Fun¸c˜oes de Vari´avel Complexa
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Miguel Moreira
Sec¸c˜ao Aut´onoma de Matem´atica
da Escola Superior de Tecnologia
do Instituto Polit´ecnico de Set´ubal
Ano lectivo de 1997/98
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Tipologia: Notas de estudo
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Fun¸c˜oes de Vari´avel Complexa
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Miguel Moreira
Sec¸c˜ao Aut´onoma de Matem´atica
da Escola Superior de Tecnologia
do Instituto Polit´ecnico de Set´ubal
Ano lectivo de 1997/
Resumo
O estudo de fun¸c˜oes de vari´avel complexa conduziu ao aparecimento de re- sultados e ferramentas com importantes aplica¸c˜oes na engenharia e na f´ısica. O presente texto pretende de alguma forma dar resposta a esta necessi- dade servindo como guia para o estudo deste campo da matem´atica. Ser˜ao abordados de forma resumida os seus fundamentos b´asicos e algumas aplica¸c˜oes elementares. Numa primeira fase estudam-se as propriedades alg´ebricas dos n´umeros complexos e algumas fun¸c˜oes complexas elementares. Numa segunda fase faz-se referˆencia a deriva¸c˜ao complexa eas condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann. Aqui s˜ao reveladas algumas das propriedades mais importantes das fun¸c˜oes com C-derivada, nomeadamente a sua diferenciabil- idade. O estudo da integra¸c˜ao complexa, ao longo de caminhos, permite deduzir mais adiante, o importante teorema integral de Cauchy a partir do teorema de Cauchy-Goursat. A f´ormula integral de Cauchy, consequˆencia imediata do teorema integral de Cauchy ´e igualmente referida. Seguidamente os resultados anteriores s˜ao utilizados na dedu¸c˜ao do teo- rema fundamental da Algebra e no teorema dos res´´ ıduos e nas aplica¸c˜oes deste ´ultimo ao c´alculo de integrais no campo real. Finalmente s˜ao estudadas as propriedades b´asicas das aplica¸c˜oes harm´onicas e das aplica¸c˜oes conformes e a sua rela¸c˜ao com as fun¸c˜oes holomorfas, fazendo- se referˆencia `a resolu¸c˜ao de problemas no campo da hidrodinˆamica, ter- most´atica e electrost´atica.
8.3 Aplica¸c˜oes `a Electrost´atica.................... 72 8.4 Exerc´ıcios Propostos....................... 75
1 Introdu¸c˜ao
Os chamados n´umeros complexos, isto ´e, os n´umeros da forma a + b
em que a, b ∈ IR, surgiram pela primeira vez esbo¸cados formalmente na “Algebra” de Bombeli em 1572. A sua cria¸c˜ao resultou da necessidade de tornar v´alida a famosa formula de Cardano^1 destinada `a resolu¸c˜ao alg´ebrica de equa¸c˜oes de terceiro grau em que poderia haver necessidade de efectuar c´alculos com ra´ızes quadradas de n´umeros negativos. A constru¸c˜ao do conjunto dos n´umeros complexos, habitualmente repre- sentado por C, revelou-se de grande utilidade noutras ´areas da ciˆencia. As transformadas de Laplace, as s´eries de Fourier e as transformadas de Fourier constituem alguns exemplos de ferramentas indispens´aveis da f´ısica e engen- haria que nunca se teriam desenvolvido sem o aparecimento deste ramo da matem´atica. Tal como o conjunto dos n´umeros inteiros ZZ pode ser considerado uma extens˜ao do conjunto dos n´umeros naturais IN, o conjunto dos n´umeros com- plexos C pode ser considerado igualmente uma extens˜ao do conjunto dos n´umeros reais IR, extens˜ao esta que possui as seguintes propriedades adi- cionais:
- A equa¸c˜ao x^2 + 1 = 0, admite pelo menos uma solu¸c˜ao em C;
- Todo o elemento de C pode ser representado da forma a + bi em que a e b ∈ IR e i =
−1 (isto ´e, i ´e uma solu¸c˜ao de x^2 + 1 = 0).
