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GEOMETRIA ESPACIAL
PRISMAS
Dados um polígono ABC…MN situado num plano α e outro polígono A’B’C’..M’N’ congruente ao primeiro e situado num plano paralelo β (β ≠ α), chama-se prisma o sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade num ponto de ABC…MN ou em sua região interna e outra num ponto de A’B’C’…M’N’ ou em sua região interna.
Elementos, denominação e classificação
No prisma do exemplo acima, destacamos:
● α e β são os planos paralelos das bases;
● Os hexágonos congruentes ABCDEF ⊂ α e
A’B’C’D’E’F’ ⊂ β são as bases do prisma;
● Os paralelogramos A’ABB’, B’BCC’, C’CDD’,…, F’FAA’ são as faces laterais do prisma;
● Os lados dos polígonos das bases: AB , BC , …,
FA , A' B',…, E'F' , F' A'são as arestas das bases;
● A, B, C…,F, A’, B’, …, F’ são os vértices do prisma;
● Os prismas são designados de acordo com o número de lados dos polígonos das bases:
base prisma triângulo triangular quadrilátero quadrangular pentágono pentagonal hexágono hexagonal
e assim por diante;
● Se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases, o prisma é reto. Exemplo:
● Se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases, o prisma é dito oblíquo.
● O prisma será regular se for reto e sua base for um polígono regular.
● Altura do prisma é a distância entre os planos das bases.
Área da base (AB)
É a área de um das bases do prisma.
Área lateral (AL)
É soma das áreas das faces laterais.
Área total (AT)
É a soma das áreas de todas as faces do prisma.
Volume (V)
O volume do prisma é dado pelo produto da área da base pela altura:
Vamos resolver!
- Dado o prisma hexagonal regular da figura abaixo, calcule:
a) o apótema da base b) a área total c) o volume
- (MACK-SP) A área total de um prisma triangular regular cujas arestas são todas congruentes entre si e
cujo volume é 54 3 vale:
A) 18 3 + 108
B) 108 3 + 18
C) 108 3 − 18
D) 54 3 + 16
E) 36 3 + 12
Paralelepípedos
Paralelepípedo é um prisma cujas faces são paralelogramos.
● A área total do paralelepípedo é a soma das áreas dos seis paralelogramos;
● Se as faces laterais de um paralelepípedo são retangulares, então ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo;
● A área total de um paralelepípedo retângulo é dada por:
● O volume do paralelepípedo retângulo é dado por:
● A diagonal de um paralelepípedo retângulo é dado por:
Cubo
É um paralelepípedo que possui todas as faces quadradas.
Resolva em casa!
- (UFPE) Uma formiga (ignore seu tamanho) encontra-se no vértice A do paralelepípedo reto ilustrado abaixo. Qual a menor distância que ela precisa percorrer para chegar ao vértice B (caminhando sobre a superfície do paralelepípedo)?
- (UFPE) Dois cubos C 1 e C 2 são tais que a aresta de C 1 é igual à diagonal de C 2. Se V 1 e V 2 são, respectivamente, os volumes dos cubos C 1 e C 2 , então, a razão V 1 / V 2 é igual a:
A) 3 3 D) (^3) 3
B) 27 E) 3 9
C)
- (UFPE/04) Um cubo tem aresta 23 .3^2. Para quantos naturais n, este cubo pode ser dividido em (mais de um) cubos congruentes de aresta n?
A) 7 D) 13
B) 9 E) 15
C) 11
- (ITA/05) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200º. O número de vértices deste prisma é igual a
A) 11. D) 20.
B) 32. E) 22.
C) 10.
- (UPE/07) Um prisma com 3m de altura tem seção transversal, como se mostra na figura ao lado. Calcule o volume, em m³, deste prisma.
A) 24
B) 30
C) 36
D) 48
E) 54
- (UPE/01) O tronco de prisma reto, figura abaixo, tem por base um quadrado inscrito num círculo de raio 2 2 cm. A altura maior mede 10cm e a altura menor mede 7cm. Podemos afirmar que
A) a área lateral do tronco é 120cm² B) a área total do tronco é 158cm² C) a área lateral do tronco é 162cm² D) o volume do tronco é 160cm³ E) volume do tronco é 136cm³
- (UFPE/03) De um paralelepípedo reto-retângulo com dimensões x, 3x e 6x, são removidos dois cubos de aresta x, como indicado na figura. Qual o comprimento da aresta do cubo cujo volume é igual ao do sólido resultante?
