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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função f:IR+ F 0E 0 IR definida por f(x)=loga x, com a F 0B 9 1 e a>0, é
chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+^ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais).
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Temos 2 casos a considerar: F 0 E 8 quando a>1; F 0 E 8 quando 0<a<1.
Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso:
1) y=log 2 x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
x 1/4 1/2 1 2 4 y -2 -1 0 1 2
2) y=log(1/2) x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
x 1/4 1/2 1 2 4 y 2 1 0 -1 -
Nos dois exemplos, podemos observar que a) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;
b) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1; c) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
a>1 0<a<
f(x) é crescente e Im=IR Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x2 >x 1 F 0D E y 2 >y 1 (as desigualdades têm mesmo sentido)
f(x) é decrescente e Im=IR Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x2>x 1 F 0D E y 2 <y 1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.
Exemplos de inequações logarítmicas:
- log 2 x > 0 (a solução é x>1)
- log 4 (x+3) F 0A 3 1 (a solução é –3<x F 0A 3 1)
Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base; 2º) aplicação da propriedade:
a>1 0<a<
log am > logan F 0D E m>n>
(as desigualdades têm mesmo sentido)
log am > logan F 0D E 0<m<n
(as desigualdades têm sentidos diferentes)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
log 2 (x+2) > log 2 8 Resolução: Condições de existência: x+2>0, ou seja, x>-2 (S 1 ) Como a base (2) é maior que 1, temos: x+2>8 e, daí, x>6 (S 2 ) O conjunto solução é S= S 1 F 0C 7 S 2 = {x F 0C E IR| x>6}. Portanto a solução final é a intersecção de S 1 e S 2 , como está representado logo abaixo no desenho:
log 2 (log 3 x) F 0B 3 0 Resolução: Condições de existência: x>0 e log 3 x> Como log 2 1=0, a inequação pode ser escrita assim: log 2 (log 3 x) F 0B 3 log 2 1 Sendo a base (2) maior que 1, temos: log 3 x F 0B 3 1.
Como log 3 3 = 1, então, log 3 x F 0B 3 log 3 3 e, daí, x F 0B 3 3, porque a base (3) é maior que 1. As condições de existência estão satisfeitas, portanto S={x F 0C E IR| x F 0B 3 3}.
