funçao e reação na matematica, Exercícios de Matemática

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Matemática Aplicada

**- Relação

• Representações das Relações
• Tipos de Relações
• Função
• Tipos de Funções**

· Identificar e classificar uma relação de acordo com suas propriedades; · Identificar e classificar uma função de acordo com suas propriedades; · Diferenciar uma função de uma relação.

OBJETIVO DE APRENDIZADO

Relações e Funções

Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional, siga algumas recomendações básicas:

Assim:

Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e horário fixos como o seu “momento do estudo”.

Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.

No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.

Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.

Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte

Mantenha o foco!

Evite se distrair com

as redes sociais.

Mantenha o foco!

Evite se distrair com

as redes sociais.

Determine um

horário fixo

para estudar.

Aproveite as

indicações

de Material

Complementar.

Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma

Não se esqueça

de se alimentar

e se manter

hidratado.

Aproveite as

Conserve seu

material e local de

estudos sempre

organizados.

Procure manter

contato com seus

colegas e tutores

para trocar ideias!

Isso amplia a

aprendizagem.

Seja original!

Nunca plagie

trabalhos.

UNIDADE Relações e Funções

Introdução

Nesta Unidade, estudaremos os conceitos de relações e funções.

Atualmente, as redes sociais, principalmente com os programas na Internet , utilizam as relações entre as pessoas, que são estabelecidas pelos usos e contatos.

As relações que formam as redes sociais computadorizadas, como Facebook, Linkedln etc., são formadas por diversos conceitos matemáticos. Essas redes são estabelecidas a partir de relações captadas via uso da própria Internet e dadas pelos usuários e estão sendo cada vez mais utilizadas pelos meios de publicidade, com o foco não só em personalizar a navegação do usuário, mas, especialmente, em oferecer produtos que sejam mais adequados ao seu perfil, perfil esse mapeado a partir das navegações e relações do usuário.

Em qualquer área da Matemática, as relações e, principalmente, as funções desempenham papel muito importante. Intuitivamente, uma função é uma máquina que transforma um objeto de entrada num novo objeto de saída, sendo que a maneira como ocorre essa transformação é a sua finalidade, isto é, finalidade e função estão intimamente associadas.

As máquinas em geral desempenham uma ou um agrupamento de funções e podem ser abstratas ou materiais. Uma das primeiras máquinas materiais a executar funções matemáticas, de modo mecânico, foi a máquina inventada por Blaise Pascal, em 1644, quando ele tinha apenas 20 anos, para ajudar seu pai nos cálculos de sua loja.

A Figura 1 mostra a máquina chamada Pascalina.

Figura 1 – Pascalina Fonte: Wikimedia Commons

Blaise Pascal, além de físico e matemático, era também filósofo e trouxe grandes con-

tribuições para a Ciência. Para conhecer um pouco mais sobre sua via e obra, indicamos o

material disponível no link https://goo.gl/duLHn3.

Explor

UNIDADE Relações e Funções

Mas, antes de estudarmos as funções, veremos a definição de relações, que são ainda mais amplas que as funções. Veremos que toda função é feita a partir de uma relação, mas nem toda relação estabelece uma função.

Relação

Veremos que a relação se dá entre dois conjuntos e utilizaremos alguns exemplos numéricos para:

Dados dois conjuntos quaisquer A e B, uma relação de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B.

Exemplo 1 Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1 , 2}

Faremos uma relação de A para B de forma que cada elemento de A irá se relacionar com todos os elementos de B, formando todos os pares ordenados possíveis (a, b), ou seja: de A para B. Logo, o produto cartesiano será dado por: A X B = {(1,1) (1,2) (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

Verificamos a seguir, na Figura 4, a representação por diagramas da relação de A em B:

Figura 4 – Relação de A em B

Como o produto cartesiano não é comutativo, a ordem dos conjuntos é relevante. O primeiro conjunto indicado é o Conjunto de Partida, e o segundo é o Conjunto de Chegada.

Importante!

Note que, nesse caso, o primeiro elemento do par ordenado será sempre um elemento

de A, e o segundo um elemento de B, pois a relação vai de A para B.

Os conjuntos A e B podem ser, inclusive, iguais; não há impedimento para que dois

conjuntos iguais tenham uma relação.

Importante!

Representações das Relações

O Produto Cartesiano pode ser representado por diagramas e também no plano cartesiano. Vejamos o exemplo com o produto A x B = {(1,1) (1,2) (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}.

Na Figura 5, vemos, no primeiro diagrama, o conjunto A, que é chamado conjunto de partida. Note que cada um dos elementos de A possui uma flecha que o relaciona com elementos do conjunto B, representando, no segundo diagrama à esquerda, que é chamado conjunto de chegada.

A B

Figura 5 – Diagramas da Relação de A em B

A mesma relação A x B é agora representada no plano cartesiano, no qual o conjunto de partida é o eixo horizontal (eixo x – das abscissas) e o conjunto de chegada é representado pelo eixo vertical (eixo y – das ordenadas).

