GeoGebra - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

PROGRAMA DE VERÃO – 2009

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - UFPR

Ge Gebra

Aplicações ao Ensino da Matemática

Curitiba

Março - 2009

• Ilustração 1 - Janela de download............................................................................. LISTA DE ILUSTRAÇÕES
• Ilustração 2 - Tela inicial do GeoGebra .....................................................................
• Ilustração 3 - Barra de ferramentas de acesso rápido...............................................
• Ilustração 4 - Ícone seleção.......................................................................................
• Ilustração 5 - Ícone ponto..........................................................................................
• Ilustração 6 – Ícone reta ............................................................................................
• Ilustração 7 - Ícone propriedades ..............................................................................
• Ilustração 8 - Ícone polígono .....................................................................................
• Ilustração 9 - Ícone curvas ........................................................................................
• Ilustração 10 - Ícone medidas ...................................................................................
• Ilustração 11 - Ícone simetrias...................................................................................
• Ilustração 12 - Ícone de ferramentas extras ..............................................................
• Ilustração 13 - Ícone estilo ........................................................................................
• APRESENTAÇÃO....................................................................................................... SUMÁRIO
• 1 CONTEÚDOS MATEMÁTICOS DOS PCN’S.....................................................
• 1.1 TÓPICOS DO ENSINO FUNDAMENTAL.....................................................
• 1.2 TÓPICOS DO ENSINO MÉDIO....................................................................
• 2 CONHECENDO O GEOGEBRA ........................................................................
• 2.1 ORIGEM .......................................................................................................
• 2.2 INSTALAÇÃO DO PROGRAMA...................................................................
• 2.3 RECONHECIMENTO DO PROGRAMA .......................................................
• 3 DEFINIÇÕES E TEOREMAS.............................................................................
• 3.1 PONTO, RETA E PLANO .............................................................................
• 3.2 CÍRCULO .....................................................................................................
• 3.3 DIÂMETRO...................................................................................................
• 3.4 SEMICÍRCULO.............................................................................................
• 3.5 SEGMENTO .................................................................................................
• 3.5.1 Medida de segmento............................................................................
• 3.6 POLIGONAL .................................................................................................
• 3.7 PONTO MÉDIO ............................................................................................
• 3.8 PARALELAS.................................................................................................
• 3.9 SEMIRRETA.................................................................................................
• 3.10 ÂNGULO ..................................................................................................
• 3.10.1 Classificação de ângulos......................................................................
• 3.10.2 Bissetriz................................................................................................
• 3.11 PERPENDICULARES ..............................................................................
• 3.12 MEDIATRIZ ..............................................................................................
• 3.13 CONJUNTO CONVEXO...........................................................................
• 3.14 DISCO ......................................................................................................
• 3.15 SEMIPLANO ............................................................................................
• 3.16 POLÍGONO ..............................................................................................
• 3.16.1 Polígono convexo.................................................................................
• 3.16.2 Polígono regular ...................................................................................
• 3.16.3 Classificação dos polígonos.................................................................
• 3.17 SUBCONJUNTOS DO CÍRCULO: ...........................................................
• 3.17.1 Arco de círculo .....................................................................................
• 3.17.2 Corda ...................................................................................................
• 3.17.3 Círculo circunscrito...............................................................................
• 3.17.4 Círculo inscrito......................................................................................
• 3.18 TRIÂNGULO.............................................................................................
• 3.18.1 Cevianas ..............................................................................................
• 3.18.2 Classificação dos triângulos.................................................................
• 3.18.3 Elementos notáveis do triângulo ..........................................................
• 3.18.4 Pontos notáveis do triângulo ................................................................
• 3.19 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS ........................................................
• 3.19.1 Casos de congruência:.........................................................................
• 3.20 TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA ....................................
• 3.21 SEMELHANÇA de triângulos ...................................................................
• 3.21.1 Casos de semelhança..........................................................................
• 3.22 Região poligonal.......................................................................................
• 3.23 ÁREA........................................................................................................
• 3.24 PERÍMETRO ............................................................................................
• 3.25 QUADRILÁTEROs ...................................................................................
• 3.26 EQUIVALÊNCIA DE Polígonos ................................................................
• 3.27 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA EQUIVALÊNCIA ..........................
• 3.28 TEOREMA DE TALES .............................................................................
• 3.29 TEOREMA DE PITÁGORAS ....................................................................
• 3.30 PROBLEMA GERAL DE QUADRATURA ................................................
• 4 EXPLORAÇÃO DE FUNÇÕES ..........................................................................
• 4.1 FUNÇÃO ......................................................................................................
• 4.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ......................................................................
• 4.3 PARTE ALGÉBRICA ....................................................................................
• 4.4 EQUAÇÕES .................................................................................................
• 5 criação de ferramentas, ANIMAÇÕES E EXPORTAÇÃO..................................
• 6 REFERÊNCIAS..................................................................................................
• 7 ANEXO...............................................................................................................
• ATIVIDADES .............................................................................................................
• 7.1 Atividade 01 – Ponto, reta e segmento 01....................................................
• 7.2 Atividade 02 – Ponto, reta e segmento 02....................................................
• 7.3 Atividade 03 – Círculos.................................................................................
• 7.4 Atividade 04 – Arcos.....................................................................................
• 7.5 Atividade 05 – Segmento, ponto médio, mediatriz e perpendicular ..............
• 7.6 Atividade 06 – Paralelas ...............................................................................
• 7.7 Atividade 07 – Ângulos e bissetrizes ............................................................
• 7.8 Atividade 08 – Triângulos .............................................................................
• 7.9 Atividade 09 – Construção de triângulos a partir de elementos dados. ........
• 7.9.1 Construir triângulo ABC, sendo dados: ................................................
• 7.9.2 Construir o triângulo ABC, retângulo em A, dados:..............................
• 7.9.3 Construir triângulo ABC, dados dois ângulos Bˆ =60° e Cˆ =45°, e......
• hc=2,5cm. .......................................................................................................... 7.9.4 Construir o triângulo ABC dadas as três alturas. ha=4,5cm, hb=3,5cm e
• 7.9.5 Construir o triângulo ABC, dados.........................................................
• 7.10 Atividade 10 – Congruência .....................................................................
• 7.11 Atividade 11 – Áreas e perímetro .............................................................
• 7.12 Atividade 12 – Quadriláteros ....................................................................
• 7.13.1 Construir um quadrado dados:.............................................................
• 7.13.2 Construir um retângulo dados: .............................................................
• 7.13.3 Construir um losango dados: ...............................................................
• 7.13.4 Construir um paralelogramo ABCD dados: ..........................................
• 7.13.5 Construir um trapézio ABCD dados: ....................................................
• 7.13.6 Construir um trapézio isósceles dados:................................................
• 7.13.7 Construir um trapézio retângulo em A dados: ......................................
• 7.14 Atividade 14 – Tales .................................................................................
• 7.15 Atividade 15 – Semelhança......................................................................
• 7.16 Atividade 16 – Equivalência de áreas.......................................................
• 7.17 Atividade 17 – Pitágoras...........................................................................
• 7.18 Atividade 18 – Funções ............................................................................
• 7.19 Atividade 19 – Macros ..............................................................................
• 7.20 Atividade 20 – Extras................................................................................

