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CENTRO EDUCACIONAL GIRASSOL
TD de Matemática
Prof.: Tiago Rodrigues – [email protected]
FUNÇÃO QUADRÁTICA
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Definição:
Uma função quadrática é uma função definida por
são números reais.
- O domínio de uma função quadrática é o conjunto dos números reais.
- O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
1. ESTUDO DA FUNÇÃO
Construa-se o gráfico da função
x -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9
Nota: Esta função deverá ser visualizada na máquina de calcular.
Vamos fazer agora o estudo da função, tendo em conta a sua representação geométrica.
- Domínio: (como aliás já tinha sido dito na definição);
- Contradomínio: ;
- Zeros: 0;
- (^) Sinal da função: f é não negativa em todo o seu domínio, ou seja, em ;
- Monotonia: f é decrescente no intervalo
f é crescente no intervalo ;
- Extremos: A função tem um mínimo em 0;
- Injectividade: A função é não injectiva, pois existem objectos diferentes que têm a mesma imagem, Por exemplo: f(1)=1 e f(-1)=1 ;
- Paridade: A função é par, pois,
- Eixo de simetria: O eixo de simetria é (uma vez que é par);
- (^) Vértice da parábola: (0,0);
- Concavidade: Voltada para cima.
Vamos agora fazer o estudo dos vários casos de funções quadráticas.
À medida que a diminui, a abertura também diminui
À medida que a aumenta, a abertura diminui
Concavidade voltada para baixo voltada para cima Domínio Contradomínio =
Monotonia
crescente decrescente
crescente decrescente Zeros 0 0 Extremos máximo absoluto: 0 maximizante: 0
mínimo absoluto: 0 minimizante: 0 Vértice (0,0) (0,0) Eixo de simetria eixo de equação eixo de equação Sinal não positiva em não negativa em
2º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO
Consideremos as funções:
Geometricamente temos:
Conclusões:
- A abertura das parábolas é a mesma, assim como a concavidade ( a é o mesmo);
- Houve uma translação vertical nas funções h e g em relação a f;
- A função g sofreu uma translação associada ao vector (0,-2);
- A função h sofreu uma translação associada ao vector (0,2);
- Os vértices vão passar a ser: - em h(0,2)
- Os eixos de simetria são os mesmos, ou seja, a recta ;
- Os extremos vão mudar: - em g temos um mínimo -
O contradomínio também vai sofrer alterações: -
- Zeros: Neste caso poderemos ter 0, 1 ou 2 zeros:
Sintetizando:
i- voltada para cima voltada para cima voltada para baixo voltada para baixo
io
o onia decrescente: crescente: decrescente: crescente: decrescente: crescente: decrescente: crescente: não tem e e não tem os mínimo absoluto: k minimiza nte: 0 mínimo absoluto: k minimizante: 0 máximo absoluto: k maximizante: 0 máximo absoluto: k maximizante: 0 (0,k) (0,k) (0,k) (0,k) e a eixo de equação eixo de equação eixo de equação eixo de equação positiva em positiva: negativa: positiva: negativa: negativa em Exercício 1: Determina os zeros, analiticamente, das funções f, g e h anteriormente definidas: Resolução: f(x) (1 zero) (2 zeros) Equação impossível (nenhum zero) Exercício 2: Escreve na forma as funções que têm a seguinte representação gráfica: (a) (b) Resolução: (a) Temos que , logo vem Resta determinar a. Como o ponto (2,4) pertence à parábola, ele verifica a equação: Então a equação da função é dada por. (b) Temos que , logo vem Resta determinar a. Como o ponto (2,0) pertence à parábola, ele verifica a equação:
(d) v = (3,0)
4º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO
Consideremos a função. Que transformações devem ser feitas ao gráfico da função para obter o gráfico da função f?
1º) Passar de para :
2º) Passar de para :
Vamos deslocar o gráfico segundo uma translação associada ao vector (-1,0).
3º) Passar de para :
Vamos deslocar o gráfico segundo uma translação associada ao vector (0,-3).
Conclusões: Obtemos o gráfico de f através de uma translação do gráfico da função , associada ao vector (-1,3).
Sintetizando:
a>0 a< Concavidade voltada para cima voltada para baixo Domínio Contradomínio Monotonia crescente em decrescente em
crescente em decrescente em Extremos mínimo absoluto: k minimizante: h
máximo absoluto: k maximizante: h Vértice Eixo de simetria recta de equação recta de equação
Exercício: Sem efectuar cálculos faz um possível esboço do gráfico da seguinte função:
2
x a 5 (x+ 3 )
Resolução: v = (-3,0)
COMO PASSAR DE PARA?
Consideremos a seguinte função:
Teremos que construir um caso notável:
A função f representa uma parábola com a concavidade voltada para cima , vértice no ponto (2,-4) e eixo de simetria.
Exercício: Dadas as funções g e h, passa à forma , indicando o vértice de cada uma delas: (a) (b)
Resolução:
(a)
O vértice tem coordenadas.
(b)
O vértice tem coordenadas.
Exercícios :
1) Para cada par de funções, descreve como podes obter o gráfico da segunda partindo do gráfico da primeira:
1.1) ;
1.2) ;
Resolução:
1.1) O gráfico da função terá que sofrer uma translação segundo o vector (-5,0).
1.2) Primeiro, o gráfico da função terá que ser invertido em relação ao eixo , depois terá que sofrer uma
translação associada ao vector (-2,3).
