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COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS HUMAITÁ II
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - 2020
Coordenador Pedagógico: Profa Rachel Bergman Fonte
2ª série do Ensino Médio
Profas. Christine, Nathalia, Priscila Belota, Priscilla Guez, Rachel.
Aluno(a): __________________________________ nº: _____ Turma: _______
ESTUDO DIRIGIDO - FUNÇÃO QUADRÁTICA
OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2 O. GRAU
- Quero marcar uma região retangular usando 100 metros de corda. Escreva
uma expressão da área S dessa região em função
do lado x.
2x + 2y = 100 2(x + y) = 100
x + y = 50 y = 50 - x
S = x.y S(x) = x (50-x) S(x) = 50x - x^2
Escreva uma expressão para o produto de dois números cuja soma deles é
x + y = 180 y = 180 - x
P = x.y
P(x) = x. ( 180 - x) = 180.x - x^2
3 - O lucro L obtido por uma companhia de viagens em certa excursão é função do
preço x cobrado. Se x for um número muito pequeno, o lucro é negativo, ou
seja, prejuízo. Se x for um número muito grande, o lucro também será negativo porque poucas pessoas farão a excursão. Um economista, estudando a
situação deduziu a fórmula para L em função de x como sendo L(x) = −x^2 + 90x
- (L e x em unidades monetárias convenientes.)
Diz-se que a função que tem Dom = IR econtra–domínio=IR
f: IR → IR definida por f(x) = a x^2 + b x + c com a IR*, b IR , c IR.
é o modelo matemático para as três situações reais apresentadas e denomina-
se Função Quadrática ou Função Polinomial do 2o. Grau.
y
x
Se f: IR → IR é definida por f(x) = ax^2 + bx + c, a ≠ 0 , é possível:
1 o.) dado x 0 IR, calcular f ( x 0 ).
2 o..) dada f ( x 0 ), calcular x 0.
Zeros da função quadrática
Encontrar o(s) zero(s) da função quadrática é resolver a seguinte equação do 2o.
grau: f(x) = 0 ax^2 + bx + c = 0
Dependendo do sinal de = b^2 − 4ac temos o seguinte:
0 → 2 raízes reais e diferentes
= 0 → 2 raízes reais e iguais (normalmente dizemos 1 raiz)
0 → não possui raízes reais
Exemplo 1 :
Seja ( ) 5 6
2 f x = x − x +.
a) Calcule f ( ) 1.
2 f = − + = − + =
b) Calcule x tal que f ( ) x = 12
A solução se resume em resolver a seguinte equação do 2o. grau:
12 5 6 12 0 2 x − x + − = 5 6 0 2 x − x − = Você pode usar a fórmula de Bháskara ou usar outra forma de resolução. Resolvendo por fatoração:
ou Portanto para x = 6 ou x = - 1 teremos imagem f(x) = y =12.
c) Calcule o(s) zero(s) da função.
Agora vamos resolver a equação: 5 6 0 2 x − x + = Mais uma vez, por fatoração:
ou
Portanto os zeros da função ( ) 5 6
2 f x = x − x + são x = 3 ou x = 2.
Valor inicial da função quadrática
Observe que f ( ) 0 =a.0^2 + b.0 + c = 0 + 0 + c = c. Então sempre teremos f ( ) 0 =c
e f ( ) 0 é chamado de valor inicial da função quadrática.
- Na parábola sempre existe um ponto de máximo ou mínimo. Esse ponto é
chamado vértice da parábola ( V ) e suas coordenadas são “x do vértice” (xv)
e “y do vértice” (yv). O vértice da parábola é importante pois são suas
coordenadas que determinam a imagem e os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Máximo ou
mínimo?
Imagem
Intervalo de
crescimento
Intervalo de
decrescimento
a (^0) Mínimo [y v, +[^ [xv,^ [^ ]-^ , xv]
a 0 Máximo ] - , yv] ]- , xv] [xv, [
É possível encontrar o vértice da parábola sem esboçar o gráfico:
A parábola é uma figura simétrica, e seu eixo de simetria é uma reta vertical que
contém o ponto V = (xv; yv). Isto significa que quaisquer dois pontos da parábola
que tenham a mesma ordenada (valor de y), eqüidistam do eixo de simetria. Em
particular, para os pontos (x’, 0) e (x”, 0), onde x’ e x’’ são os zeros da função, isto
também é verdade. Podemos concluir então que xv é a média aritmética dos
zeros, ou seja, xv = 2
x' +x" .
