Analise de Funções Complexas, Notas de aula de Análise Complexa

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An´alise Complexa

Jos´e Luis Silva

Departamento de Matem´atica

Universidade da Madeira

9000 Funchal

Madeira

Conte´udo

Cap´ıtulo 1

N´umeros Complexos

Neste cap´ıtulo definimos o conjunto dos n´umeros complexos (denotado por C) usando o plano xy (denotado por R^2 ) para os representar os n´umeros com- plexos, ideia original de J. R. Argand. Depois de introduzirmos a soma e mul- tiplica¸c˜ao de n´umeros complexos vamos provar que o conjunto dos n´umeros complexos forma um corpo, ver Teorema 1.2.4 em baixo. Isto ´e essenci- almente o conte´udo da Sec¸c˜ao 1.2. Nas Sec¸c˜oes 1.3 e 1.4 vamos explorar outras propriedades dos n´umeros complexos usando o plano xy tais como, representa¸c˜ao em coordenadas polares, interpreta¸c˜ao geom´etrica da multi- plica¸c˜ao de n´umeros complexos, resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes envolvendo n´umeros complexos etc. Resta dizer que na Sec¸c˜ao 1.1 apresentamos uma breve nota sobre o surgimento dos n´umeros complexos a qual tamb´em serve de motiva¸c˜ao para a introdu¸c˜ao destes n´umeros.

1.1 Breve nota hist´orica

O nascimento dos n´umeros complexos pode ser datado do s´eculo XVI, quando alguns matem´aticos Italianos se envolveram na tarefa de encontrar a f´ormula resolvente para as equa¸c˜oes do terceiro grau. Parece ter sido Niccolo Fon- tana (1499-1557) (mais conhecido por Tart´aglia) o primeiro a apresentar essa f´ormula, embora fosse o seu colega Gerolamo Cardano (1501-1576) o primeiro a public´a-la. A f´ormula para a equa¸c˜ao do terceiro grau na forma

x^3 − px + q = 0

2 Cap´ıtulo 1. N´umeros Complexos

´e dada por

x =

3

q 2

q^2 4

p^3 27

3

q 2

q^2 4

p^3 27

Ao aplicar a f´ormula (1.1) `a equa¸c˜ao

x^3 − 15 x − 4 = 0 (1.2)

obtemos

x = 3

3

A equa¸c˜ao (1.2), conhecida por equa¸c˜ao Bombelli (1526-1573), Cardano dizia que a f´ormula n˜ao se aplicava. Bombelli pensou na seguinte conjectura.

Conjectura: Como os radicandos em (1.3) s´o diferem de um sinal, o mesmo dever´a acontecer com as suas ra´ızes c´ubicas.

Assim resolveu o sistema  



√ (^3) 2 + √−121 = a + bi

√ (^32) − √−121 = a − bi

obtendo as solu¸c˜oes a = 2 e b = 1

aplicando aa regras (

−b)^2 = −b e (

−b)^3 = −b

−b. Portanto a raiz da equa¸c˜ao (1.2) ´e, segundo (1.3)

Na realidade 4 ´e uma raiz de (1.2), como se verifica facilmente. Assim se deram os primeiros passos na cria¸c˜ao dos n´umeros complexos.

4 Cap´ıtulo 1. N´umeros Complexos

y = ℑ(z)

x = ℜ(z)

w

z = x + yi

z + w

x

y

Figura 1.1: Representa¸c˜ao geom´etrica de n´umeros complexos na forma alg´ebrica.

6. bi ´e um imagin´ario puro.
7. Se z ∈ C\ {(0, 0)}, ent˜ao ∃!z′^ ∈ C : zz′^ = 1. Unicidade: Suponhamos que existiam z′, z′′^ tais que zz′^ = 1 e zz′′^ = 1. Mas, z′^ = z′1 = z′^ (zz′′) = (z′z) z′′^ = 1z′′^ = z′′ ⇒ z′^ = z′′ logo z′^ ´e ´unico. Existˆencia: Seja z = a + bi ∈ C\ {(0, 0)} e suponhamos a 6 = 0, no caso a = 0 vem z′^ = − (^) bi. Queremos determinar z′^ = a′^ + b′i tal que zz′^ = 1 { aa′^ − bb′^ = 1 ab′^ + ba′^ = 0

a′^ = bb

′+ a ab′^ + bbb ′+ a = 0

⇔

a′^ = bb

′+ a a^2 b′^ + b + b^2 b′^ = 0

a′^ = bb ′+ a b′^ = (^) a 2 −+bb 2

⇔

a′^ = (^) a 2 a+b 2 b′^ = (^) a 2 −+bb 2 Assim z′^ ≡ z−^1 =

a a^2 + b^2

• i

−b a^2 + b^2

1.2 Defini¸c˜oes e propriedades 5

8. (^) wz = zw−^1 = x a++yibi = ( (xa++yibi)()(aa−−bibi)) = xa a 2 ++ybb 2 + ya a 2 −+xbb 2 i.