Repare-se que o conjunto dos n´umeros reais pode ser interpretado como um subconjunto do conjunto dos n´umeros complexos e que no seio deste ´ultimo as ra´ızes quadradas de n´umeros negativos passam a ter significado. Um facto semelhante a este est´a na base da constru¸c˜ao do conjunto ZZ. Com
(^1) ou Cardan: m´edico e matem´atico de Mil˜ao que publicou na sua obra de ´algebra Ars
Magna, em 1545 a solu¸c˜ao (enunciada anteriormente por Tartaglia) das equa¸c˜oes c´ubicas x^3 + px = q, x^3 = px + q e x^3 + q = px, com p e q > 0. De referir que qualquer equa¸c˜ao c´ubica pode ser reduzida a uma das equa¸c˜oes anteriores com uma adequada mudan¸ca de vari´avel. A solu¸c˜ao da segunda equa¸c˜ao apresenta a seguinte forma:
x = 3
√ q 2
√ q^2 4 − p^3 27
3
√ q 2 −
√ q^2 4 − p^3 27 .
efeito os n´umeros que constituem solu¸c˜oes de equa¸c˜oes do tipo x + n = 0, n ∈ IN que n˜ao tinham significado no seio do conjunto dos n´umeros naturais passam a adquirir sentido no seio do conjunto dos n´umeros inteiros.
2 Defini¸c˜oes e Propriedades Elementares
Definio 1 Chamam-se n´umeros complexos aos n´umeros da forma, z = a + bi, a e b ∈ IR. Nesta representa¸c˜ao, dita rectangular, a designa-se por parte real de z e b por parte imagin´aria de z, escrevendo-se,
a = Re z e b = Im z.
Se Im z = 0, z diz-se imagin´ario e se al´em disso Re z = 0, z diz-se imagin´ario puro. O n´umero imagin´ario puro i diz-se a unidade imagin´aria e verifica
i^2 = − 1 ,
pois como foi referido, i =
Se a cada n´umero complexo z associarmos o par ordenado Z = (a, b) em que a = Re z e b = Im z, Z diz-se a imagem de z e z pode designar-se por afixo de Z. Nesta ´ultima representa¸c˜ao os n´umeros complexos s˜ao pontos do plano de Argand. Neste plano as imagens dos n´umeros reais est˜ao associadas ao eixo dos xx e e as imagens dos n´umeros imagin´arios puros ao eixo dos yy.
Exemplo 2 Representemos (fig. 1) no plano de Argand os seguntes n´umeros complexos: 2 + 3i, (− 4 , 2) (− 2 , −2) e 4 − 2 i.
-4 -2 0 2 4
4
2
. .
y
x
2 + 3 i − 4 + 2 i
. − 2 − 2 i
. 4 − 2 i
Figura 1: Representa¸c˜ao de complexos no plano de Argand.
Definio 5 Chama-se m´odulo ou valor absoluto ou norma do n´umero complexo z = a + bi a distˆancia ρ de Z = (a, b)a origem do plano de Argand, isto ´e `a norma Euclidiana de Z: |z| ≡ ρ =
a^2 + b^2 = ||Z||.
Definio 6 Chama-se argumento de um n´umero complexo z = a + bi = 0, representando-se por arg z, qualquer dos ˆangulos entre o semi-eixo positivo dos xx e o segmento orientado OZ em que Z = (a, b) e O = (0, 0), contados positivamente no sentido directo. Se θ for um desses ˆangulos a express˜ao geral do argumento de z, ´e arg z = θ + 2kπ, k ∈ ZZ.
Como se pode verificar a cada n´umero complexo diferente de 0 corres- pondem diferentes argumentos. Para que a correspondˆencia anterior seja bijectiva torna-se necess´ario definir as no¸c˜oes de argumento principal ou argumento positivo m´ınimo, entre outras.
