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Índice
- Introdução-------------------------------------------------------------------------------- Páginas
- Desenvolvimento-----------------------------------------------------------------------
- Função Inversa e Logarítmica-------------------------------------------------------
- Função Inversa------------------------------------------------------------------------- 02 e
- Obtendo a inversa de funções reais-----------------------------------------------
- Gráfico de funções inversas--------------------------------------------------------- 03 e
- Função Logarítmica-------------------------------------------------------------------
- Domínio da função logarítmica----------------------------------------------------
- Gráfico da função logarítmica------------------------------------------------------ 05 e
- Função crescente e decrescente------------------------------------------------- 06 à
- Função Exponencial---------------------------------------------------------------------
- Conclusão----------------------------------------------------------------------------------
- Referências--------------------------------------------------------------------------------
Introdução
Em matemática, a função inversa de uma função é, quando existe, a função tal que (id=função identidade). Ou seja, o que era domínio na função original (o conjunto X neste caso, ilustrado na figura abaixo) vira imagem na função inversa, e o que era imagem na função original Y, neste caso - ilustrado na figura abaixo) vira domínio. Também, dissemos assim que, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número. Por exemplo, o logaritmo de 1 000 na base 10 é 3 porque 10 elevado ao cubo é 1 000 (1 000 = 10 × 10 × 10 = 103). De maneira geral, para quaisquer dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1, O logaritmo da base 10 (b = 10) é chamado de logaritmo comum (ou decimal) e tem diversas aplicações na ciência e engenharia. O logaritmo natural (ou neperiano) tem a constante irracional e (≈ 2,718) como base e é utilizado na matemática pura, principalmente em cálculo diferencial. Ainda há o logaritmo binário, no qual se usa base 2 (b = 2), que é importante para a ciência da computação. O conceito de logaritmo foi introduzido por John Napier no ano de 1614, a fim de simplificar cálculos, daí a nomenclatura logaritmo neperiano. Ele foi rapidamente adotado por navegadores, cientistas, engenheiros e outros profissionais para facilitar seus cálculos, através do uso de réguas de cálculo e tabelas logarítmicas.
Vale lembrar que nem todas as funções admitem uma inversa, ou seja, nem todas as funções são invertíveis mesmo que o seu domínio seja um conjunto não vazio. Quando isto ocorre, dizemos que: f-1(x) = ∅ Obtendo a inversa de funções reais Se tratamos de uma função definida nos reais, tal que f:R→R é uma função bijetora onde y = f(x) , então para obtermos a sua inversa podemos reescrever a função da forma x = g(y) tal que x dependa de y. Com isso temos que esta nova função g(y) = f-. Gráfico de funções inversas O gráfico de uma função inversa f-1^ possui uma simetria em relação a função f. Vejamos abaixo um exemplo onde podemos notar que há uma simetria com a reta y=x entre uma função f e f-1^ e que os pontos correspondentes ao eixo de simetria y=x de ambas as funções são equidistantes: Exemplo 1) Sejam a função f:R→R com f(x) = 2x+1. Para obtermos a sua inversa devemos encontrar uma função que satisfaça a condição x=g(y). Algebricamente podemos trocar a variável x pela variável y na função original, da seguinte maneira: y = 2x+ x = 2y+ Agora, isolando y nesta nova expressão obteremos uma função x=g(y). Sendo assim: x = 2y+ 2y = 1-x y=1−x2=f−1(x)
Com isso temos a função inversa. Note agora a comparação dos gráficos de f e f-1. Percebemos que existe uma simetria entre as duas retas: Exemplo 2) Agora, seja a função f:R→R com f(x)=x+4−−−−√3. Vamos obter a sua inversa: y=x+4−−−−−√ y3=x+ x3=y+ y=x3−4=f−1(x) Esboçando o gráfico de ambas as funções, também percebemos uma simetria em relação à equação y=x :
Além disso, a curva da função logarítmica não toca o eixo y e corta o eixo x no ponto de abscissa igual a 1, pois y = loga1 = 0, para qualquer valor de a. Abaixo, apresentamos o esboço do gráfico da função logarítmica. Função crescente e decrescente Uma função logarítmica será crescente quando a base a for maior que 1, ou seja, x 1 2 ⇔ loga x 1 a x 2. Por exemplo, a função f (x) = log 2 x é uma função crescente, pois a base é igual a 2. Para verificar que essa função é crescente, atribuímos valores para x na função e calculamos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo. Observando a tabela, notamos que quando o valor de x aumenta, a sua imagem também aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta função.
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1 são decrescentes, ou seja, x 1 2 ⇔ loga x 1 > loga x 2. Por exemplo, é uma função decrescente, pois a base é igual a. Calculamos a imagem de alguns valores de x desta função e o resultado encontra-se na tabela abaixo: Notamos que, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função é uma função decrescente. Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto menor o valor de x, mais perto do zero a curva logarítmica fica, sem contudo, cortar o eixo y.
Conclusão
Para encontrar a lei de formação da função inversa, precisamos inverter as incógnitas, ou seja, trocar x por y e y por x, e posteriormente isolar a incógnita y. Para isso, é importante que a função seja inversível, ou seja, bijetora. Encontre a lei de formação da função inversa de f(x) = x + 5. Ressalta-se ainda que, uma função só admite inversa à esquerda, se, e somente se, a função for Injetora, e à direita se a função for Sobrejetora. Em outras palavras, quando uma função admite uma inversa, o domínio da função f será o contradomínio da função f-1. Chamamos de função logarítmica a função que possui domínio nos números reais positivos e contradomínio nos números reais, e, além disso, sua lei de formação é f(x) = logax. Existe uma restrição para a base em que “a” do logaritmo precisa ser um número positivo diferente de 1.
Referências
https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/ https://www.infoescola.com/matematica/funcao-inversa/ https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_inversa https://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
