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Geometria Espacial de Posição
Tipologia: Notas de estudo
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A Matemática é a Ciência que estuda os números e as formas. O estudo dos números, suas operações e propriedades, deu origem a Aritmética e possibilitou, posteriormente, o desenvolvimento da Álgebra. A observação do espaço que nos rodeia, juntamente com o estudo da forma dos objetos contidos neste espaço, levou à criação da Geometria. A Geometria surgiu quando o homem necessitou lidar com as formas da natureza, buscando representá-las simbolicamente e compreender as suas relações. Já a Geometria Espacial começa quando o homem produz o tijolo (ou os blocos de pedra) usados em construções. É quando ele descobre aspectos da natureza que até aquele momento não tinha percebido, como o espaço e a sua grandeza, o volume. Foi na Grécia Antiga (do século V ao século II a.C.) que grandes pensadores, entre eles Tales, Pitágoras, Euclides e Arquimedes iniciaram a grande sistematização e o desenvolvimento lógico da linguagem geométrica. A Matemática é a Ciência que estuda os números e as formas. O estudo dos números, suas operações e propriedades, deu origem a Aritmética e possibilitou, posteriormente, o desenvolvimento da Álgebra. A observação do espaço que nos rodeia, juntamente com o estudo da forma dos objetos contidos neste espaço, levou à criação da Geometria. A Geometria surgiu quando o homem necessitou lidar com as formas da natureza, buscando representá-las simbolicamente e compreender as suas relações. Já a Geometria Espacial começa quando o homem produz o tijolo (ou os blocos de pedra) usados em construções. É quando ele descobre aspectos da natureza que até aquele momento não tinha percebido, como o espaço e a sua grandeza, o volume. Foi na Grécia Antiga (do século V ao século II a.C.) que grandes pensadores, entre eles Tales, Pitágoras, Euclides e Arquimedes iniciaram a grande sistematização e o desenvolvimento lógico da linguagem geométrica.
Introdução a Geometria Espacial A geometria espacial é dividida basicamente em geometria espacial de posição e geometria espacial métrica. A primeira estuda a posição relativa de pontos e retas, retas e retas, retas e planos e planos e planos. A Segunda estuda os sólidos geométricos, suas propriedades e o cálculo de volumes. Conceitos primitivos da geometria: são conceitos adotados sem definição. São eles: o Ponto, a Reta e o Plano. 1. Ponto: P A geometria espacial é dividida basicamente em geometria espacial de posição e geometria espacial métrica. A primeira estuda a posição relativa de pontos e retas, retas e retas, retas e planos e planos e planos. A Segunda estuda os sólidos geométricos, suas propriedades e o cálculo de volumes. Conceitos primitivos da geometria: são conceitos adotados sem definição. São eles: o Ponto, a Reta e o Plano. 1. Ponto: P Características:
Introdução a Geometria Espacial 2. Reta r Características:
Introdução a Geometria Espacial 4. Espaço : é o conjunto de todos os pontos, retas e planos. Nesse conjunto desenvolveremos a Geometria Espacial. É tridimensional.
Introdução a Geometria Espacial Postulados ou Axiomas: São afirmações que relacionam conceitos primitivos e são aceitos sem demonstração. Em última instância, os postulados ou axiomas caracterizam e definem os termos primitivos. Teoremas: Propriedades que podem ser justificadas(demonstradas) com base nos postulados. Postulados ou Axiomas: São afirmações que relacionam conceitos primitivos e são aceitos sem demonstração. Em última instância, os postulados ou axiomas caracterizam e definem os termos primitivos. Teoremas: Propriedades que podem ser justificadas(demonstradas) com base nos postulados.
Postulado 2 (Determinação)
Postulado 3 (Inclusão) Se dois pontos distintos de uma reta r pertencem a um plano α, então a reta r está contida no plano α. α r
Admitindo válidos os resultados decorrentes dos postulados acima, juntamente com as propriedades específicas dos objetos da geometria plana, enunciamos agora os postulados básicos da geometria espacial. Postulado 1 : Por dois pontos do espaço passa uma e somente uma reta. Admitindo válidos os resultados decorrentes dos postulados acima, juntamente com as propriedades específicas dos objetos da geometria plana, enunciamos agora os postulados básicos da geometria espacial. Postulado 1 : Por dois pontos do espaço passa uma e somente uma reta.
Postulado 2 : Dada uma reta do espaço, existem pontos que pertencem à reta e pontos que não pertencem à reta. Postulado 3 : Por três pontos do espaço, não situados na mesma reta, passa um e somente um plano.
Teorema(Determinação de um plano): i) Uma reta r e um ponto A exterior a esta reta determinam um único plano; ii) Duas retas concorrentes s e t, determinam um único plano; iii) Duas retas paralelas e distintas determinam um único plano. r (^) r r A i s r P ii r s iii Prova: A demonstração faz uso item ii do postulado 2 e consiste apenas em se escolher três pontos não colineares.
Postulado 5 : Se dois planos possuem um ponto em comum, então eles possuem pelo menos mais um ponto em comum e, portanto, pelo menos uma reta em comum. r α β P Uma consequência direta do postulado 5 é que existem apenas três posições relativas para dois planos: eles podem ser coincidentes, paralelos ou secantes.
Posições Relativas de duas retas no espaço Definição 1 : Duas retas do espaço são paralelas quando não possuem ponto comum mas estão contidas no mesmo plano. Definições α r s Definição 2 : Duas retas do espaço são concorrentes quando possuem um único ponto comum e estão contidas no mesmo plano. s r P r ∩ s = ∅