0

1

2

3

4

5

-1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

Figura 6 – Representação no Plano Cartesiano da Relação de A em B

Na representação A x B por gráfico, utilizamos o eixo das abscissas (eixo x) para representar os elementos do conjunto de partida e o eixo das ordenadas (eixo y) para representar os elementos do conjunto de chegada.

Tipos de Relações

Classificamos uma relação de acordo com as propriedades e para dizermos que uma relação é de certo tipo, é necessário que a propriedade esteja presente em todos os pares da relação.

Relação Refl exiva

Uma relação R em A é reflexiva se todos os elementos de A estão relacionados consigo mesmos.

Ou seja:

(∀ x ∈ A ) [( x , x ) ∈ R ].

Exemplo

Seja A = {10, 12, 14, 16, 18}

A Relação R 1 = {(10, 10), (10, 18), (12, 12), (12, 14), (14, 14), (14, 16), (16, 16), (16, 18), (18, 18)} é reflexiva pois cada um dos elementos de A se relacionou consigo mesmo. Notamos a existência dos pares reflexivos destacados em azul: R 1 = {(10, 10), (10, 18), (12, 12), (12, 14), (14, 14), (14, 16), (16, 16), (16, 18), (18, 18)}.

Relação Simétrica

Uma relação R em A é simétrica se cada elemento x de A que está relacionado com y também ocorre que y está relacionado com x.

Ou seja:

(∀ x , y ∈ A ) [( x , y ) ∈ R → ( y , x ) ∈ R ]

Exemplo

Seja A = {10, 12, 14, 16, 18}

A Relação R 2 A x A = {(10, 10), (10, 18), (12, 14), (14, 12), (14, 14), (14, 16), (16, 14), (16, 16), (16, 18), (18, 10), (18, 16), (18, 18)} é simétrica, pois cada um dos elementos de A que se relacionou com B teve também o mesmo elemento de B que se relacionou com A.

Citamos aqui a observação de A que se relacionou com B, pois na relação não temos a obrigatoriedade de todos os elementos se relacionarem, mas se um elemento de A se relacionou com B, então, o mesmo B deve se relacionar com A. Por exemplo: se temos o par (12, 14), então deveremos ter o par (14, 12).

UNIDADE Relações e Funções

A Relação R 2 A x A = {(10, 10), (10, 18), (12, 14), (14, 12), (14, 14), (14, 16), (16, 14), (16, 16), (16, 18), (18, 10), (18, 16), (18, 18)} é, portanto, simétrica.

Relação Transitiva

Uma relação R em A é transitiva se cada elemento x de A que está relacionado com y e y está relacionado com z; então, ocorre que x está relacionado com z.

(∀ x , y , z ∈ A ) [ ( x , y ) ∈ R  ( y , z ) ∈ R → ( x , z ) ∈ R ]

Exemplo

A relação x < y é transitiva, pois se x < y, então, pela definição de ser menor, existe um número k tal que x + k = y. Analogamente, se y < z, então, existe um número m tal que y + m = z.

Para verificar se x < z, basta tomar o número k + m e daí x + (k + m) = z.

Logo, x < z.

Exemplos Numéricos

5 < 6 pois 5 + 1 = 6 e 6 < 10 pois 6 + 4 = 10, como 5 + (1 + 4) = 10; então, 5 < 10.

Relação Antisimétrica

(∀ x , y ∈ A ) [( x , y ) ∈ R ^ ( y , x ) ∈ R → x = y ]

Alguns exemplos

Considere o conjunto A {1,2,3,4,5}

A relação R1 dada por x ≤ y na qual temos {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,3), (3,4), (3,5), (4,4), (4,5), (5,5)}

É reflexiva: pois todos os elementos de A se relacionam consigo mesmos;

Não é simétrica: vemos que em alguns pares, x se relaciona com y, mas y não se relaciona com x; como (1,2) já que não temos o par (2,1) na relação;

É transitiva: pois de 1 < 2 e 2 < 3, logo 1 < 3.

Novamente considerando o conjunto A {1, 2, 3, 4, 5}

A relação R2 dada por x = y, na qual temos {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)}

UNIDADE Relações e Funções

Domínio Contra-Domínio

Imagem

f

Figura 8 – Diagramas: domínio, contradomínio e imagem de uma função

O termo imagem é usado tanto para o valor da função y para um elemento em x, como para o conjunto de todas as imagens dos elementos de A.

Contradomínio é todo o conjunto B, mesmo que um ou outro elemento não se rela-

cione; já a imagem é um subconjunto do contradomínio formado pelos elementos

que são relacionados com os elementos do domínio.

Importante ressaltar, ainda, que todos os elementos do domínio precisam se relacionar com um único elemento do contradomínio. A seguir, alguns exemplos gráficos:

É função

Figura 9 – Exemplo de Função

Nesse exemplo, temos uma função, pois notamos que cada um dos elemen- tos do domínio, à esquerda, relaciona-se com um único elemento no contradomí- nio, à direita.

