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Geometria Espacial
1. Introdução
1.1. Ponto
Eventualmente já trabalhamos com figuras tais como: o círculo, o ponto e o quadrado.
Em figuras como essas, podemos localizar pontos. Por exemplo: os centro do círculo: o ponto O os vértices do triângulo: os pontos A, B, e C os vértices do quadrado: os pontos M, N, P e Q.
1.2. Reta
Com as mesmas figuras acima, podemos identificar e representar retas, por exemplo:
Observemos que:
- Pelo centro do círculo passam tantas retas quantas quisermos e dizemos que por esse ponto passam infinitas retas.
Pelo ponto o passam infinitas retas s, t, u, v, x, ...
- Por dois vértices do triângulo passa uma e uma só reta e dizemos que dois pontos distintos determinam uma única reta.
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Os pontos B e C determinam a reta BC. A reta BC não é “limitada”, ela não “pára” em B, nem em C, nem em ponto algum. O ponto A não está na reta BC, isto é, o ponto A está fora da reta BC, ele não pertence a esta reta.
- O ponto R, centro do quadrado, está na reta MP, ou seja, M, R e P estão numa mesma reta M, R e P estão alinhados, isto é, M, R e P são colineares.
1.3. Semi-reta
Considerando o ponto R da reta MP, ele divide essa reta em duas semi retas: a semi-reta de origem em R e que passa por M e a semi-reta com origem em R e que passa por P. Estas duas semi-retas, RM e RP, são semi retas opostas.
Até agora apresentamos uma série de conceitos tendo como modelos o círculo, o triângulo e o quadrado, que são figuras planas, mas, como vamos estudar a Geometria Espacial, vejamos como exemplo uma figura espacial: o cubo. Temos idéia dele através da experiência, dados, cubos de gelo, caixas, etc.
Notemos que no cubo da figura acima:
- temos pontos: por exemplo, os vértices A, B, C, D, E, F, G, e H.
- podemos idealizar e representar retas: por exemplo, retas que contêm as arestas do cubo, tais como AB, BC, BG, etc.
1.4. Plano
Agora, as faces do cubo como por exemplo o quadrado ABCD, são figuras planas. Observe o plano da face ABCD indicado na figura abaixo. É o plano F 06 1.
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semiplano na reta BD e que contém o ponto C (semiplano F 06 1 ”). Esses dois
semiplanos são opostos.
1.6. Semi-espaço
O espaço é o conjunto de todos os pontos. Vamos ver, com o auxílio de um cubo, como o espaço é dividido.
Considerando o cubo ABCDEFGH e sendo F 06 1 o plano da face ABCD, observamos que os pontos E, F, G, H estão de um mesmo “lado” de F 06 1 e que do outro “lado” de F 06 1 não
existe ponto do cubo. Cada um desses “lados” é um semi-espaço.
Assim, o plano F 06 1 divide o espaço em dois semi-espaços: o semi-espaço de
origem em F 06 1 que não contém os pontos citados (semi-espaço^ F 06 5 ’) e o semi espaço de origem em F 06 1 que não contém os pontos citados (semi-espaço F 06 5 ”). Esses semi-
espaços são opostos.
2. Noções E Proposições Iniciais
O ponto, a reta e o plano são nossas noções iniciais. Necessitamos formar idéia deles e aprendermos a representá-los.
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Precisamos também entender, aceitar e saber representar certas propriedades que o ponto, a reta e o plano possuem. Essas propriedades, que seguem com destaque, são nossas proposições iniciais.
Numa reta fora dela existem tantos pontos quantos quisermos. Essa propriedade nos possibilita “pegar” na reta os pontos que precisarmos,
o mesmo ocorrendo para pontos fora da reta.
Num plano e fora dele existem tantos pontos quanto quisermos.
Dois pontos distintos determinam uma única reta. Com essa propriedade ficamos sabendo que, dados dois pontos distintos A e B, existe exatamente uma reta que os possui, ou que por eles
Três pontos são colineares determinam um único plano. Isso significa que por três pontos não situados numa mesma reta (ou por
três pontos não alinhados) passa só um plano que os possui.
