Baixe Função modular e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
FUNÇÃO MODULAR
Módulo (ou valor absoluto) de um número
O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:
Então: à se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15
à se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20
O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:
Se | x | < a (com a >0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a , isto é, x deve estar entre –a e a , ou seja, | x | < a ⇔ -a < x < a****.
- Se | x | > a (com a >0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a , isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a ⇔ x > a ou x < -a****.
EXER
CÍCIO
S
1. De acordo com a definição, calcule:
a) | -8 |+| 3-1|
b) 12+| -8|-| -1-3|
c) | -|-5 || + | | -2|-| -10| |
2. Aplicando a definição , determine o valor numérico de:
a) , quando x=-
b) , quando x=-
c) ,quando x=-
3. Determine, em cada caso , os possíveis valores de x:
a)
b)
c)
d)
e)
• FUNÇÃO MODULAR
Denomina-se função modular à função definida por: Para todo x real. Pela própria definição de módulo, percebemos que a imagem da função modular é o conjunto dos números reais não-negativos (R+).Geometricamente , isso significa que os pontos do gráfico de no plano cartesiano estão na origem O ou acima do eixo X. à Gráfico
Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|:
x y=f(x) 1 1 -2 2 0 0 1 1 2 2
Gráfico da função f(x)=|x|:
EXERCÍCIOS
4. Construa o gráfico das funções ,determinando o domínio
e o conjunto imagem:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Equações modulares Lembremos da propriedade do módulo dos números reais , para K>0: ou EXERCÍCIOS
5. Resolva as seguintes equações modulares: a) b) c) d) e) f)
06.Resolva as equações:
a) b) c)
**07. Resolva a equação
- Resolva as equações modulares:** a) **b)
- Ache o conjunto verdade das equações:**
a)
b) c) 10.Dadas as equações , ache o conjunto verdade.
a) b) c)
- INEQUAÇÕES MODULARES
(I-CASO) Se | x | < a (com a >0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a , isto é, x deve estar entre –a e a , ou seja, | x | < a ⇔ -a < x < a****.
Se | x | ≤ a (com a ≤0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a , isto é, x deve estar entre –a e a , ou seja, | x | a ⇔ -a ≤ x ≤ a****.
(II-CASO)
- Se | x | > a (com a >0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a , isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a ⇔ x > a ou x < **-a****.
- Se | x | ≥** a (com a ≥ 0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a , isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | ≥ a ⇔ x ≥ a ou x ≤ -a****.
EXERCÍCIOS
11.Resolva as inequações modulares: a) b) c)
3 3 Se , então 4 4 Se , então ou
Os itens seguintes foram retirados de questões da UFS de todos os anos e afirmam acerca de Função Modular. Julgue-os em verdadeiros ou falsos: 0 0 Dados e , com , é verdade que é um intervalo de amplitude 3k 1 1 Se x e y são números reais quaisquer, então é correto afirmar: “se , então ” 2 2 O gráfico da função f, de R* em R, dada por , é uma reta 3 3 A função f, de R em R, definida por admite duas raízes reais: x = 3 e x = – 3. 4 4 O gráfico da relação é um quadrado cujos lados são paralelos aos eixos coordenados 5 5 Sejam as funções reais dadas por e. O triângulo cujos vértices são os pontos de intersecção dos gráficos de f e g é retângulo 6 6 Existem somente 5 números inteiros que satisfazem a sentença (UFPE – 2005) Sejam e números reais tais que e. Analise a veracidade das afirmações abaixo. 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 (Ufal – 2004) Tendo por base a função , de em , dada por , analise as afirmativas seguintes. 0 0 Uma outra forma de expressar a lei que define é 1 1 O conjunto imagem de é o intervalo 2 2 é crescente no intervalo 3 3 Se , então 4 4 O gráfico de intercepta o eixo das abscissas no ponto
EXERCÍCIOS MÚLTIPLA ESCOLHA (UFGO) Os zeros da função são:
a) –7 e – b) 7 e – c) 7 e 8 d) –7 e 8 e) n.d.a.
(FGV) Relativamente à função , dada por , é correto afirmar que: a) o gráfico de é a reunião de duas semi-retas b) o conjunto imagem de é o intervalo c) é crescente para todo d) é decrescente para todo e e) o valor mínimo de é zero (UFCE) O valor mínimo da função é:
a) b) c) d) e)
(UFS) O maior valor real de x que satisfaz à equação é:
a) b) c) d) e)
(PUC-RJ) O número de soluções da equação , no universo R, é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
(CESGRANRIO) O número de raízes reais da equação é:
a) 0 b) 2 c) 3 d) 4
e) 6
(CESGRANRIO) A soma das soluções reais de é: a) b) c) d) e) (ITA-SP) Sabendo que as soluções da equação são raízes da equação , podemos afirmar que: a) e b) e c) e d) e e) não existem e reais tais que contenha todas as raízes da equação dada
(FATEC-SP) O conjunto solução da equação , em R, é:
a) b) c) d) R e) ∅ (FEI - SP) Se , então:
a) b) ou c) ou d) e) Não existe x em R que satisfaça a desigualdade
(FEI-SP) Os valores reais de x, que satisfazem a inequação , são tais que:
a) b) c) d)
e)
(UEBA) A desigualdade se verifica para todos os números reais x tais que:
a) b) ou c) d) ou e) ou 24. Se x é uma solução de |2x - 1| < 5 - x, então: a) 5 < x < 7. b) 2 < x < 7. c) - 5 < x < 7. d) - 4 < x < 7. e) - 4 < x < 2.
25. Na figura a seguir temos o gráfico de uma função f(x) definida no intervalo fechado [-4, 4]. Com respeito à função g(x) = f(| x |) é incorreto afirmar:
a) O ponto (-4, -2) pertence ao gráfico de g. b) O gráfico de g é simétrico com relação ao eixo 0y das ordenadas. c) g(x) se anula para x igual a -3, -1, 1 e 3. d) g(-x) = g(x) para todo x no intervalo [-4, 4]. e) g(x) ≥ 0 para todo x no intervalo [-4, 4].
26. Considere a função f : IR ë IR dada por f(x) = |2x + 5|. 01. f é injetora. 02. O valor mínimo assumido por f é zero. 04. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 5). 08. O gráfico de f é uma reta. 16. f é uma função par. soma ( )
