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Universidade Federal de Vi¸cosa
Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas
Departamento de Matem´atica
1 a^ Prova - MAT243 - C´alculo Diferencial e Integral III - 23/05/
Nome: Matr´ıcula:
Em todas as quest˜oes justifique suas respostas. Boa Prova!
Quest˜ao 1 : Fa¸ca o que se pede em cada um dos itens abaixo.
(a) (10 pontos) Determine o dom´ınio da fun¸c˜ao definida por f (x, y) = sen(xy) ln(x^2 − y)
. Esboce, no plano xy, tal regi˜ao. (b) (10 pontos) Esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, as curvas de n´ıvel, para os n´ıveis c = − 1 , 0 , 1 , da fun¸c˜ao definida por f (x, y) = y^2 − x^2.
Solu¸c˜ao: (a)
Neste caso, a restri¸c˜ao encontra-se no denominador e no argumento da fun¸c˜ao logar´ıtmica.
Dom(f ) = {(x, y) ∈ R^2 ; x^2 − y > 0 e x^2 − y 6 = 1} = {(x, y) ∈ R^2 ; y < x^2 e y 6 = x^2 − 1 } x
y
− 2 − 1 1 2
− 2
− 1
1
2
3
4
0
(b)
- Para c = − 1 , f (x, y) = − 1 y^2 − x^2 = − 1 x^2 − y^2 = 1
- Para c = 0, f (x, y) = 0 y^2 − x^2 = 0 x^2 = y^2 y = ±x
- Para c = 1, f (x, y) = 1 y^2 − x^2 = 1
x
y
− 2 − 1 1 2
− 2
− 1
1
2
0
c = 0
c = 0
c = − 1 c = − 1
c = 1
c = 1
Quest˜ao 2 : Seja f definida por
f (x, y) =
x^3 y^2 x^2 + y^2 se (x, y) 6 = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) (a) (10 pontos) A fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel para (x, y) 6 = (0, 0)? Justifique. (b) (10 pontos) Determine ∂f ∂v (1, −1), em que v = (2, −1). (c) (10 pontos) A fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel (0, 0)? Justifique. Dica: Para verificar que uma fun¸c˜ao f, de duas vari´aveis, ´e limitada, deve-se verificar que |f (x, y)| ≤ M, para algum M > 0. Duas limita¸c˜oes que podem ser ´uteis e que, se utilizadas, de- vem ser verificadas s˜ao: |x| √ x^2 + y^2
≤ 1 e x^2 x^2 + y^2
Solu¸c˜ao: (a) Para (x, y) 6 = (0, 0), as derivadas parciais s˜ao dadas por ∂f ∂x
(x, y) = (x^2 + y^2 ) · 3 x^2 y^2 − x^3 y^2 · (2x) (x^2 + y^2 )^2
3 x^2 y^4 + x^4 y^2 (x^2 + y^2 )^2 ∂f ∂y (x, y) = (x^2 + y^2 ) · 2 x^3 y − x^3 y^2 · (2y) (x^2 + y^2 )^2
2 x^5 y + x^3 y^3 (x^2 + y^2 )^2
As derivadas parciais s˜ao quociente de fun¸c˜oes cont´ınuas, em que o denominador ´e n˜ao nulo. Logo, a fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel para (x, y) 6 = (0, 0). (b) Como f ´e diferenci´avel em (1, −1), vale a igualdade ∂f ∂v
(1, −1) = ∇f (1, −1) ·
−→v ‖−→v ‖
Pelos c´alculos efetuados no item anterior, temos ∇f (1, −1) =
e
−→v ‖−→v ‖
Logo, ∂f ∂v
(c) Para estudar a diferenciabilidade de f em (0, 0), necessitamos das derivadas parciais na origem, de devem ser calculadas pela defini¸c˜ao. Assim, ∂f ∂x (0, 0) = lim t→ 0 f (t, 0) − f (0, 0) t = lim t→ 0
t = 0 e ∂f ∂y (0, 0) = lim t→ 0 f (0, t) − f (0, 0) t = lim t→ 0
t
Utilizando a defini¸c˜ao de diferenciabilidade,
lim (x,y)→(0,0)
f (x, y) − f (0, 0) − x · fx(0, 0) − y · fy(0, 0) √ x^2 + y^2
= lim (x,y)→(0,0)
x^3 y^2 √^ x^2 +y^2 x^2 + y^2
= lim (x,y)→(0,0)
x^3 y^2 (x^2 + y^2 )^3 /^2
= lim (x,y)→(0,0)
x^2 · x √ x^2 + y^2
y^2 x^2 + y^2
O limite anterior ´e zero, visto que ´e o produto de uma fun¸c˜ao que tende a zero e outras duas limitadas, visto que
x √ x^2 + y^2
≤ √x|x (^2) +|y 2 =
√x 2 √ x^2 +y^2 ≤
√x^2 +y^2 x 2+y^2 = 1 e^
y^2 x^2 +y^2 ≤^
x^2 +y^2 x^2 +y^2 = 1.
Quest˜ao 4 : Seja f fun¸c˜ao definida por f (x, y) = sen x + ey.
(a) (10 pontos) Determine a equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico de f, no ponto (π, 0 , 1). (b) (10 pontos) No ponto (π, 1), qual dire¸c˜ao e sentido em que a fun¸c˜ao f apresenta menor taxa de varia¸c˜ao. Qual o valor desta taxa? (c) (10 pontos) Suponha que x(u, v) e y(u, v) s˜ao fun¸c˜oes diferenci´aveis, tais que x(− 1 , 0) = π, y(− 1 , 0) = 0,
∂x ∂u
∂x ∂v
∂y ∂u (− 1 , 0) = 1 e
∂y ∂v (− 1 , 0) = − 2. Determine ∂f ∂u (− 1 , 0) e ∂f ∂v
Solu¸c˜ao: (a) Como a fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em (π, 0), um vetor normal ao gr´afico de f em (π, 0 , 1) ´e
−→n =
∂f ∂x
(π, 0), ∂f ∂y
(π, 0), − 1
Como ∂f ∂x (x, y) = cos x e ∂f ∂y (x, y) = ey, temos que ´e um vetor normal pode ser considerado como sendo −→n = (− 1 , 1 , −1). Assim, a equa¸c˜ao do plano tangente, ao gr´afico de f, no ponto (π, 0 , 1) ´e dada por (x − π, y, z − 1) · (− 1 , 1 , −1) = 0 −x + y − z = −π − 1.
(b) A menor taxa de varia¸c˜ao de f, no ponto (π, 1), se d´a na dire¸c˜ao e sentido de −∇f (π, 1) = (− 1 , e). Tal taxa ´e dada por −‖∇f (π, 1)‖ = −
1 + e^2.
(c) Como as fun¸c˜oes s˜ao diferenci´aveis, pela Regra da Cadeia, temos ∂f ∂u
∂f ∂x (π, 0) · ∂x ∂u
∂f ∂y (π, 0) · ∂y ∂u
e ∂f ∂v
∂f ∂x (π, 0) · ∂x ∂v
∂f ∂y (π, 0) · ∂y ∂v