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Um plano pode ser determinado e quatro modos:
Por três pontos não colineares.
Por uma reta e um ponto fora dela.
Basta tomar em r dois pontos distintos A e B e o plano F 06 1 = (r, P).
Por duas retas concorrentes.
Basta tomar um ponto a em r e um ponto B em s, ambos distintos de P, e o
plano F 06 1 = (ABP) é o plano determinado por r e s, isto é,^ F 06 1 = (r, s).
Por duas retas paralelas distintas.
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Basta notar que duas retas distintas paralelas são coplanares, portanto estão num plano. Para perceber que o plano é único, tomamos dois pontos distintos A e B numa das retas e um ponto C na outra. Assim o plano F 06 1 = (ABC) é o plano determinado por r e s, isto é, F 06 1 = (r, s).
Paralelismo No Espaço
1. Posições relativas de dois planos
1.1. Planos secantes
Dois Planos Distintos Que Se Interceptam (Ou Se Cortam) São Chamados Planos Secantes.
Quando dois planos são secantes a interseção deles é uma reta. A única reta comum aos dois planos é a interseção deles ou o traço de um deles no outro.
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Uma reta e um plano são paralelos se, e somente se, eles não tem ponto
comum.
a // F 06 1^ F 0D B a F 0C 7^ F 06 1 = F 0C 6
2.2. Posições relativas
Uma reta (a) e um plano (F 06 1 ) podem apresentar em comum:
- dois pontos distintos; Nesse caso a reta está contida no plano.
a F 0C C^ F 06 1 ;^ F 06 1^ F 0C 7 a = a
- Um único ponto; Nesse caso a reta e o plano são concorrentes ou, ainda, a reta e o plano são secantes. O ponto P é o traço de a em F 06 1.
a F 0C 7^ F 06 1 = {p}
- Nenhum ponto; Nesse caso a reta e o plano são paralelos.
a F 0C 7^ F 06 1 = F 0C 6
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2.3. Resumo
a e F 06 1 {têm ponto comum {único F 0A E a e F 06 1 são secantes (concorrentes)
mais de um F 0A E a está contida em^ F 06 1
não têm ponto comum F 0A E a e F 06 1 são paralelos.
3. Retas reversas
3.1. Preliminares
Consideremos uma reta r e um plano F 06 1 concorrentes e seja P o ponto comum. No plano F 06 1 , tomemos uma reta s que não passe por P. Notemos que r e s não têm ponto comum e ainda que não existe plano algum contendo r e s simultaneamente.
Consideremos uma reta a paralela a um plano F 06 1. No plano F 06 1 , tomemos uma reta b que não é paralela à reta a. Notemos que a e b não têm ponto comum e ainda não existe plano algum contendo a e b simultaneamente.
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Veja as figuras abaixo.
2º critério: se têm ou não ponto comum.
No espaço, duas retas distintas podem ter ponto comum ou não. Tendo ponto comum, elas são concorrentes; não tendo ponto comum, elas podem ser paralelas (quando estão num mesmo plano) ou reversas (quando não estão num mesmo plano).
4.2. Resumos
r e s{distintas ou coincidentes F 0A E r e s são paralelas {r e s coplanares ou reversas{r e s têm ponto comum F 0A E resconcorrentes ou r e s não tem ponto comum F 0A E r e s são paralelas
As retas têm ou não ponto comum: r e s{distintas ou coincidentes F 0A E r e s são paralelas{ r e s têm ponto
comum F 0A E r e s são concorrentes ou r e s não têm ponto comum{ r e s coplanares F 0A E r e s são paralelas ou r e s não coplanares F 0A E r e s são reversas.