Exemplo 1.2.3 A partir das f´ormulas para o quociente e para o produto mostre que

a) z z^12 = z 1

1 z 2

, z 2 ∈ C\ {(0, 0)} 0 ∧ z 1 ∈ C.

b) (^) z 11 z 2 =

1 z 1

1 z 2

, z 1 , z 2 ∈ C\ {(0, 0)}.

Resolu¸c˜ao Seja z 1 = a + bi e z 2 = c + di a) Por um lado tem-se

z 1 z 2

ac + bd c^2 + d^2

−ad + bc c^2 + d^2

i. (1.4)

por outro

z 1

z 2

= (a + bi)

c − di c^2 + d^2

= (a + bi)

c c^2 + d^2

d c^2 + d^2

i

ac + bd c^2 + d^2

−ad + bc c^2 + d^2

i. (1.5)

Como as partes reais e imagin´arias de (1.4) e (1.5) s˜ao iguais, tem-se que os n´umeros s˜ao iguais. b) O processo ´e an´alogo:

1 z 1 z 2

ac − bd + (ad + bc) i

=

ac − bd (ac − bd)^2 + (ad + cb)^2

−ad − cb (ac − bd)^2 + (ad + cb)^2

i

z 1

z 2

a − bi a^2 + b^2

c − di c^2 + d^2

ac − bd (ac − bd)^2

−ad − cb (ad + cb)^2

i

e a igualdade tamb´em se verifica. Temos as seguintes propriedades, como consequˆencia das propriedades de R : Propriedades da adi¸c˜ao:

1.2 Defini¸c˜oes e propriedades 7

i.e, (R^2 , θ) e (R^2 \ {(0, 0)} , φ) s˜ao grupos abelianos. Define-se C :=

z : z = a + bi; a, b ∈ R ∧ i^2 = − 1

e as seguintes opera¸c˜oes em C :

(a + bi) +C (c + di) := a + c + i (b + d)

(a + bi) ·C (c + di) := ac − bd + i (ad + bc) Seja f : R^2 → C, (x, y) 7 → x + yi. f ´e um isomorfismo de (R^2 , θ, φ) sobre (C, +C, ·C) i.e., uma trans- forma¸c˜ao que transforma a opera¸c˜ao θ na opera¸c˜ao +C e a opera¸c˜ao φ na opera¸c˜ao ·C. Para simplifica¸c˜ao da nota¸c˜ao, e por abuso de lingua- gem representa-se +C por + e ·C por ·.

3. Uma das raz˜oes da utiliza¸c˜ao dos n´umeros complexos ´e permitir extrair ra´ızes quadradas de n´umeros negativos.

Proposi¸c˜ao 1.2.5 Seja z ∈ C. Ent˜ao existe w ∈ C tal que w^2 = z. O corpo C ´e a menor extens˜ao de R onde w^2 = z tem sempre solu¸c˜ao. Note que −w tamb´em satisfaz a equa¸c˜ao.

Prova. Seja z = a + bi. Pretendemos encontrar w = x + yi tal que

a + bi = (x + yi)^2 ⇔

x^2 − y^2 = a 2 xy = b

A existˆencia de solu¸c˜oes pode ser garantida pela an´alise do gr´afico da Fi- gura 1.2. Temos

a^2 + b^2 =

x^2 − y^2

• 4x^2 y^2 =

x^2 + y^2

⇔ x^2 + y^2 =

a^2 + b^2 ⇔ −a + x^2 + x^2 =

a^2 + b^2 ⇔ x^2 =

a +

a^2 + b^2

∧ y^2 =

−a +

a^2 + b^2

8 Cap´ıtulo 1. N´umeros Complexos

a, b > 0

x^2 − y^2 = a

2 xy = b

x

y

a √ a

Figura 1.2: Exemplos de curvas de x^2 − y^2 = a e 2xy = b.

Seja

α =

a +

a^2 + b^2

∧ β =

−a +

a^2 + b^2

1. b > 0 : (x = α ∧ y = β) ∨ (x = −α ∧ y = −β)
2. b < 0 : (x = −α ∧ y = β) ∨ (x = α ∧ y = −β)

Concluimos, pois, que para b > 0, temos  



x =

1 2

a +

a^2 + b^2

y =

1 2

−a +

a^2 + b^2

x = −

1 2

a +

a^2 + b^2

y = −

1 2

−a +

a^2 + b^2

e para b < 0, temos  



x = −

1 2

a +

a^2 + b^2

y =

1 2

−a +

a^2 + b^2

x =

1 2

a +

a^2 + b^2

y = −

1 2

−a +

a^2 + b^2

10 Cap´ıtulo 1. N´umeros Complexos

z ¯

y z

x −θ

θ

Figura 1.3: Representa¸c˜ao de z e ¯z.