Definio 7 Seja z ∈ C, arg z diz-se argumento principal se arg z ∈ [−π, +π[. Se arg z ∈ [0, 2 π[, ent˜ao diz-se que ´e o argumento positivo m´ınimo.
Naturalmente a cada n´umero complexo diferente de 0 corresponde um e um s´o argumento principal ou argumento positivo m´ınimo.
Exerccio 8 Verifique que escolhendo ] − π 2 , +π 2 [ como contradom´ınio da fun¸c˜ao arctan x o argumento principal de um qualquer n´umero complexo z pode calcular-se recorrendo `a seguinte express˜ao:
θ = arg z =
arctan( yx ), se x > 0 π 2 ,^ se^ x^ = 0 e^ y >^0 arctan( yx ) + π, se x < 0 e y ≥ 0 arctan( yx ) − π, se x < 0 e y < 0 −π 2 , se x = 0 e y < 0
Exemplo 9 Calcule o m´odulo, o argumento principal e o argumento positivo m´ınimo dos seguintes n´umeros complexos: 1 + 1i, 0 + 2i, −1 + 1i, − 1 − 1 i, 0 − 4 i. Apresentemos a resposta recorrendo `a tabela seguinte:
z ρ arg. principal arg. pos. m´ınimo 1 + 1i
2 π 4 π 4 0 + 2i 2 π 2 π 2 −1 + 1i
2 34 π^34 π − 1 − 1 i
2 −^34 π^54 π 0 − 4 i 4 −π 2 32 π
No c´alculo dos parˆametros anteriores a representa¸c˜ao gr´afica no plano de Argand dos n´umeros complexos facilita a determina¸c˜ao dos argumentos. Como se pode verificar o m´odulo e o argumento de um n´umero complexo n˜ao s˜ao mais do que as coordenadas polares da sua imagem:
Proposio 10 Sejam z = a + bi, θ = arg z e ρ = |z| =
a^2 + b^2. Ent˜ao a = ρ cos θ, b = ρ sen θ e z = ρ cis θ em que cis θ = cos θ + i sen θ.
Dem. Como se sabe cos θ = aρ e sen θ = (^) ρb. Substituindo em z = a + bi, resulta imediatamente z = ρ cis θ. Chama-se forma trigonom´etrica de z = a + bi `a express˜ao
z = ρ cis θ,
em que θ = arg z e ρ = |z| =
a^2 + b^2. Observe-se que um n´umero complexo fica completamente determinado fixando um n´umero real positivo ρ e um argumento θ. Assim, alguns autores utilizam a nota¸c˜ao de Steinmetz para os n´umeros complexos: z = ρ θ. Naturalmente dois n´umeros complexos representados na forma trigono- m´etrica s˜ao iguais quando os seus m´odulos s˜ao iguais e quando os seus ar- gumentos diferem entre si de um m´ultipo de 2π. A proposi¸c˜ao seguinte formaliza este resultado.
Proposio 11 Sejam z 1 = ρ 1 cis θ 1 e z 2 = ρ 2 cis θ 2. Ent˜ao,
z 1 = z 2 ⇔ ρ 1 = ρ 2 ∧ θ 1 = θ 2 + 2kπ, k ∈ ZZ.
Dem. Exerc´ıcio. Chama-se conjugado do n´umero complexo, z = a+bi o n´umero complexo z = a − bi. Geometricamente a opera¸c˜ao de conjuga¸c˜ao traduz-se no plano de Argand pela reflex˜ao de z relativamente ao eixo real xx.
Exemplo 12 Seja z = 2 + 3i. Na fig. 2 representamos no plano de Argand z e o seu conjugado.
Proposio 13 A opera¸c˜ao de conjuga¸c˜ao goza das seguintes propriedades:
- Re z = z+ 2 ze Im z = z− 2 iz ;
- z + w = z + w e z × w = z × w;
- z = z sse z ´e real;
- z = z;
Dem. Basta ter em conta a proposi¸c˜ao 14 e aplicar o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica^3. A f´ormula de De Moivre generaliza-se facilmente `as potˆencias de expoente negativo de n´umeros complexos.