Perpendicularidade No Espaço
1. Ângulo de duas retas reversas
Ângulo de duas retas reversas é o ângulo que uma delas forma com uma reta paralela à outra passando por um ponto da primeira. O ângulo formado pelas retas r e s reversas é o ângulo agudo que a reta r forma com a reta s’, paralela à reta s, por um ponto O pertencente à reta r.
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r e s reversas O F 0C E r
O F 0C E s’ e s’ // s rs = rs’.
2. Retas que formam ângulo reto
2.1. Retas perpendiculares
Consideremos duas retas r e s concorrentes. Elas podem formar ângulo reto ou não.
Quando as retas concorrentes r e s formam ângulo reto, elas são perpendiculares.
Quando as retas concorrentes r e s não formam ângulo reto, elas são oblíquas.
A perpendicularidade de duas retas é uma situação particular de retas concorrentes.
2.2. Retas ortogonais
Duas retas são ortogonais se, e somente se, são reversas e formam
ângulo reto.
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Note, na figura, que a reta d é paralela a b e a c e é perpendicular à reta ª
(a F 05 E d, b // d)^ F 0D E a^ F 05 E b)^ (a^ F 05 E d, c // d)^ F 0D E a^ F 05 E c
3. Reta e plano perpendiculares
3.1 Definição
Uma reta concorrente com um plano num ponto O é perpendicular ao
plano se, somente se, ela é perpendicular a todas as retas do plano que passam por O.
Se a e F 06 1 são concorrentes O e a é perpendicular a qualquer reta x de F 06 1 que passe por O, então a F 05 E^ F 06 1 ,
Se a F 05 E^ F 06 1 em O, então a é perpendicular a qualquer reta x de^ F 06 1 que passa por O. O ponto é dito “pé da perpendicular”.
Se uma reta e um plano são concorrentes e não são perpendiculares, eles são oblíquos.
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A perpendicularidade de reta e plano é uma situação particular de reta e plano secantes (concorrentes)
3.2. Conseqüência
Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com qualquer reta do plano.
De fato, se a é perpendicular a F 06 1 O e x é uma reta qualquer de F 06 1 , temos dois casos a considerar: Se x passa por O, a é perpendicular a x. Se x não passa por O, a é ortogonal a x.
Temos, então: (a F 05 E^ F 06 1 x F 0C C a) a F 05 E x.
4. Planos perpendiculares
4.1. Definição
Dois planos são perpendiculares se, e somente se, um deles contém
uma reta perpendicular ao outro.
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Aplicações
1. Projeção ortogonal
1.1. Projeção de um ponto
A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da perpendicular
ao plano conduzida pelo ponto.
P’ é a projeção ortogonal de P sobre F 06 1. P’ = projF 06 1 A; B’projF 06 1 B;
C’ = projF 06 1 C.
1.2. Projeção de uma figura
A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre o plano.
1.3. Projeção de uma reta
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Para obtermos a projeção de uma reta r sobre um plano F 06 1 , há dois casos a
considerar:
- Se a reta r é perpendicular ao plano F 06 1 , sua projeção ortogonal sobre ele é o traço da reta no plano.
- Se a reta r não é perpendicular ao plano F 06 1 , a sua projeção ortogonal sobre F 06 1 é o traço (interseção) em^ F 06 1 , do plano^ F 06 2 perpendicular a^ F 06 1 , conduzindo por r. O plano F 06 2 é denominado plano projetante de r.
1.4. Projeção de um segmento de reta
Para obtermos a projeção e um segmento de reta AB sobre um plano F 06 1 , também temos dois casos a considerar:
- Se o segmento AB é perpendicular ao plano, a sua projeção ortogonal sobre o plano é um ponto, que é o traço da reta AB em F 06 1.
- Se o segmento de reta AB não é perpendicular ao plano F 06 1 , basta projetar suas extremidades sobre F 06 1 para se obter a projeção do segmento.
2. Distâncias
2.1. Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos distintos A e B é o segmento de reta AB ou qualquer segmento congruente a ele.
Se A e B coincidem ( A = B), a distância entre eles é nula.
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