2) Escreve a expressão que define a função quadrática tal que:
(a) o vértice da parábola é (-1,4) e ;
(c) o vértice da parábola é (-3,1) e um dos zeros é
Resolução:
(a) A expressão será do tipo .Temos que e logo virá
(c) y^ a(x h) k
2
= - + , e
Logo temos
Como um dos seus zeros é 3 então o ponto (3,0) pertence à parábola, substituindo vem
Temos então
(x 3 ) 1
y =- +^2 +
3) Considera a família de funções.
3.1) Sabendo que , o que podes dizer acerca dos intervalos de monotonia da função?
3.2) Considerando e determina o contradomínio da função.
3.3) Indica um intervalo onde a função seja injectiva.
Resolução:
3.1) Como , a função é do tipo. Logo o que irá fazer variar a função é o valor de a.
Então:
3.3) Por exemplo o intervalo
4) Escreve uma expressão analítica para as funções quadráticas representadas graficamente:
a>
Função positiva
Função negativa
Função positiva Função sempre positiva
a<
Função positiva
Função negativa
Função negativa Função sempre negativa
Exemplos:
(a) Consideremos a função definida por. A função representa uma parábola de concavidade voltada para cima.
Logo a função tem dois zeros.
Determinemo-los:
Para fazermos um esboço da parábola um pouco mais rigoroso, é necessário determinar as coordenadas do vértice. Como a parábola é simétrica relativamente ao seu eixo de simetria (que é a recta vertical que passa pelo vértice), o eixo fica equidistante das suas raízes. Logo a abcissa do vértice é dado por:
Como o vértice é um ponto da parábola, para determinarmos a sua ordenada, basta substituirmos na equação por 1,
Temos então que o vértice tem coordenadas (1,-1). O eixo de simetria é a recta de equação. Já estamos então em condições de traçar um esboço do gráfico:
- Domínio;
- Contradomínio: ;
- Monotonia: crescente em ; decrescente em ;
- Sinal: positiva em e ; negativa em
(b) E se considerarmos a função definida por?
- A concavidade é voltada para cima.
- Zeros: Será que existem?
Logo não existem zeros.
Como determinar o vértice e o eixo de simetria? A maneira mais simples será construir um caso notável e escrever a equação na forma.
Logo o vértice tem coordenadas (-2,1) e o eixo de simetria é a recta de equação.
Exercício: Considere as funções quadráticas definidas como se segue:
1) Determine os zeros e estude o sinal da função f; 2) Represente graficamente a função f. Indique as coordenadas do vértice da parábola, o contradomínio e intervalos de monotonia da função; 3) Repita as alíneas anteriores para a função h.
Contradomínio: ; Monotonia: crescente em ; decrescente em
APLICAÇÕES DO ESTUDO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
O estudo que foi feito até aqui da função quadrática irá ser usado agora na resolução de inequações do 2º grau.
Problema: Para iluminar uma operação de salvamento lança-se um “very light” cuja altura h em relação ao nível do mar é dada aproximadamente pela lei
(h em metros, t em segundos)
A luz só é útil desde que o “very light” esteja a 4m ou mais acima do mar. Quanto tempo dura a luz útil de cada foguete?
Resolução: Queremos os valores de t para os quais , ou seja,
Queremos saber para que valores de , a função é positiva ou nula (não negativa), logo teremos que estudar o sinal da função.
- (tem concavidade voltada para baixo);
logo a função tem dois zeros.
A função é positiva no intervalo das raízes, ou seja, de -1 a 6. No entanto, neste problema só interessa quando t>0, pelo que a luz é útil do instante 0 a 6, ou seja durante 6 segundos.
Exercícios: Resolva, em , as inequações:
1) 2)
Resolução:
1)
c.s.:
logo tem 2 zeros.
Determinemos os zeros:
c.s.:
logo não tem zeros.
c.s.:
Como a<0 temos que
c.s.:
Resolução:
1) e além disso. Logo
2) , como , vem
3) Queremos determinar o máximo da função
Como a, a<0, a concavidade será voltada para baixo, logo o máximo corresponde à abcissa do vértice da parábola.
Determinemos os zeros:
Então
A área é máxima quando m. Determinemos o valor e l correspondente:
EXERCÍCIO 1:
Uma bola é lançada verticalmente ao ar, com uma velocidade inicial de 20m/s. A altura da bola, em metros, no tempo t, é dada aproximadamente pela fórmula
1) Quanto tempo a bola se manteve no ar?
2) Qual é a atura máxima atingida pela bola?
3) Determina o intervalo de tempo em que a altura era superior a 0,5m.
4) A que altura foi lançada a bola?
RESOLUÇÃO:
1) Façamos um breve estudo da função para esboçar o gráfico:
, a<0, logo a concavidade é voltada para baixo.
Zeros:
, 2 zeros
Determinemo-los:
A bola mantém-se no ar aproximadamente 4,02 segundos.
2) Determinar a altura máxima é determinar :
Logo
A altura máxima é de 20,5m.
3) Queremos determinar t, tal que
C.A.
A altura é superior a 0,5m no intervalo.
4) A bola foi lançada no instante , logo
A bola foi lançada a uma altura de 0,5m. EXERCÍCIO 2:
Uma bola atirada de baixo para cima, na vertical, atinge a altura h, em metros, dada por
ao fim de t segundos.
1) Qual é a altura máxima atingida pela bola e o tempo gasto nesse percurso?
2) Qual é a altura da bola ao fim de 2 segundos?
