Baixe Gabaritos provas mat243 e outras Provas em PDF para Cálculo para Engenheiros, somente na Docsity! Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática 1a Prova - MAT243 - Cálculo Diferencial e Integral III - 23/05/2022 Nome: Matŕıcula: Em todas as questões justifique suas respostas. Boa Prova! Questão 1 : Faça o que se pede em cada um dos itens abaixo. (a) (10 pontos) Determine o domı́nio da função definida por f(x, y) = sen(xy) ln(x2 − y) . Esboce, no plano xy, tal região. (b) (10 pontos) Esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, as curvas de ńıvel, para os ńıveis c = −1, 0, 1, da função definida por f(x, y) = y2 − x2. Solução: (a) Neste caso, a restrição encontra-se no denominador e no argumento da função logaŕıtmica. Dom(f) = {(x, y) ∈ R2; x2 − y > 0 e x2 − y 6= 1} = {(x, y) ∈ R2; y < x2 e y 6= x2 − 1} x y −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 3 4 0 (b) • Para c = −1, f(x, y) = −1 y2 − x2 = −1 x2 − y2 = 1 • Para c = 0, f(x, y) = 0 y2 − x2 = 0 x2 = y2 y = ±x • Para c = 1, f(x, y) = 1 y2 − x2 = 1 x y −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 0 c = 0 c = 0 c = −1 c = −1 c = 1 c = 1 1 de 4 Questão 2 : Seja f definida por f(x, y) = x3y2 x2 + y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) (a) (10 pontos) A função f é diferenciável para (x, y) 6= (0, 0)? Justifique. (b) (10 pontos) Determine ∂f ∂v (1,−1), em que v = (2,−1). (c) (10 pontos) A função f é diferenciável (0, 0)? Justifique. Dica: Para verificar que uma função f, de duas variáveis, é limitada, deve-se verificar que |f(x, y)| ≤ M, para algum M > 0. Duas limitações que podem ser úteis e que, se utilizadas, de- vem ser verificadas são: |x|√ x2 + y2 ≤ 1 e x2 x2 + y2 ≤ 1. Solução: (a) Para (x, y) 6= (0, 0), as derivadas parciais são dadas por ∂f ∂x (x, y) = (x2 + y2) · 3x2y2 − x3y2 · (2x) (x2 + y2)2 = 3x2y4 + x4y2 (x2 + y2)2 ∂f ∂y (x, y) = (x2 + y2) · 2x3y − x3y2 · (2y) (x2 + y2)2 = 2x5y + x3y3 (x2 + y2)2 . As derivadas parciais são quociente de funções cont́ınuas, em que o denominador é não nulo. Logo, a função f é diferenciável para (x, y) 6= (0, 0). (b) Como f é diferenciável em (1,−1), vale a igualdade ∂f ∂v (1,−1) = ∇f(1,−1) · −→v ‖−→v ‖ . Pelos cálculos efetuados no item anterior, temos ∇f(1,−1) = ( 1,−3 4 ) e −→v ‖−→v ‖ = ( 2√ 5 ,− 1√ 5 ) . Logo, ∂f ∂v (1,−1) = ( 1,−3 4 ) · ( 2√ 5 ,− 1√ 5 ) = 1√ 5 ( 2 + 3 4 ) = 11 4 √ 5 . (c) Para estudar a diferenciabilidade de f em (0, 0), necessitamos das derivadas parciais na origem, de devem ser calculadas pela definição. Assim, ∂f ∂x (0, 0) = lim t→0 f(t, 0)− f(0, 0) t = lim t→0 0 t = 0 e ∂f ∂y (0, 0) = lim t→0 f(0, t)− f(0, 0) t = lim t→0 0 t = 0. Utilizando a definição de diferenciabilidade, lim (x,y)→(0,0) f(x, y)− f(0, 0)− x · fx(0, 0)− y · fy(0, 0)√ x2 + y2 = lim (x,y)→(0,0) x3y2 x2+y2√ x2 + y2 = lim (x,y)→(0,0) x3y2 (x2 + y2)3/2 = lim (x,y)→(0,0) ( x2 · x√ x2 + y2 · y2 x2 + y2 ) = 0. O limite anterior é zero, visto que é o produto de uma função que tende a zero e outras duas limitadas, visto que ∣∣∣∣∣ x√ x2 + y2 ∣∣∣∣∣ ≤ |x|√ x2+y2 = √ x2√ x2+y2 ≤ √ x2+y2√ x 2+y2 = 1 e y2 x2+y2 ≤ x2+y2 x2+y2 = 1. 2 de 4