APRESENTAÇÃO

O GeoGebra é um software de acesso livre, (é permitido utilizar, copiar e distribuir o aplicativo para fins não comerciais) e por isso mesmo poder vir a ser um importante aliado dos professores como recurso metodológico. Permite a abordagem de diversos conteúdos trabalhados na Educação Básica (Ensino Fundamental e Médio), especialmente Geometria e Funções. Por meio da construção interativa de figuras e objetos, podemos melhorar a compreensão dos alunos através da visualização, percepção dinâmica de propriedade, estímulo heurístico à descoberta e obtenção de conclusões "validadas" na experimentação. O presente trabalho é fruto de uma pesquisa, que tem como principal objetivo formular material didático de apoio ao professor, apresentando instruções de utilização do programa na abordagem de conteúdos matemáticos. O uso do software facilita a compreensão e aprofundamento dos conceitos por parte dos alunos. Pretendemos mostrar que é possível utilizá-lo como ferramenta que desperte no aluno, de níveis fundamental e médio, o interesse pela busca do conhecimento matemático através da dinamicidade presente no GeoGebra.

2 CONHECENDO O GEOGEBRA

2.1 ORIGEM

O programa desenvolvido por Markus Hohenwarter, professor da Universidade de Salzburg, com o intuito de dinamizar o estudo da Matemática, e de maneira a facilitar sua utilização, pode ser encontrado com facilidade em sites de busca ou no endereço: www.geogebra.at Reunindo Geometria, Álgebra e Cálculo, o software permite relações entre suas respectivas janelas, podendo ser utilizado em diversos níveis de ensino.

2.2 INSTALAÇÃO DO PROGRAMA

Primeiramente, deve-se baixar a última versão do software GeoGebra, procedendo da seguinte forma:

1. Acessar o site : www.geogebra.org
2. Clicar na opção Download que fica na coluna esquerda da tela.
3. Clicar em: Download GeoGebra.
4. Aparecerá em parte da tela, a figura 1 desta atividade, onde deverá selecionar a opção de acordo com o seu sistema operacional.
5. No caso do Windows , ao aparecer a próxima tela,clicar em salvar.
6. Criar uma pasta para o GeoGebra , clicando em nova pasta.
7. Dar dois cliques na nova pasta para selecioná-la, em seguida clicar em SALVAR.