1. z 1 + z 2 = z 1 + z 2.
2. z 1 · z 2 = z 1 · z 2.
3. z z^12 = z z^12. z 2 ∈ C\ {(0, 0)}.
4. z = ¯z ⇔ z ∈ R.
5. z + ¯z = 2ℜ(z) ∧ z − z¯ = 2iℑ(z).

Defini¸c˜ao 1.3.2 Dado z = x + yi ∈ C, chama-se valor absoluto de z, ao n´umero real n˜ao negativo |z| =

x^2 + y^2.

Geometricamente |z| ´e o comprimento do vector (x, y), (ver Figura 1.4).

Proposi¸c˜ao 1.3.3 Para quaisquer z, z 1 , z 2 ∈ C temos

1. |z|^2 = ℜ(z)^2 + (ℑ(z)^2.

2. |z| > |ℜ(z)| e |z| ≥ |ℑ(z)|.

3. zz¯ = x^2 + y^2 = |z|^2 , |z¯| = |z| , z−^1 = (^) |z¯z| 2.

4. |z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |.

∣z z^12

∣ =^ | |zz^12 || , z 2 6 = 0.

1.3 Complexos conjugados. Valores absolutos 11

|z| =

x^2 + y^2

z = x + yi

x

y

Figura 1.4: Representa¸c˜ao geom´etrica de |z|.

6. |z 1 + z 2 | < |z 1 | + |z 2 | (desigualdade triangular);
7. |z 1 − z 2 | ≥ ||z 1 | − |z 2 ||.

Prova. Faremos a prova s´o de 7. a) |z 1 | = |z 2 + (z 1 − z 2 )| ≤ |z 2 | + |z 1 − z 2 |

⇔ |z 1 − z 2 | ≥ |z 1 | − |z 2 | (1.6)

b) Mudando o papel de z 1 com z 2 temos:

|z 2 − z 1 | ≥ |z 2 | − |z 1 |

⇔ − |z 1 − z 2 | ≤ |z 1 | − |z 2 | (1.7)

De (1.6) e (1.7) concluimos que

− |z 1 − z 2 | ≤ |z 1 | − |z 2 | ≤ |z 1 − z 2 |

⇒ |z 1 − z 2 | ≥ ||z 1 | − |z 2 ||.

Exemplo 1.3.4 Prove que se |z| = 1, ent˜ao ∣ ∣ ∣ ∣

az + b ¯bz + ¯a

para quaisquer n´umeros complexos a e b.

1.4 Forma polar. Potˆencias e quocientes 13

pelo que podemos escrever z = x + yi ⇔ z = r (cos θ + i sin θ). Esta ´e a representa¸c˜ao de z na forma polar.

Observa¸c˜ao 1.4.1 1. Para cada z ∈ C, arg z n˜ao ´e ´unico, na verdade, dado que sin θ e cos θ s˜ao fun¸c˜oes peri´odicas de per´ıodo 2π, se θ ´e o argumento de z, ent˜ao θ + 2kπ, (k ∈ Z) tamb´em o ´e. No entanto, se fixarmos um intervalo θ 0 ≤ arg z < θ 0 + 2π a representa¸c˜ao ´e ´unica;

1. Quando z = 0 tem-se |z| = 0 e θ arbitr´ario;
2. arg z = − arg ¯z.

Teorema 1.4.2 Dados z 1 , z 2 ∈ C com z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) e z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ), ent˜ao z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos (θ 1 + θ 2 ) + i sin (θ 1 + θ 2 )), i.e, |z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |

e arg (z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 (mod2π)

Prova. Basta multiplicar os n´umeros complexos com a representa¸c˜ao na forma polar e usar as f´ormulas trigonom´etricas

cos θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2 = cos (θ 1 + θ 2 )

e sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 = sin (θ 1 + θ 2 )

Exemplo 1.4.3 Fixemos o intervalo [0, 2 π[, z 1 = − 1 , z 2 = −i. Calcule z 1 z 2 usando a forma polar.