Proposio 16 Seja z = ρ cis θ = 0 ent˜ao
z−n^ =
zn^
ρn^
cis(−nθ), n ∈ IN.
Dem. Tenha-se em conta o resultado anterior. A ra´ız ´ındice n ∈ IN de um n´umero complexo z ´e um n´umero w tal que wn^ = z. Representa-se este n´umero por w = n
z.
Proposio 17 Seja z = ρ cis θ, ent˜ao
√ nz = √nρ cis
θ + 2kπ n
, k ∈ ZZ.
Dem. Da f´ormula de De Moivre segue-se que [ √ nρ cis
θ + 2kπ n
)]n = ρ cis (θ + 2kπ) = ρ cis θ = z,
o que prova o que se pretendia. Deste proposi¸c˜ao resulta que todo o n´umero complexo diferente de zero tem exactamente n ra´ızes de ´ındice n (tamb´em chamadas determina¸c˜oes da ra´ız de ´ındice n).
Exemplo 18 Mostre que n
1 = cis(^2 kπn ), k = 0, ..., n − 1.
- Como 1 = cis 0 ent˜ao n
1 = cis(0+2nkπ ) = cis(^2 kπn ), k ∈ ZZ;
- Observe-se que cis(^2 kπn ) = cis(^2 k
′π n ) se 0^ ≤^ k, k
′ (^) ≤ n − 1 e cis(^2 kπ n ) = cis
2(k+n)π n
se 0 ≤ k ≤ n − 1.
Pode agora generalizar-se a f´ormula de De Moivre `as potˆencias de ex- poente racional de n´umeros complexos.
(^3) O Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica resulta do Axioma da Boa Ordena¸c˜ao dos n´umeros
naturais e enuncia a seguinte afirma¸c˜ao: Suponha-se que para cada n ∈ IN, A(n) s˜ao proposi¸c˜oes tais que A(1) ´e verdadeira e A(n + 1) ´e verdadeira sempre que A(n) for verdadeira. Ent˜ao A(n) ´e verdadeira para todo o n ∈ IN.
Definio 19 Seja z = ρ cis θ = 0, p ∈ ZZ e q ∈ IN. Ent˜ao
z
p q (^) = (q
z)p^ = ρ
p q (^) cis
[
p q
(θ + 2kπ)
]
, k ∈ ZZ.
Desta defini¸c˜ao resulta que se pq for uma frac¸c˜ao irredut´ıvel obtˆem-se
exactamente q determina¸c˜oes da potˆencia z
p q (^). Nesta ´ultima situa¸c˜ao ( √qz)p^ = √ qzq. No entanto, se p q for redut´ıvel tem-se em geral (^
√qz)p (^) = √qzq. Estes
factos aconselham alguma precau¸c˜ao ao trabalhar com potˆencias racionais de n´umeros complexos.
Exemplo 20 Consideremos por exemplo as express˜oes ( 6
z)^4 e 6
z^4 , z = 0.
A primeira n˜ao ´e mais do que z
(^46) = z
(^23) = ( 6
z)^2 que tem trˆes diferentes determina¸c˜oes. A segunda apresenta seis determina¸coes diferentes.
Exemplo 21 Suponha z = cis π 2. Calcule z (^42) (= z^2 ) e
z^4.
- z
4 (^2) (= z^2 ) = cis(2 × π 2 ) = cis π = −1;
z^4 =
cis(π 2 )^4 =
cis(2π) =
Finalmente apresenta-se a generaliza¸c˜ao da f´ormula de De Moivre a potˆencias de expoente irracional.
Definio 22 Seja z = ρ cis θ = 0 e ν um n´umero irracional, ent˜ao
zν^ = ρν^ cis [ν(θ + 2kπ)] , k ∈ ZZ.
Repare-se que a cada potˆencia de expoente irracional corresponde um n´umero infinito de determina¸c˜oes.