Ilustração 1 - Janela de download

8. Aguardar...
9. Ao concluir o donwload , clicar em FECHAR.
10. Abrir o ícone GeoGebra , que deverá estar na pasta escolhida.
11. Abrir o arquivo GeoGebra , com um clique duplo.
12. Clicar em EXECUTAR.
13. Selecionar o idioma, e clicar no botão OK.
14. Clicar em AVANÇAR.
15. Selecionar Aceito os termos do Contrato de Licença (após ler, é claro!) e clicar no botão Avançar em cada tela que for aparecendo.
16. Aguardar a instalação...
17. Clicar em AVANÇAR e em seguida em CONCLUÍDO.
18. Finalmente aparecerá a tela do GeoGebra para iniciar o trabalho. Observação: Caso não consiga executar o programa, será necessário baixar a máquina virtual Java, a partir do site http://www.java.com/getjava/

2.3 RECONHECIMENTO DO PROGRAMA

Vamos então conhecer a interface do GeoGebra. Ao acessar o programa temos uma janela como a seguinte.

Ilustração 2 - Tela inicial do GeoGebra

Ilustração 4 - Ícone seleção

Ilustração 5 - Ícone ponto As opções do ícone ponto são as seguintes:

Novo ponto: para criá-lo você precisa clicar primeiro no ícone, e depois na parte geométrica. O ponto será carregado na tela enquanto o botão do mouse não for solto, só depois disso é que o ponto será criado efetivamente. Durante o movimento, as coordenadas aparecem na parte algébrica, se ela estiver ativada.

Interseção de dois objetos: pode ser selecionando dois objetos e os pontos de interseção serão marcados. A outra opção é clicar na interseção dos objetos, mas neste caso somente este ponto será marcado.

Ponto médio ou centro: para utilizar esta ferramenta, clique em:

• dois pontos para encontrar o ponto médio;
• em um segmento para encontrar seu ponto médio;
• em uma secção cônica para obter seu centro.

Teremos a seguir a apresentação das opções de cada ícone:

Ilustração 6 – Ícone reta

Ilustração 7 - Ícone propriedades

Ilustração 8 - Ícone polígono

Ilustração 11 - Ícone simetrias

Ilustração 12 - Ícone de ferramentas extras

Ilustração 13 - Ícone estilo

⇒ Sua construção é feita com a ferramenta círculo do ícone curvas as opções são: círculo dado dois pontos, círculo dado um ponto e o raio ou ainda com a ferramenta seletor (está no ícone de ferramentas extras) que consiste em criar um intervalo de variação para a distância.

3.3 DIÂMETRO

Dada uma reta passando pelo centro do círculo, os pontos de interseção com o círculo determinam sobre a reta um segmento chamado diâmetro.

OBSERVAÇÃO: Neste texto Circunferência e Círculo serão considerados sinônimos, mas em vários textos didáticos, é costume usar o primeiro nome para se referir apenas à borda, enquanto o segundo pode significar tanto o interior reunido com a borda quanto somente a borda. Usaremos o termo Círculo e o seu significado ficará claro no contexto.

3.4 SEMICÍRCULO

Toda reta pelo centro de um círculo divide-o em dois semicírculos.

3.5 SEGMENTO

É o conjunto de pontos compreendidos entre dois pontos A e B tomados sobre uma reta, juntamente com A e B, que são extremidades do segmento. É

representado por AB.

3.5.1 Medida de segmento

A cada segmento AB corresponde um número real positivo, que é a medida do segmento. Dizemos também que esse número é a distância entre A e B. Notação: AB.

3.6 POLIGONAL

Uma poligonal, A 1 , A2,..., An^ é a reunião de finitos segmentos A A 1 2 , A A 2 3 ,

..., An-1^ A n sequenciais tendo como interseção apenas os pontos A 2 ,A 3 ,... An-1. Se An coincide com A 1 então a poligonal é fechada.

3.7 PONTO MÉDIO

Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento AC^ se M está entre A e C e AM = MC.

3.8 PARALELAS

São retas que não se intersecam.

3.9 SEMIRRETA

Dados dois pontos A e B sobre uma reta. A semirreta AB

uuur é a reunião do

segmento AB com os pontos C da reta tais que B está entre A e C. O ponto A é chamado origem da semirreta.

3.10 ÂNGULO

É a figura plana formada pela reunião de duas semirretas de mesma origem. A origem comum O chama-se vértice e as semi-retas chamam-se lados. A cada ângulo corresponde um número real entre 0 e 180 que é a sua medida, nesse caso sua medida é dada em graus.

⇒ Podemos fazer ângulo de amplitude fixa, clicando na opção do ícone medidas e em dois pontos onde quer que o ângulo seja construído e abrirá uma janela pedindo a medida do ângulo.