Resolu¸c˜ao As coordenadas polares de z 1 s˜ao:

|z 1 | = 1 e arg z 1 = π

e para z 2 temos:

|z 2 | = 1 e arg z 2 =

π

Assim

|z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 | = 1 e arg (z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 =

π

14 Cap´ıtulo 1. N´umeros Complexos

arg(−1) + arg(−i)

arg(−1) arg((−1)(−i)) arg(−i)

−i

i

y

x

Figura 1.6: Multiplica¸c˜ao do n´umero complexo −1 por −i.

como 52 π n˜ao est´a no intervalo escolhido, [0, 2 π[, devemos subtrair 2π para colocar o argumento de z 1 z 2 no intervalo [0, 2 π[, (ver Figura 1.6).

Observa¸c˜ao 1.4.4 Outra forma de ver a multiplica¸c˜ao de n´umeros comple- xos ´e a seguinte: seja z ∈ C, define-se

ψz : C → C, w 7 → zw.

Pelo teorema 1.4.2 sabemos que o efeito de ψz ´e rodar cada n´umero complexo de um ˆangulo igual a arg z no sentido contr´ario ao dos ponteiros do rel´ogio e ampliando o comprimento pelo factor |z|. ψi simplesmente roda cada n´umero complexo de π 2 , (ver Figura 1.7).

A aplica¸c˜ao ψz ´e linear, i.e,

ψz (αw 1 + βw 2 ) = αψz (w 1 ) + βψz (w 2 )

com α, β ∈ R e w 1 , w 2 ∈ C. Assim ψz pode ser representada pela sua matriz. Pondo z = a + bi, sabemos da ´algebra linear que a matriz de ψz ´e dada por

M (ψz ) =

a −b b a

16 Cap´ıtulo 1. N´umeros Complexos

e pela unicidade da representa¸c˜ao polar, temos

ρn^ = r ∧ nψ = θ + 2kπ, k ∈ Z

⇔ ρ = n

r ∧ ψ =

θ + 2kπ n

, k ∈ Z

Atendendo `a periodicidade do seno e do co-seno, temos

ψ =

θ + 2kπ n

, k = 1, 2 , · · · , n − 1.

Assim

z = n

r

cos

θ + 2kπ n

• i sin

θ + 2kπ n

, k = 1, · · · , n − 1.

Exemplo 1.4.6 Resolva a equa¸c˜ao z^8 = 1.

Resolu¸c˜ao Como 1 = 1 (cos 0 + i sin 0), ent˜ao

1

(^18) = 8

cos

0 + 2kπ 8

• i sin

0 + 2kπ 8

, k = 1, 2 , · · · , 7

Que d´a as seguintes ra´ızes: k = 0 : z 0 = 1 k = 1 : z 1 =

√ 2 2 +^ i

√ 2 2 k = 2 : z 2 = i k = 3 : z 3 = −

√ 2 2 +^ i

√ 2 2 k = 4 : z 4 = − 1 k = 5 : z 5 = −

√ 2 2 −^ i

√ 2 2 k = 6 : z 6 = −i k = 7 : z 7 =

√ 2 2 −^ i

√ 2

De um modo geral as ra´ızes n-´esimas da unidade formam um pol´ıgono con- vexo regular com um v´ertice em z = 1 (ver Figura 1.8).

Exemplo 1.4.7 Sendo w uma das raiz n-´esima da unidade diferente dela pr´opria, mostre que

1 + w + w^2 + · · · + wn−^1 = 0

Resolu¸c˜ao Atendendo a que a soma em quest˜ao est´a em progress˜ao geom´etrica de raz˜ao w, temos: n∑− 1

j=

wj^ =

1 − wn 1 − w

Como w ´e uma raiz n-´esima da unidade, ent˜ao wn^ = 1, logo

1 − wn 1 − w

1 − w

1.4 Forma polar. Potˆencias e quocientes 17

Figura 1.8: As oito ra´ızes da unidade.

−i

i

z 3 z 1

z (^5) z 7

y

x

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1.1 Prove que, para qualquer inteiro k

i^4 k^ = 1, i^4 k+1^ = i, i^4 k+2^ = − 1 , i^4 k+3^ = −i.

Mostre como este resultado d´a uma f´ormula para in, n ∈ N escrevendo n = 4 k + j, 0 ≤ j ≤ 3. Calcule i^2000.

Exerc´ıcio 1.2 Determine a parte real e a parte imagin´aria do n´umero com- plexo z + 2 z − 1

sabendo que z = x + yi.

Exerc´ıcio 1.3 Prove que ℜ(iz) = ℑ(z) e que ℑ(iz) = ℜ(z), ∀z ∈ C.

Exerc´ıcio 1.4 Prove a seguinte igualdade

| 1 − zw¯ |^2 − |z − w|^2 = (1 − |z|^2 )(1 − |w|^2 ), z, w ∈ C.