A) 232 x B) 3 2 x C) 4x D) 332 x E) 233 x
- (UECE/02) Na figura, as arestas do cubo medem 1m e estão divididas em 4 parte iguais. A poligonal ABCDE construída sobre as faces do cubo mede:
A) 13 m
B) 15 m
C) 17 m D) 19 m
- (UNEB/06) Um paralelepípedo retângulo tem 132m² de área total, e as medidas suas arestas são termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 3. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o volume desse paralelepípedo mede, em m³,
- (UNEB/07) Quatro quadrados iguais são recortados dos cantos de um papelão retangular de 30 cm de comprimento por 20 cm de largura. Dobrando-se as abas para cima, tem-se uma caixa, sem tampa, cujo volume é uma função da largura dos quadrados recortados. O domínio dessa função é
- {x∈ R; x > 15} 04) {x∈ R;0< x < 15}
- {x∈ R; x > 10} 05) {x∈ R;0< x < 10}
- {x∈ R; 10 < x < 15}
E
A
B
C
D
- (UNIVASF/09) Um paralelepípedo reto de base quadrada, como o ilustrado a seguir, deve ser construído de tal modo que a soma das suas arestas seja 36cm, e a área total de sua superfície seja máxima. Qual o volume do paralelepípedo?
A) 29cm³ B) 28cm³ C) 27cm³ D) 26cm³ E) 25cm³
- (MACK/2008) Dois paralelepípedos retângulos de mesmas dimensões cortam-se conforme a figura, sendo igual a 1 o volume da região assinalada. Se ABCD é um quadrado, e o volume total do sólido obtido, incluindo a região assinalada, é 9, a dimensão b é igual a:
A) 2
B) 6
C) 5
D) 3
E) 4
- (UFMG/2008) Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST. Cada aresta do cubo mede 4 cm e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é CORRETO afirmar que a área lateral total do sólido OPQRST mede
A) 8 2 cm²
B) 8 3 cm²
C) 16 2 cm²
D) 16 3 cm²
- (UNIVASF/08.2) Um reservatório tem a forma de um paralelepípedo reto, ABCDEFGH, com 5m de comprimento, 3m de profundidade e 0,8m de altura. Ele está preenchido com água até certa altura. Quando inclinado até que o nível de água atinja a aresta EH, três quartos da base ficam cobertos com água, como ilustrado a seguir. Qual a altura da água no reservatório, antes de ser inclinado?
A) 0,3m B) 0,4m C) 0,5m D) 0,6m E) 0,7m
- (UNIVASF/07) Um pedaço de queijo tem a forma de um prisma triangular reto tendo por base um triângulo com um dos lados medindo 8cm, como ilustrado a seguir. O queijo deve ser dividido em dois pedaços de mesmo volume por um plano paralelo a uma das faces, como ilustrado acima. Qual o valor de x?
- (UESB/2007) Uma empresa prepara caixas em forma de cubos, com volume V=343cm³. Para economizar espaço, elas ficam desmontadas e guardadas em uma gaveta, como mostra a figura. Nessas condições, pode-se concluir que a área da base da gaveta, em cm², é igual a:
A) 588
B) 392
C) 196
D) 441
E) 294
- (UFPE) Qual o número de lados das faces de um poliedro regular com 20 vértices e 30 arestas?
- (UNICAP) Um dodecaedro convexo possui todas as faces pentagonais. Determine o número de vértices do poliedro.
- (UFPE) O sólido convexo da figura abaixo é obtido de um cubo, construindo octógonos em suas faces e unindo os vértices dos octógonos de forma a se obter um sólido com seis faces octogonais, oito faces hexagonais e doze faces retangulares. Indique a soma dos dígitos do número de diagonais do sólido.
Nota: uma diagonal de um poliedro é um segmento unindo dois vértices que não é aresta nem diagonal da face do sólido.
PIRÂMIDE
Considere um polígono ABC…MN, contido num plano α, e um ponto V não pertencente a α. Chama-se pirâmide à reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e outra num ponto qualquer de ABC…MN ou de sua região interna.
Exemplo: Pirâmide quadrangular
Denominação
As pirâmides são denominadas de acordo com o polígono da base:
base pirâmide triângulo triangular quadrilátero quadrangular pentágono pentagonal hexágono hexagonal
e assim por diante;
Pirâmide regular
É uma pirâmide que tem como base um polígono regular e cuja projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base.
Exemplo: Pirâmide triangular regular
Na pirâmide regular da figura:
● g é o apótema da pirâmide (altura de uma face lateral relativa à base);
● m é o apótema da base (apótema do polígono regular da base);
● h é a altura da pirâmide;
● As arestas laterais são congruentes, portanto as faces laterais são triângulos isósceles congruentes;
● A área de uma face lateral é dada por:
Veja uma face lateral da pirâmide da figura!
● Numa pirâmide regular, o polígono da base é regular, portanto, inscritível numa circunferência de raio R, chamado raio da base, veja no exemplo abaixo:
Área da base (AB)
É a área do polígono da base da pirâmide.
Área lateral (AL)
É soma das áreas das faces laterais.
