4 6 4̅ = (2 + 3𝑖)(5 − 𝑖) = − 13 − 13 𝑖 c). 2𝑧 − 𝑤 + 𝑧̅ = −11 + 4𝑖
- Resolução Seja0 1 D 4 6 7= 4 −0 1 D 4 5 6 3 a).0 1 D 4 6 70 1 D 4 6 7̅= 16 + 9 = 25 b).0 1 D 4 6 70 1 D 4 6 7+ ̅= 4 −0 1 D 4 5 6 3 + 4 + 3 0 1 D 4 5 6 = 8 c). 𝑧 − 𝑧̅ = 4 − 3 𝑖 − 4 − 3 𝑖 = − 6 𝑖
- Resolução a) b)
- (^) Resolução a).
b).
c).
d). 𝑧 1 ⁄𝑧 2 nos seguintes casos.
- efectuar a). 𝑧 1 = 3 − 2 𝑖 𝑒 𝑧 2 = 1 − 𝑖
b). 𝑧 1 = 8 − 6 𝑖 𝑒 𝑧 2 = 4 + 3𝑖
c) 𝑧 1 = 2𝑖 𝑒 𝑧 2 = −1 + 𝑖
- Resolução: a). b). c). 𝑖 −^7 + 𝑖−^3 + 𝑖 16 = 1 + 2𝑖
- Resolucão
- Obter o complexo Z de modo que 2 𝑧 + 𝑧𝑖 − 3 = − 10 − 𝑖 Resolução: Seja 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 Então teremos: 2(𝑥 + 𝑦𝑖) + (𝑥 + 𝑦𝑖)𝑖 − 3 = − 10 − 𝑖2 1 D 4 2 𝑥 − 𝑦 + (2𝑦 + 𝑥)𝑖 = − 7 − 𝑖 portanto 𝑧 = −3 + 𝑖 25.. Obter o complexo Z de modo 2 𝑧 + 𝑧◌̅ + 6𝑖 = 3 Seja 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 : 2(𝑥 + 𝑦𝑖) + 𝑥 − 𝑦 + 6𝑖 = 32 1 D 4 3 𝑥 + 𝑦𝑖 = 3 − 6 𝑖 26.. Obter o complexo Z de modo que^ portanto^ 𝑧^ = 1 3 𝑧 + 2−^ 𝑧^6 ◌̅𝑖 + 𝑖 = 2 − 4 𝑖 Resolução: Seja 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 Então teremos: 3(𝑥 + 𝑦𝑖) + 2(𝑥 − 𝑦𝑖) + 𝑖 = 2 − 4 𝑖2 1 D 4 5 𝑥 + 𝑦𝑖 = 2 − 5 𝑖
2 7 F 9{ =^2 ⁄^5 portanto
0 1 D 4 6 6= − 5
27.. Obter o complexo Z de modo que 2 𝑧 + 𝑧𝑖 − 𝑧(1 − 𝑖) − 4 = 3𝑖 Resolução: Seja 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
b. 𝑧 2 = 8 −0 1 D 4 5 6 6 2 1 D 40 1 D 4 6 5( 0 1 D 4 6 6+ 0 1 D 4 5 6) 2 = 8 − 6 𝑖 ⇔ 𝑥 2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦 2 = 8 − 6 𝑖 daqui vem
Daqui vem0 1 D 4 6 6= {1; −1; −0 1 D 4 5 6 3 ; 30 1 D 4 5 6 0 1 D 4 5 2} 0 1 D 4 6 5= { −3; 3;0 1 D 4 5 6 ;0 1 D 4 5 6 − }
c. 𝑧 2 = 80 1 D 4 5 6 2 1 D 40 1 D 4 6 5( 0 1 D 4 6 6+ 0 1 D 4 5 6)^2 = 8𝑖 ⇔ 𝑥^2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦 2 = 8𝑖 daqui vem
Daqui vem0 1 D 4 6 6= {2; −2; −0 1 D 4 5 6 2 ; 20 1 D 4 5 6 0 1 D 4 5 2} 0 1 D 4 6 5= { −2; 2; 20 1 D 4 5 60 1 D 4 5 6 ; − 2 }
