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Transformação linear
A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
Definição e consequências imediatas
Sejam e espaços vetoriais sobre o mesmo corpo .
Diz-se que uma função de em é uma transformação linear se
Exemplos de transformações lineares:
- a função de em definida por ;
- a função de em definida por ;
- a função de em definida por ;
- se for o espaço das funções deriváveis de R em R e se for o espaço de todas as funções de R em R , então a derivação (isto é, a função de em que envia cada função na sua derivada) é linear.
Em contrapartida, se ∈ \ , então a função de em definida por não é uma
transformação linear. Se for uma função de um espaço vetorial num espaço vetorial , então afirmar que é linear equivale a afirmar que preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores ∈ e dois escalares ∈ :
Para qualquer aplicação linear de em tem-se:
- , pois.
- se ∈ , então , pois.
Núcleo
O núcleo de uma transformação linear de em , denotado por , é o conjunto
(onde é o vetor nulo de )
Exemplo: O núcleo da função de em definida por
é:
O conjunto é um subespaço vetorial de V, pois se ∈ e se ∈ , então
,
ou seja, ∈.
Se uma aplicação linear de em for injectiva, então , pois e, portanto, pela
injectividade de ,o único vector ∈ tal que é. Reciprocamente, se , então
é injectiva, pois, dados ∈ .
Imagem
Sejam e espaços vectoriais sobre um corpo. A imagem de uma transformação linear de em é o conjunto
.
Sejam dois elementos da imagem de e sejam. Então, como estão na imagem de , há vectores tais que e que , pelo que .
Logo, é um subespaço vectorial de.
Dimensão da imagem e do núcleo
Sejam e espaços vectoriais sobre um corpo , sendo de dimensão finita, e seja uma transformação linear de em. Então
.
Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja e seja … uma base de
. Como é um subespaço de , pode-se completar essa base até obtermos uma base de. Sejam
então … ∈ tais que … … seja uma base de ; em
particular,. Vai-se provar que … é uma base de Im , de onde
resultará que .
Se ∈ Im , então para algum ∈ e pode ser escrito sob a forma
,
pelo que
,
visto que … ∈. Isto prova que … gera Im. Por outro lado,
os vetores … são linearmente independentes, pois se … ∈ forem
tais que ,
Espaço dos Operadores Lineares
Um caso particular importante é o espaço , das transformações lineares de um espaço vectorial nele
mesmo (operadores lineares). Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.
Assim, dado um operador linear T , podem-se definir as potências T^2 , T^3 , ou, de modo geral, Tn^ para qualquer n inteiro positivo. Portanto, se p(x) é um polinómio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir p(T) :
em que IV é o operador identidade em V.
Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:
- Se p(x) e q(x) são polinómios, então e.
Se o espaço V tem dimensão finita n , então L(V,V) também tem dimensão finita n^2. Portanto, o conjunto de n^2 + operadores é linearmente dependente. Logo, existem escalares , não todos
nulos, tais que. Ou seja, existe um polinómio não-nulo p(x) tal que p(T) = 0. Se existe um polinómio não-nulo f(x) tal que f(T) = 0 , então o conjunto não-vazio dos polinómios q(x) tais que q(T) = 0 forma um ideal no anel de todos polinómios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinómio mónico p(x) tal que p(T) = 0. Este polinómio é chamado de polinómio mínimo de T.
Espaço Dual
Seja um espaço vetorial sobre um corpo. O espaço dual de , representado por , é o espaço vetorial das transformações lineares de em.
Fontes e Editores da Página (^5)
Fontes e Editores da Página
Transformação linear Fonte : http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=19432360 Contribuidores : Akawai, Albmont, Braswiki, Heldergeovane, Ilustrador, JCSantos, Lechatjaune, LipeFontoura, Mschlindwein, Reynaldo, Salgueiro, Santana-freitas, Toal193, Usien, Victorwss, 46 edições anónimas
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