OBMEP na Escola 2022: Atividade para Professores - Geometria Espacial, Exercícios de Matemática Aplicada

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OBMEP na Escola 2022 3 ª ATIVIDADE PARA OS PROFESSORES Encontro 5 – Áreas laterais de cilindros e cones Volume de sólidos semelhantes, seções e troncos Encontro 6 – Áreas superficial e volume da esfera

Questão 1. Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷 um tetraedro qualquer de volume 𝑉. Sejam 𝑃, 𝑄, 𝑅 e 𝑆 os baricentros das faces deste tetraedro. Mostre que as arestas do tetraedro 𝑃𝑄𝑅𝑆 são respectivamente paralelas às arestas do tetraedro 𝐴𝐵𝐶𝐷. Calcule a razão entre o volume do tetraedro 𝑃𝑄𝑅𝑆 e o volume do tetraedro 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Questão 2. Na figura a seguir, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 é uma pirâmide regular onde todas as arestas medem 6.

(a) Calcule o volume da pirâmide 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. (b) Se 𝑀 é o ponto médio da aresta 𝐸𝐵 e se 𝑁 é o ponto médio da aresta 𝐸𝐶 calcule a razão entre o volume da pirâmide 𝐴𝑀𝑁𝐷𝐸 e o volume da pirâmide 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸.

Anderson Kerlly Rodrigues de Sousa

Questão 3. Na figura da esquerda, em azul, vemos um setor circular de altura ℎ em uma círculo de raio 𝑟. A rotação desse setor em torno do seu eixo de simetria dá origem a uma setor esférico de altura ℎ em uma esfera de raio 𝑟. Demonstre que o volume desse setor esférico é dado por

𝑉𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =

𝜋𝑟^2 ℎ

PROBLEMA 02 (SOLUÇÃO):

(a) Pelo esquema mostrado abaixo, tem-se uma pirâmide de base quadrada ABCD onde o ponto 𝑂 o centro deste. Dessa forma, pelo triângulo retângulo 𝐸𝑂𝐵 tem-se que EB=6 e OB=3√2. Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se que OE^2 = EB^2 - OB^2. Sendo assim,

𝐸𝑂^2 = 62 − (3√2)^2 = 3√ Por outro lado, o volume da pirâmide é dado por

V= 1

3 *^6

(b) Seja 𝑉 o volume da pirâmide original 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. O plano que passa pelos vértices 𝐷, 𝐵 e 𝐸 divide a pirâmide dada em dois tetraedros, sendo que o volume de cada um desses tetraedros é a metade do volume da pirâmide de base quadrada. Daí segue-se

𝐷𝐵𝐴𝐸 = 𝐷𝐵𝐶𝐸ൌ 1 Ȁʹ*V

Pela figura acima e considerando apenas o tetraedro 𝐷𝐵𝐴𝐸, o plano 𝐷𝐴𝑀 passa pela aresta 𝐷𝐴 e pelo ponto médio 𝑀 da aresta oposta. Com isso, pela relação anterior, segue- se

V𝐷𝐴𝑀𝐸 =

2 ×^ V𝐷𝐵𝐴𝐸=

2 ×

Considerando apenas o tetraedro 𝐷𝐵𝐶𝐸, o plano 𝐷𝑀𝑁 passa pela base média 𝑀𝑁 do triângulo 𝐵𝐶𝐸 e passa pelo vértice oposto 𝐷. Assim, tem-se

V𝐷𝑀𝑁𝐸=

4 ×^ V𝐷𝐵𝐶𝐸^ =^

4 ×

Logo V𝐷𝐴𝑀𝑁𝐸= V𝐷𝐴𝑀𝐸+ V𝐷𝑀𝑁𝐸 = 𝑉 4

Assim, a razão desejada é igual a

PROBLEMA 03 (SOLUÇÃO). Observe que o volume do setor esférico dado é a soma do volume do cone com o volume do segmento esférico representados na figura a seguir. Um segmento esférico de uma base é limitado por uma calota esférica e por um disco.

Assim, pelo teorema de Pitágoras 𝑎^2 = 𝑟^2 − (𝑟 − ℎ)^2 = 2𝑟ℎ − ℎ^2. Com efeito, ovolume do cone da figura anterior à esquerda é igual a

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 =

3 𝜋(2𝑟ℎ^ −^ ℎ

(2𝑟^2 − 3𝑟ℎ + ℎ^2 )

VAMNDE/VABCDE