2.1 Exerc´ıcios Propostos
Exerccio 23 Efectue as seguintes opera¸c˜oes com n´umeros complexos:
- (a) (3 − 2 i)(1 − 4 i) (R: − 5 − 14 i). (b) (x + yi)/(x − yi) (R: x^2 + y^2 ). (c) (5 + 5i)/(1 − i) (R: 5i). (d) 5i/(2 − 2 i) (R:− 1 , 25 + 1, 25 i).
Exerccio 24 Mostre que (C, +, .) ´e um corpo.
No ponto anterior estudaram-se algumas fun¸c˜oes complexas de vari´avel complexa, nomeadamente a opera¸c˜ao de conjuga¸c˜ao e a fun¸c˜ao potˆencia de um n´umero complexo. No entanto nem todas as opera¸c˜oes estudadas ante- riormente podem ser sempre consideradas fun¸c˜oes. Para que tal aconte¸ca torna-se frequentemente necess´ario restringir o dom´ınio de varia¸c˜ao da ope- ra¸c˜ao considerada de forma a assegurar a unicidade desejada. A opera¸c˜ao, z →
z, poder´a ser considerada uma fun¸c˜ao se, por exemplo, arg
z ∈ [0, π[. Tal facto n˜ao ´e novidade e corresponde `a generaliza¸c˜ao de um idˆentico pro- cedimento adoptado na constru¸c˜ao da fun¸c˜ao real de vari´avel real x → +
x a partir da opera¸c˜ao x → ±
x. As fun¸c˜oes complexas de vari´avel complexa podem ser interpretadas como campos vectoriais de IR^2 em IR^2. Com efeito, a fun¸c˜ao w = f(z), em que z = x + yi e w = u + vi, pode ser escrita na forma
f (x, y) = (u(x, y), v(x, y)).
Exemplo 33 A fun¸c˜ao f(z) = z^2 , em que z = x + iy pode escrever-se como f(x, y) = (x^2 − y^2 , 2 xy).
Exemplo 34 Represente da forma indicada anteriormente as fun¸c˜oes com- plexas: f (z) = z e g(z) = (^1) z.
- f (z) = z ⇔ f (x, y) = x − iy;
- g(z) = (^1) z ⇔ g(x, y) = (^) x+^1 iy = (^) x (^2) +xy 2 − i (^) x (^2) +yy 2.
Chamam-se fun¸c˜oes elementares, as fun¸c˜oes racionais (os polin´omios em particular), a fun¸c˜ao exponencial, as fun¸c˜oes trigonom´etricas, as fun¸c˜oes hiperb´olicas e as respectivas fun¸c˜oes inversas. Estudaremos seguidamente algumas destas fun¸c˜oes.
3.1 As Fun¸c˜oes Polinomiais
Definio 35 A fun¸c˜ao
f (z) = a 0 + a 1 z + a 2 z^2 + · · · + anzn,
em que a 1 ,a 2 ,... , an ∈ C e n ∈ IN, diz-se uma fun¸c˜ao polinomial.
Relativamente a estas fun¸c˜oes refira-se o importante teorema (conhecido tamb´em por teorema fundamental da ´Algebra): Teorema 117 Toda a equa¸c˜ao do tipo,
a 0 + a 1 z + a 2 z^2 + · · · + anzn^ = 0,
em que a 1 ,a 2 ,... , an ∈ C, an = 0 e n ∈ IN tem n solu¸c˜oes (ou zeros) em C (distintas ou n˜ao). Se z 1 , z 2 ,... , zn forem as ditas solu¸c˜oes ent˜ao,
a 0 + a 1 z + a 2 z^2 + · · · + anzn^ = an(z − z 1 )(z − z 2 )... (z − zn)
Dem. Ver a subsec¸c˜ao 5.5.
3.2 As Fun¸c˜oes Racionais
Definio 36 A fun¸c˜ao
f (z) =
a 0 + a 1 z + a 2 z^2 + · · · + anzn b 0 + b 1 z + b 2 z^2 + · · · + bmzm^
em que a 1 ,a 2 ,... , an, b 1 ,b 2 ,... , bm ∈ C, n, m ∈ IN, diz-se uma fun¸c˜ao racional.