Não é função

Figura 10 – Exemplo de uma relação que não é função

Já nesse outro exemplo, não temos uma função, pois um dos elementos do domínio se relacionou com dois elemen- tos do contradomínio.

É função

Figura 11 – Exemplo de uma relação que não é função

Nesse diagrama, não temos uma fun- ção. Notamos que um dos elementos do domínio não se relaciona com o contrado- mínio. E para ser função, todo e qualquer elemento do domínio deve se relacionar com um elemento do contradomínio.

É função

Figura 12 – Exemplo de função

Temos um exemplo de função, pois cada um dos elementos do domínio se relacionou apenas com um elemento do contradomínio.

Veja que os elementos do contradomí- nio podem receber a relação de mais de um elemento.

Vimos exemplos de funções a partir das representações por diagramas e agora veremos outros exemplos por representações gráficas.

Assim como as relações, as funções podem ser representadas graficamente, em que temos no plano cartesiano os eixos das abscissas (x) e os eixos das or- denadas (y).

No eixo das abscissas, temos a representação do domínio, e no eixo das orde- nadas, a representação do contradomínio.

0 0

1

2

3

-1 1 2

É função

Figura 13 – Exemplo de função

No exemplo ao lado, temos uma fun- ção, sendo que, para qualquer que seja o elemento do domínio (x), temos um ele- mento no contradomínio (y); não temos nenhum “salto” ou interrupção no gráfico.

um único elemento em B (ainda que um mesmo elemento em B tenha sido imagem de mais de um elemento de A).

Exemplo 2

A → B {(a,0), (a,2), (b,4), (c,4), (d,2)}

Não é função. Embora os elementos de A tenham uma relação em B, ocorre que um elemento (a) se relacionou com mais de um elemento em B.

Exemplo 3

A → C {(a,1), (b,3), (c,5), (d,7)}

É função, pois são observadas as seguintes determinações: todo elemento de A possui uma relação em C e cada um desses elementos se relacionou apenas com um único elemento em C.

Exemplo 4

A → C {(a,1), (c,3), (d,7)}

Não é função, pois um dos elementos de A, o elemento b, não se relacionou com nenhum elemento do conjunto C e, para ser função, todos os elementos do domínio devem possuir uma imagem a partir da função.

Exemplo 5

A → C {(a,1), (b,1), (c,1), (d,1)}

É função, pois todos os elementos de A se relacionaram com um único elemento em C. Importante notar que não há impedimento de que a imagem seja única; é o que chamamos de função constante.

Outros exemplos

Dado o conjunto A {1,2,3,4} e o conjunto B {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, determine:

a) O conjunto imagem e os pares da função dada por:

f: A → B

x → y f(x)

f(x) = x + 2

Vemos que a função é dada pela regra que associa a cada elemento em A um único elemento em B e essa regra, nesse exemplo, é dada por f(x) = x +2.

Então, vamos aplicá-la a cada elemento de A.

UNIDADE Relações e Funções

Logo, temos: f(x) = x + Para x = 1 teremos: f(1) = 1 + 2 = 3 Para x = 2 teremos: f(2) = 2 + 2 = 4 Para x = 3 teremos: f(3) = 3 + 2 = 5 Para x = 4 teremos: f(4) = 4 + 2 + 6

Após aplicar a função para todos os elementos do domínio, vemos que cada um deles possui uma imagem (resultado da função) no contradomínio. O conjunto Imagem, ou seja Im(f) = {3,4,5,6} Como resultado da função, temos os seguintes pares ordenados: F = {(1,3), (2,4), (3,5), (4,6)} b) A partir dos mesmos conjuntos, determine o conjunto imagem e os pares ordenados a partir de f(x) = 2x Aplicando a função f(x) para todos os elementos do conjunto A {1,2,3,4}, teremos: f(1) = 2.1 = 2 f(2) = 2.2 = 4 f(3) = 2.3 = 6 f(4) = 2.4 = 8 A imagem da função Im(f) = {2,4,6,8}, que está contida no contradomínio. E os pares ordenados da função f = {(1,2) , (2,4), (3,6), (4,8)}

Igualdade entre Funções

Sejam duas funções f: A → B e g: A → B, então f será igual a g somente se para todo elemento do domínio A as imagens de cada termo, em B, forem iguais tanto pela função f como pela função g. Além disso, Domínio e Imagem devem ser iguais. Ou seja: (∀ x ∈ X) [ f(x) = g(x) ]

Exemplos numéricos Sejam A = {1,2,3} e B {a,b,c} temos as funções f e g: f = {(1,a), (2,b), (3,c)} g = {(2,b) , (1,a), (3,c)}

Vemos que f = g, vez que para um mesmo x, a f(x), a imagem de x é exatamente igual a g(x).