- Mostre que: a). ◌̅𝑧◌̅ 1 ◌̅̅+̅̅̅ 𝑧◌̅ 2 ◌̅ = 𝑧◌̅ 1 + 𝑧◌̅ 2 b).0 1 D 4 6 7̅̅ 1 0 1 D 4 6 7◌̅̅̅ 2 ◌̅ 0 1 D 4 6 7= ̅ 1 0 1 D 4 6 7. ̅ 2 a) Seja 𝑧 1 = 𝑥 1 + 𝑦 1 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑖 𝑧 1 + 𝑧 2 = (𝑥 1 + 𝑥 2 ) + (𝑦 1 + 𝑦 2 ),0 1 D 4 5 D 0 1 D 4 5 20 1 D 4 5 90 1 D 4 4 E0 1 D 4 5 10 1 D 4 5 20 1 D 4 5 30 1 D 4 5 60 1 D 4 5 Cçã 0 1 D 4 5 10 1 D 4 5 20 1 D 4 5 00 1 D 4 5 C0 1 D 4 5 B0 1 D 4 5 70 1 D 4 6 20 1 D 4 5 40 1 D 4 4 E0 1 D 4 5 10 1 D 4 5 C0 1 D 4 6 10 1 D 4 5 20 1 D 4 5 A0 1 D 4 5 C0 1 D 4 6 0: 0 1 D 4 6 7◌̅̅ 1 ◌̅̅0 1 D 4 6 7+̅̅̅̅ 2 ◌̅ = (0 1 D 4 6 5̅̅̅ 1 ◌̅̅0 1 D 4 6 5+̅̅̅̅̅ 2 ◌̅)̅̅+0 1 D 4 6 6̅̅̅(̅̅̅ 1 ◌̅̅0 1 D 4 6 6+̅̅̅̅ 2 ◌̅̅)̅𝑖 = (𝑥 1 + 𝑥 2 ) − (𝑦 1 + 𝑦 2 )𝑖 = 𝑥 1 − 𝑦 1 𝑖 + 𝑥 2 − 𝑦0 1 D 4 5 6 2 0 1 D 4 6 7= ̅ 1 0 1 D 4 6 7+ ̅ 2 b).Vamos desenvolver ambos os membros e comparar. Tese: (̅̅𝑥◌̅ 1 ◌̅̅+̅̅̅ 𝑦◌̅̅ 1 ◌̅𝑖◌̅)̅̅(̅ 𝑥◌̅ 2 ◌̅̅̅+̅̅̅ 𝑦◌̅ 2 ◌̅̅𝑖◌̅) = (𝑥 1 − 𝑦 1 𝑖)(𝑥 2 − 𝑦 2 𝑖) 2 1 D 4 ̅𝑥◌̅ 1 ◌̅𝑥◌̅̅ 2 ◌̅̅+̅̅̅ 𝑥◌̅̅ 1 ◌̅𝑦◌̅ 2 ◌̅̅𝑖◌̅̅+̅̅ 𝑥◌̅̅ 2 ◌̅𝑦◌̅̅ 1 ◌̅𝑖◌̅̅−̅̅̅𝑦◌̅ 1 ◌̅̅𝑦◌̅ 2 ◌̅ = 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑖 − 𝑥 2 𝑦 1 𝑖 − 𝑦 1 𝑦 2 2 1 D 4 ̅(̅𝑥◌̅ 1 ◌̅̅𝑥◌̅ 2 ◌̅̅−̅̅̅𝑦◌̅̅ 1 ◌̅𝑦◌̅̅ 2 ◌̅)̅̅+̅̅̅(𝑥̅◌̅̅ 1 ◌̅𝑦◌̅̅ 2 ◌̅̅+̅̅̅ 𝑥◌̅ 2 ◌̅̅𝑦◌̅ 1 ◌̅̅)𝑖̅ = (𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ) − (𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 )𝑖 aplicado a definição de conjugado no primeiro membro teremos: 2 1 D 4(𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ) − (𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 )𝑖 = (𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ) − (𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 )𝑖 c.q.d
- Determinar Re(z) e Im(z) Número z Re( z) Im(z) 10 − 3 𝑖 10 − 3 − 9 𝑖 − 9 √ 3 − √ 2 𝑖 √^3 −√ 3 −1 + √ 3 𝑖 −^1 √ 3 √ 3 𝑏 + (2 − 𝑎)𝑖 √ 3 𝑏 2 − 𝑎
- Associe A para nº imaginario, B nº real e C para imaginário puro Número z Categoria 0 1 D 4 5 6 3 − 5 − 3 𝑖 √ 0 1 D 4 5 6 2 − √ 3
- Determine 2 2 0 8a 2 1 1 Dpara que z : a. (3𝑎 − 1) + (2𝑎 − 3)𝑖 seja real condição Im(z)=0;
; daqui vem0 1 D 4 4 E 2 − 3 = 02 1 D 2 0 1 D 4 4 E= 3^ ⁄ 2