Estas fun¸c˜oes s´o se encontram definidas em C{z 1 , z 2 ,... , zm} em que z 1 , z 2 ,... , zm s˜ao os zeros do denominador.
3.3 A Fun¸c˜ao Exponencial Complexa
Definio 37 A fun¸c˜ao
ez^ =
∑^ ∞
n=
zn n!
diz-se a fun¸c˜ao exponencial complexa.
Como a s´erie de potˆencias, do segundo membro da express˜ao anterior, ´e convergente a defini¸c˜ao ´e consistente. Pode demonstrar-se que o seu raio de convergˆencia ´e infinito, isto ´e, que converge em todo o plano complexo [3]. Listam-se seguidamente um conjunto de propriedades da fun¸c˜ao exponen- cial complexa.
Proposio 38 Verificam-se as seguintes propriedades:
- ∀z, w ∈ C, ez+w^ = ez^ ew.
- ∀z ∈ C, ez^ = 0 e e−z^ = (^) e^1 z.
- (F´ormula de Euler) Suponha-se que z = iy, y ∈ IR. Ent˜ao,
eiy^ = cos y + i sen y.
- Expressemos z na forma trigonom´etrica: z = ρ(cos θ + i sen θ). Do n´umero 3 desta proposi¸c˜ao resulta imediatamente que z = ρeiθ.
- Aplicando resultados anteriores resulta facilmente, ez^ = ex+iy^ = exeiy^ = excisy.
- Exerc´ıcio.
- Exerc´ıcio.
3.4 As Fun¸c˜oes Circulares
As defini¸c˜oes seguintes generalizam as defini¸c˜oes cl´assicas de seno e coseno ao campo complexo.
Definio 39 As fun¸c˜oes
cos z =
∑^ ∞
n=
(−1)n^
z^2 n (2n)!
sen z =
∑^ ∞
n=
(−1)n^
z^2 n+ (2n + 1)!
dizem-se respectivamente seno e coseno.
Referem-se seguidamente algumas propriedades destas fun¸c˜oes.
Proposio 40 S˜ao v´alidas as seguintes propriedades:
- ∀z ∈ C, eiz^ = cos z + i sen z.
- ∀z ∈ C,
cos z =
eiz^ + e−iz 2 sen z =
eiz^ − e−iz 2 i
- ∀z ∈ C, cos^2 z + sen^2 z = 1.
- ∀z, w ∈ C,
cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w, sen(z + w) = sen z cos w + sen w cos z.
- Seja z ∈ C,
| cos z| ≤
eIm^ z^ + e−^ Im^ z 2
≤ e|^ Im^ z|,
| sen z| ≤
eIm^ z^ + e−^ Im^ z 2
≤ e|^ Im^ z|.
Dem.
- Basta ter em conta as defini¸c˜oes 37 e 39.
- Demonstraremos a primeira das igualdades (a segunda constituir´a um exerc´ıcio):
eiz^ + e−iz 2
cos z + i sen z + cos(−z) + i sen(−z) 2 =
2 cos z + i sen z − i sen z 2
= cos z.
- Exerc´ıcio.
- Desenvolvendo e simplificando
eiz^ + e−iz 2
×
eiw^ + e−iw 2
eiz^ − e−iz 2 i
×
eiw^ − e−iw 2 i conclui-se que cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w. A verifica¸c˜ao da outra igualdade ´e deixada como exerc´ıcio.
- Demonstraremos a primeira das desigualdades. Seja z = x + iy, x e y ∈ IR,
| cos z| = |
eiz^ + e−iz 2
ei(x+yi)^ + e−i(x+yi) 2
e−y+ix^ + ey−ix 2
e−y|eix| + ey|e−ix| 2 =
e−y^ + ey 2
e−^ Im^ z^ + eIm^ z 2
≤ e|^ Im^ z|.
