Baixe Função Quadrática e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Produção, somente na Docsity!
Função Quadrática
Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax^2 + bx + c , onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
1. f(x) = 3x^2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x 2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -
3. f(x) = 2x^2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x^2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x^2 , onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax 2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x^2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax 2 + bx + c, notaremos sempre que:
• se a > 0 , a parábola tem a concavidade voltada para cima ;
• se a < 0 , a parábola tem a concavidade voltada para baixo ;
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax^2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax^2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:
• quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando é zero, há só uma raiz real;
• quando é negativo, não há raiz real.
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V ; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são. Veja os gráficos:
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax 2 + bx + c , a 0, é o conjunto dos valores que y
pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
a > 0
2ª quando a < 0,
a < 0
Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