b. (𝑎 2 − 5 𝑎 + 6) + 2𝑖 𝑠𝑒𝑗𝑎 Imaginário puro. Então 𝑎^2 − 5 𝑎 + 6 = 02 1 D 4 (𝑎 − 3)(𝑎 − 2) = 0 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑎 = {2; 3} c. Condição d. seja imaginario puro condicão
- Ache a e b
a. 0 1 D 4 4 E 3 0 1 D 4 4 F− 0 1 D 4 5 6= 5 + 3 0 1 D 4 5 6 0 1 D 4 5 90 1 D 4 5 C0 1 D 4 5 40 1 D 4 5 C0 1 D 4 4 E= 5 ⁄ 3 0 1 D 4 5 2 0 1 D 4 4 F= − 3
b. 0 1 D 4 4 E 2 0 1 D 4 5 60 1 D 4 5 6 0 1 D 4 5 9− = 5 − 1 0 1 D 4 5 C0 1 D 4 5 40 1 D 4 5 C0 1 D 4 4 E= − 1 ⁄ 2 0 1 D 4 4 F=?
c. (2𝑎 − 𝑏) − 3 𝑖 = −1 + (𝑏 − 6 𝑎)𝑖 daqui vem d. 0 1 D 4 4 E+ 4 + (2 0 1 D 4 4 E0 1 D 4 4 F + 3 0 1 D 4 5 6) = (4 −0 1 D 4 4 F 2 0 1 D 4 5 6) − (−0 1 D 4 4 E 5 − 1)
daqui vem:
- Achar soma, diferença, o produto e quociente nas alineas que se seguem:
- Resolução a). 𝑖 154 = − 1 b). 𝑖^323 = −𝑖 c). 𝑖^15 + 𝑖^73 + 𝑖^82 =0 1 D 4 5 6 − 0 1 D 4 5 6+ − 1 = − 1
d) 𝑖−^6 = − 1 e)
- Calcule a). b) c) 𝑖 −^2 + 𝑖^2 − 𝑖 −^3 = − 1 − 1 + 𝑖 = 𝑖
- resolva a. 0 1 D 4 6 7 2 0 1 D 4 5 6− = 8 − 73 0 1 D 4 5 6 2 1 D 40 1 D 4 6 50 1 D 4 6 6 2 + 2 0 1 D 4 5 60 1 D 4 5 6− = 8 − 73 0 1 D 4 5 6 2 1 D 40 1 D 4 6 5= 4 2 2 2 7 0 1 D 4 6 6= 37
b.0 1 D 4 6 7+ 2 = 5 0 1 D 4 6 70 1 D 4 5 6 − 8 + 4 2 1 D 4 − 2 + 80 1 D 4 5 60 1 D 4 6 7 = 4 2 1 D 4− 2 + 80 1 D 4 5 60 1 D 4 6 50 1 D 4 6 6 = 4 + 4 0 1 D 4 5 62 1 D 20 1 D 4 6 5= − 1 ⁄ 2 2 2 2 7 0 1 D 4 6 6= 2
c. 𝑧^2 = 2𝑖 ⇔ 𝑥^2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦 2 = 2𝑖 ⇔ 𝑥^2 − 𝑦^2 = 02 2 2 7 0 1 D 4 6 50 1 D 4 6 6= 1 daqui vem0 1 D 4 6 6= {±1; ± 0 1 D 4 5 6 } 2 2 2 70 1 D 4 6 5= {±1; ± 0 1 D 4 5 6 } d. 𝑧^2 = 2𝑧̅ ⇔ 𝑥 2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦 2 = 2𝑥 − 2 𝑦𝑖 ⇔ 𝑥^2 − 2 𝑥 + 1 − 𝑦 2 + 2𝑥𝑦𝑖 = 1 − 2 𝑦𝑖 2 1 D 40 1 D 4 6 5( − 1)^2 − 𝑦 2 + 2𝑥𝑦𝑖 = 1 − 2 𝑦𝑖 daqui vem