De notar que recorrendo `as fun¸c˜oes seno e coseno facilmente poderiamos definir as fun¸c˜oes tangente, contangente, secante e cosecante.
Proposio 44 Supondo z ∈ C{ 0 }, tem-se
log z = log |z| + i (arg z + 2kπ) , k ∈ ZZ.
Dem. Seja w = log z. Ent˜ao, por defini¸c˜ao ew^ = z, donde em resultado do n´umero 6 da proposi¸c˜ao 38 conclui-se,
|ew| = |eRe^ w| = eRe^ w^ = |z|
e arg ew^ = Im w = arg z + 2kπ, k ∈ ZZ.
Assim, Re w = log |z| e Im w = arg z + 2kπ, k ∈ ZZ, respectivamente da primeira e segunda express˜ao, isto ´e,
w = log z = log |z| + i(arg z + 2kπ), k ∈ ZZ.
Note-se que a cada z = 0 correspondem um n´umero infinito de deter- mina¸c˜oes do seu logaritmo complexo. Este facto resulta directamente da n˜ao injectividade da fun¸c˜ao exponencial complexa (e da sua periodicidade de per´ıodo 2πi). Como se pode verificar observando a fig. 3 a fun¸c˜ao exponencial complexa transforma bijectivamente regi˜oes do tipo,
As = {w ∈ C : s ≤ Im w < s + 2π} ,
em C{ 0 }, podendo por isso ser invertida entre as regi˜oes referidas.
y
x
y
x
i s
si + 2 π i e
w
Figura 3: Representa¸c˜ao da fun¸c˜ao exponencial
Desta forma, para que a opera¸c˜ao, w = log z (opera¸c˜ao inversa da fun¸c˜ao exponencial complexa) esteja bem definida e possa considerar-se fun¸c˜ao, ´e
habitual fixar um intervalo de varia¸c˜ao de arg z + 2kπ (ou Im w), com o comprimento de 2π, defindo assim um ramo do logaritmo exponencial complexo. Seja ent˜ao z = 0 e w = log z tal que Im w ∈ [s, s + 2π[, s ∈ IR, isto ´e,
s ≤ arg z < s + 2π, s ∈ IR.
Esta fun¸c˜ao representa um ramo do logaritmo exponencial complexo.
Definio 45 1. Seja z ∈ C, z = 0,
log z = log |z| + i arg z(mod 2πi),
diz-se logaritmo complexo^4.
- A fun¸c˜ao,
log z = log |z| + i arg z, −π ≤ arg z < π,
diz-se ramo principal do logaritmo exponencial complexo^5.
Exemplo 46 Calcule log(−1), log(20e
iπ 4 ).
- log(−1) = log | − 1 | + i arg(−1) (mod 2πi) = iπ (mod 2πi);
- log(20e
iπ 4 ) = log 20 + iπ 4 (mod 2πi).
3.7 A Fun¸c˜ao Ra´ız Quadrada
Chama-se ra´ız quadrada do n´umero complexo z a qualquer n´umero n´umero complexo w tal que w^2 = z. Escreve-se ent˜ao w =
z. De notar que `a semelhan¸ca do que se passa no caso real, a ra´ız quadrada complexa n˜ao ´e mais do que a opera¸c˜ao inversa da fun¸c˜ao potˆencia com- plexa de expoente 2. Da proposi¸c˜ao 17, se z = ρ cis θ = 0, ent˜ao
√ z =
ρ cis
(θ 2
ρ cis
(θ 2 +^ π
(^4) x = y (mod a) ⇐⇒ x − y = ka, k ∈ ZZ. (^5) Estes conceitos s˜ao particularmente importantes ao trabalhar com fun¸c˜oes complexas que possuem derivada pois nesta situa¸c˜ao, a fun¸c˜ao em estudo possui propriedades adi- cionais muito importantes que se manifestam, em geral, no interior dos ramos referidos. Em [7] pode encontrar-se um desenvolvimento detalhado deste problema.