Usando a Fórmula de Bháskara, temos:
2 a
b 2
2 a
2 b
2
2 a
b 2 a
b
xv =−
−
− −
− +
=
Substituindo 2 a
b x =− na função f(x) = ax^2 + bx + c, obtemos a ordenada yv do
vértice.
c 2 a
b b 2 a
b a 2 a
b y f
2 v +
+ −
= −
= − c 2 a
b
4 a
b c 2 a
b
4 a
b y a
2 2 2
2
2 v = − + = − +
4 a
(b 4 ac)
4 a
b 4 ac
4 a
b 2 b 4 ac c 2 a
b
4 a
b y
2 2 2 2 2 2 v
− −
− +
− + = − + =
4 a
yv
=−
Exemplo 2 :
Seja f(x) = x^2 − 6x + 8.
a) Determine os pontos de interseção com o eixo x.
Os pontos de interseção com o eixo x, serão pontos com ordenada y = 0. Portanto devemos encontrar os zeros da função:
Fazendo y = 0 e resolvendo a equação do 2 o^ grau x^2 - 6.x +8 = 0, temos x = 2 e
x = 4 como raízes. Então, a parábola intersecta o eixo x nos pontos
(x, y) = ( 2 , 0) e ( 4 , 0).
b) Determine o ponto de interseção com o eixo y:
Fazendo x = 0, temos y = 02 − 6.0 + 8 = 0 - 0 + 8 = 8 , logo a parábola intersecta
o eixo y no ponto (x, y) = ( 0 , 8 ).
c) Determine as coordenadas do vértice:
Para calcular xv basta calcular a média aritmética entre 2 e 4 , ou seja:
xv = 2
2 + 4 = 3. Se quiséssemos usar a fórmula, teríamos:
xv =
Para calcular yv também temos 2 maneiras: ou usamos a fórmula
yv = , ou substituímos o
valor de xv na expressão algébrica da função e obtemos:
f ( 3 ) = 32 – 6.3 + 8 = 9 − 18 + 8 = - 1
Assim, encontramos as coordenadas do vértice V = ( 3 , - 1 ).
d) Esboço do gráfico:
Com esses pontos podemos esboçar o gráfico dessa função. Observe que as
coordenadas do ponto P podem ser facilmente obtidas lembrando que ele é
simétrico ao ponto (0, 8) em relação ao eixo da parábola.
pontos
interseção com o
eixo x
( 2 , 0 ) e ( 4 , 0 )
interseção com o
eixo y
vértice ( 3 , - 1 )
P (6, 8)
Exemplos:
a) Determine a expressão algébrica da função quadrática tal que em x =− 2 a
função atinge seu valor mínimo de y min =− 16 e f ( ) 3 = 9. (Sugestão: use a
forma canônica)
f ( ) x = a ( x − xv ) + yv
2 = a.(x - (-2))^2 + (- 16 ) = a.(x+ 2 )^2 – 16
f ( ) 3 = 9 f (3) = a.( 3 + 2 )^2 – 16 = 9
a. 52 - 16 = 9 25 .a - 16 = 9 25 .a = 16 + 9
25.a = 25 a = 25/25 = 1
Assim
f(x) = (x + 2)^2 - 16
ou se preferir na forma f(x) = a.x^2 + b.x + c, teremos:
f(x) = x^2 + 4x + 4 – 16 f(x) = x^2 + 4x - 12
b) Os zeros de uma função quadrática são 3
x = e x =− 1. Além disso, f ( ) 1 = 2.
Determine a expressão algébrica de f. (Sugestão: use a forma fatorada)
f(x) = a. ). (x – (- 1) = a.(x - ).(x + 1)
f(x) = a.(x - ).(x + 1)
f (1) = 2 f(1) = a.( 1 - ).( 1 + 1) = 2
a. ( 1 / 3 ) .2 = 2
a.( 2 /3) = 2 2 .a/3 = 2
a = 3
Assim, f(x) = 3. (x - ).(x + 1)
ou se preferir na forma f(x) = a.x^2 + b.x + c, teremos:
f(x) = 3. (x - ).(x + 1) = 3.(x^2 + x - .x - ) = 3x^2 + 3x – 2x – 2
f(x) = 3 x^2 + x - 2