- calcular as somas: a). Seja: 𝑆 = 𝑖^7 + 𝑖^8 + 𝑖 9 + … + 𝑖^74 e consideremos as partições 𝑆 (^) 𝑡 ( t=1,2,3 e 4 ) de S, Assim : 𝑆 1 = 𝑖 10 + 𝑖 14 + … + 𝑖 4 𝑡+2^ + … + 𝑖 74 = − 17 𝑆 2 = 𝑖^7 + 𝑖^11 + … + 𝑖 4 𝑡+3^ +2 2 E F+ 𝑖^71 = − 17 𝑖 𝑆 3 = 𝑖 8 + 𝑖 12 + … + 𝑖^4 𝑡^ + … + 𝑖^72 = 17 𝑆 1 = 𝑖 9 + 𝑖^13 + … +0 1 D 4 6 1 𝑖^4 +1^ + … + 𝑖^73 = 17 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑆 é 𝑛𝑢𝑙𝑜 b) Seja: 𝑆 = 𝑖 6 + 𝑖^7 + 𝑖 8 + … + 𝑖^94 e consideremos as partições 𝑆 (^) 𝑡 ( t=1,2,3 e 4 ) de S, e 𝑘 = 200 Assim : 𝑆 1 = 𝑖 6 + 𝑖^10 + … + 𝑖^4 𝑡+2^ + … + 𝑖^94 = − 23
𝑆 2 = 𝑖^7 + 𝑖^11 + … + 𝑖 4 𝑡+3^ +2 2 E F+ 𝑖^91 = − 22 𝑖
𝑆 3 = 𝑖 8 + 𝑖 12 + … + 𝑖^4 𝑡^ + … + 𝑖^92 = 22
𝑆 1 = 𝑖 9 + 𝑖^17 + … +0 1 D 4 6 1 𝑖^4 +1^ + … + 𝑖^93 = 22𝑖
Daqui vem: 𝑆 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 3 + 𝑆 4 = − 1
c). 𝑆 = 𝑖^100 + 𝑖^102 + … + 𝑖^234 Vamos dencompor em duas somas assim:
Assim , verifica-se que tanto são PA´s e 𝑆 = 𝑆 1 + 𝑆 2 e 𝑆 = 𝑆 1 + 𝑆 2 = 34 − 34 = 0
- Resolução 𝑎) 𝑥^2 + 10 = 0 ⇔ 𝑥 2 = − 10 0 1 D 4 5 9 0 1 D 4 5 C0 1 D 4 5 40 1 D 4 5 C0 1 D 4 6 5= {± √ 10 0 1 D 4 5 6 } b. 𝑥^2 −0 1 D 4 6 5 4 + 7 = 0
c. 𝑥^2 + 100 1 D 4 6 5 + 26 = 0 2 5 B 3= 100 − 104 = − 4 0 1 D 4 6 5= { −5 ±0 1 D 4 5 6 }
- a). Seja 𝑦 = 𝑖^2 𝑛^ + 𝑖 −^2 𝑛^ se n for par entao n=2k e assim teremos 𝑦 = 𝑖 4 𝑘 + 𝑖− 4 𝑘 = 2 b) se n for impar enta n=2k- 𝑦 = 𝑖 4 𝑘− 2 + 𝑖− 4 𝑘+2 = − 2
g.0 1 D 4 6 4= √ 3 0 1 D 4 5 6− 2 1 D 40 1 D 4 6 4| | = √3 + 1 = 2 h.
- Consideremos os seguintes numeros complexos e seus módulos :
- Sejam z e w dois complexos 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 𝑒 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖. Então . c.q.d
- Prove que: a. seja 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 𝑒 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 então
Cqd. b. |igualdade.𝑧| = |𝑧|̅ seja é evidente a c.0 1 D 4 6 70 1 D 4 6 7̅= |0 1 D 4 6 7 | 2 seja
- a) Sendo: 56.a. 𝑧 = 7𝑖 então |𝑧| = 7 𝑒0 1 D 7 0 3= 90𝑜 56.b. (^) 𝑧 1 = − 8 𝑒𝑛𝑡𝑎𝑜 |𝑧| = 8 𝑒 0 1 D 7 0 3= 180 0 56.c. 0 1 D 4 6 3= 5 então0 1 D 4 6 3| | = 5 0 1 D 4 5 2 0 1 D 7 0 3= 0 𝑜 56.d. 𝑧 2 = − 3 𝑖 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 |𝑧 2 | = 30 1 D 4 5 2 0 1 D 7 0 3= 270 𝑜
- determinar o módulo e o argumento
