Baixe Probabilidades e Estatística: Formulário para Estudantes e outras Exercícios em PDF para Estatística, somente na Docsity!
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Departamento de Matemática
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
FORMULÁRIO
PROBABILIDADES
Probabilidade condicional ou condicionada de A dado B:
P(B)
P(A B)
P( A|B)
= , se P(B)>
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Média , valor esperado ou esperança matemática:
− ≡ μ =∑ i
E (X) X xifX(xi), e ( φ ) ≡μφ =∑φ i
E (X) ( X) (xi)fX(xi), se X é discreta com função de
probabilidade fX e tomando valores em {x 1 , x 2 , ...};
− E (X) X xfX(x)dx ∫
+∞
−∞
≡ μ = , e E ( (X)) ( X) (x)fX(x)dx
∫
+∞
−∞
φ ≡μφ = φ , se X é (absolutamente) contínua
com função densidade de probabilidade fX.
Variância:
2 Var( X)≡ σX = (^) ∑ −μ i
X i
2 ( xi X)f (x) (( ))
2 = E X−μX , se X é discreta com função de probabilidade fX
e tomando valores em {x 1 , x 2 , ...};
2 Var( X)≡ σX (x )fX(x)dx
2 ∫ X
+∞
−∞
= − μ (( ))
2 = E X−μX , se X é (absolutamente) contínua com função
densidade de probabilidade fX.
[ ]
2 2 Var( X)=E(X )−E(X)
Desvio padrão: σX = Var(X)
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Se X tem distribuição de Bernoulli de parâmetro p :
−
0 caso contrário
p ( 1 p) se x 0 x 1 f (x)
x 1 x
X ,^ E(X) = p^ e^ Var(X) = p(1-p)
Se X tem distribuição de Binomial de parâmetros n e p :
−
0 caso contrário
p ( 1 p) se x 0 , 1 , 2 , x
n
f (x)
x n x
X
L
, E(X) = np e Var(X) = np(1-p)
Se X tem distribuição de Poisson de parâmetro μμμμ:
μ
=
− μ
0 caso contrário
se x 0 , 1 , 2 , x!
e
f (x)
x
X
L
, E(X) = μ e Var(X) = μ
ESTIMADORES
Média Amostral: (^) ∑
=
n
i 1
Xi n
X
Variância Amostral: (^ )^
= (^) ∑ ∑
= =
2
n
i 1
2 i
n
i 1
2 i
2 X nX n 1
X X
n 1
S
ANÁLISE DE VARIÂNCIA
k - nº de amostras; nj - nº de observações na amostra j; N = (^) ∑
=
k
j 1
n (^) j- nº total de observações
TABELA ANOVA
Fonte de
Variação
Soma de Quadrados Graus de
Liberdade
Variância (Soma Média de
Quadrados)
Razão F
Entre
grupos
SSA = (^) ∑ ( )
=
k
j 1
2 n (^) j xj x k- k 1
SS
S MS
A A
2 b −
E
A 2 p
2 b
MS
MS
S
S
F = =
Dentro dos
grupos SSE =^ ∑∑(^ ) = =
k
j 1
n
i 1
2 ij j
j
x x
N-k
N k
SS
S MS
E E
2 p −
Total
SST = (^) ∑∑( )
= =
k
j 1
n
i 1
2 ij
j
x x
N- 1
x (^) ∑∑ ∑
= = =
k
j 1
j j
k
j 1
n
i 1
ij nx N
x N
j
Testes de Comparação Múltipla
Teste HSD de Tuckey
A hipótese H 0 : μi =μj é rejeitada se
− ≥ −α +
i j
E i j T( 1 ) n
n
MS
x x S.
onde
ST ( 1 −α )
é tal que (^) P( W≤ ST( 1 − α)) (^) = 1 −α comW~ST(k,N-k)
Teste de Scheffé
A hipótese nula H 0 : μi =μj é rejeitada se
− ≥ α +
i j
i j (1-) E n
n
x x (k-1)F. MS
onde, F( 1 − α)é o quantil de probabilidade (1-α) da distribuição
k 1
FN k
− − , isto é,^ (^ ≤^ −α)^ = −α
− P F− F( 1 ) 1
k 1 Nk
Medidas de Associação
Coeficiente de Contingência de Pearson: n
C
2
2
χ +
χ = ; q
q 1 0 C
≤ ≤ onde q = min{r,s}
Coeficiente de Tshuprow:
n (^ r 1 )(s^1 )
T
2
χ
Coeficiente V de Cramer:
n( q 1 )
V
2
χ = onde q = min{r,s}
ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO
b [b b b ] (X X) X y
T T^1 T 0 1 k
− = L =
∑^ (^ )
=
n
i 1
2
SST yi y ∑( )
=
n
i 1
2
SSE yi yˆi ∑( )
=
n
i 1
2 SSR yˆi y SST
SSR
r
2
Testes sobre os coeficientes de regressão:
nk 1 ˆ SobH
0 i i t S
0 i
β
β − β
com S (^) ˆ S cii i
β
onde cii é o elemento diagonal da linha i +1 da matriz ( )
T 1 X X
− e n k 1
SSE
S
2
− −
Teste F:
2 S
SSRk
SSE(n k 1 )
SSRk F = − −
2
2
1 R
R
k
n k 1
×
k nk 1 SobH
F
0
Caso da Regressão Simples:
=
=
n
i 1
2 2 i
n
i 1
i i
1
x n x
xy nxy
b b 0 =y−b 1 x 2
n
i 1
2 i
2
n
i 1
1 i i
n
i 1
0 i 2
y n y
b y b yx ny
r
=
= =
2 2
n
i 1
2 i
n
i 1
2 i (^22) ˆ
n x n x
x
S S
0 −
=
= β 2
n
i 1
2 i
(^22) ˆ
x n x
S S
1 −
=
β
