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Apostila Teórica de Funções
- 1 Introdução Sumário
- 2 Conceito de Função
- 3 Domínio, Contradomínio e Imagem
- 4 Crescimento de uma Função
- 4.1 Função Crescente
- 4.2 Função Decrescente
- 4.3 Função Constante
- 5 Paridade de uma Função
- 5.1 Função Par
- 5.2 Função Ímpar
- 5.3 Função Nem Par Nem Ímpar
- 6 Classificação das Funções
- 6.1 Função Injetora
- 6.2 Função Sobrejetora
- 6.3 Função Bijetora
- 7 Função Afim
- 8 Função Quadrática
- 9 Função Exponencial
- 10 Função Logarítmica
- 11 Função Modular
- 12 Função Composta
- 13 Função Inversa
- 14 Conclusão
4.3 Função Constante
f (x 1 ) = f (x 2 ), ∀x 1 , x 2
5 Paridade de uma Função
A paridade de uma função está relacionada à simetria de seu gráfico e ao comportamento algébrico da função quando substituímos x por −x.
5.1 Função Par
Uma função f é chamada de par quando:
f (−x) = f (x), ∀x ∈ D
Nesse caso, o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
Exemplos de Funções Pares
Exemplo 1: f (x) = x^2 Verificação: f (−x) = (−x)^2 = x^2 = f (x) Exemplo 2: f (x) = |x| Verificação: f (−x) = | − x| = |x| = f (x) Exemplo 3: f (x) = x^4 − 3 x^2 Verificação: f (−x) = (−x)^4 − 3(−x)^2 = x^4 − 3 x^2 = f (x)
Exemplo Gráfico de Função Par
x
y
5.2 Função Ímpar
Uma função f é chamada de ímpar quando:
f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D
Nesse caso, o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Exemplos de Funções Ímpares
Exemplo 1: f (x) = x^3 Verificação: f (−x) = (−x)^3 = −x^3 = −f (x) Exemplo 2: f (x) = x Verificação: f (−x) = −x = −f (x) Exemplo 3: f (x) = x^5 − 2 x^3 Verificação: f (−x) = (−x)^5 − 2(−x)^3 = −x^5 + 2x^3 = −f (x)
Interpretação gráfica: Toda reta horizontal corta o gráfico da função no máximo uma vez. Exemplo: f (x) = 2x + 1
6.2 Função Sobrejetora
Uma função f : A → B é sobrejetora quando todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio. Formalmente: ∀y ∈ B, ∃x ∈ A tal que f (x) = y Ou seja: Imagem = Contradomínio Exemplo: Se o contradomínio for bem escolhido, a função
f (x) = x^3
é sobrejetora.
6.3 Função Bijetora
Uma função é bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Consequências importantes:
- Cada elemento do contradomínio possui uma única origem
- A função admite função inversa
f bijetora ⇐⇒ f inversível Exemplo: f (x) = x + 3
Resumo Visual
- Injetora: não repete valores de imagem
- Sobrejetora: atinge todo o contradomínio
- Bijetora: injetora + sobrejetora
7 Função Afim
f (x) = ax + b
Gráfico
8 Função Quadrática
f (x) = ax^2 + bx + c
Gráfico
9 Função Exponencial
f (x) = ax
Gráfico
12 Função Composta
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
13 Função Inversa
Uma função admite inversa se for bijetora. O gráfico da inversa é simétrico em relação à reta y = x.
14 Conclusão
O estudo das funções é fundamental para a Matemática e suas aplicações, servindo como base para conteúdos mais avançados.