Área total (AT)
É a soma das áreas de todas as faces da pirâmide.
Volume (V)
O volume da pirâmide é dado pela expressão:
Vamos resolver!
- (UPE/07) Na pirâmide regular ao lado, a base é um quadrado inscrito numa circunferência de raio
2 2 cm, e a altura OV excede a aresta da base em
2cm.
Pode-se afirmar que
I II
0 0 o volume da pirâmide é igual a 32 cm³. 1 1 a aresta lateral mede 12 cm.
2 2 o apótema da pirâmide mede 2 10 cm.
3 3 a soma dos ângulos das faces da pirâmide mede 2160º.
4 4 a área lateral da pirâmide mede 16 10 cm².
- (UFPE/05) Um cubo com lados medindo 2m é interceptado por um plano que corta 3 de suas arestas adjacentes à distância a cm de um dos seus vértices (veja a ilustração abaixo). Sabendo que o
volume do tetraedro assim obtido é de 48
do volume
do cubo, indique o inteiro mais próximo de 2
a .
- Sabendo que a figura abaixo é um tetraedro regular de aresta a, determine a medida de sua altura h, de sua área total AT e de seu volume V em função de a.
- (UNIVASF/09) As faces laterais de uma pirâmide quadrada ABCDE são triângulos eqüiláteros com lados medindo 2. Qual a medida do ângulo AEC?
A) 90º
B) 75º
C) 60º
D) 45º
E) 30º
Resolva em casa!
- (UPE) A aresta de um octaedro regular mede 5m. Podemos afirmar que a distância do centro do poliedro a qualquer das faces mede:
A)
m D) 7
m
B)
m E) 5 5 m
C)
m
- (UFPE) Cortando-se de um cubo os tetraedros que têm um dos vértices coincidente com um vértice do cubo e os outros três sendo os pontos médios das arestas incidentes neste vértice obtêm-se o sólido ilustrado abaixo. Sabendo que o cubo tem aresta igual a três cm, indique o inteiro mais próximo da área da superfície do sólido, em cm^2?
- (UPE/07) Diamante: cristal de átomos de carbono é a substância mais dura da natureza, ou seja, o diamante tem capacidade de riscar qualquer outra substância, devido a sua natureza, porém, sob pressão ou impacto, se quebra com facilidade, dada a baixa tenacidade. Devido à disposição dos átomos de carbono em sua constituição, todo diamante no estado bruto (não lapidado) tem o formato de um octaedro regular. Considerando o diamante bruto de aresta 2mm, pode-se afirmar que seu volume, em mm³, é igual a
A) 3
D)
B)
E)
C)
- (UNIVASF/07) O tetraedro ABCD tem aresta AB medindo 12; a face ABD tem área 48, e a face ABC tem área 60. Se o ângulo entre as faces ABC e ABD mede 30º, qual o volume do tetraedro?
- (UFPE) Na pirâmide quadrangular abaixo os planos que passam por A, B, C e D e por E, F, G e H são paralelos. Se VF = 3, VB = 5 e a área de EFGH é 18 , qual a área de ABCD?
- (UNICAP) Considere uma pirâmide regular, de base hexagonal, cujo apótema, mede 8 cm e a medida de cada lado da base é 6 cm.
I II
0 0 A área lateral mede 114cm² 1 1 A área total mede (144 + 27 2 )cm²
2 2 O apótema da base mede 2 3 cm
3 3 A altura da pirâmide mede 37 cm 4 4 O volume da pirâmide mede 9 74 cm³
- (UFPE) Um cubo de lado 10 cm é cortado por dois planos como mostra a figura. Cada corte intercepta três arestas do cubo em pontos distantes 3 cm do vértice mais próximo. Se a distância entre as faces triangulares do sólido resultante é x cm, calcule
3 x.
- (UFPE) Na figura abaixo ABCDEFGH é um cubo de aresta 6 cm. Qual o volume, em cm^3 , do tetraedro ACFH?
- (UFPE) Qual o volume de um tronco de pirâmide sabendo que suas bases são quadrados de lados 4 e 6 situados em planos paralelos cuja distância é 3?
- (UFC) Uma pirâmide hexagonal regular de altura
h (^3)
3
−
= m e volume V é seccionado por um plano
paralelo à base determinando um tronco de pirâmide
de altura x e volume V 2
. Determine, em metros, o
valor de x.
- (UFES/02) Os pontos A, B, C, D, E, F, G, H dividem, respectivamente, cada uma das arestas da base de um cubo em três partes iguais, conforme as figuras abaixo. Um ponto V está sobre uma aresta do cubo e a uma distância da base igual a 2/3 da aresta. A razão entre o volume do cubo e o volume da pirâmide de vértice V e base ADFH é
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
- (UFPE) Calcule o quadrado do volume do octaedro regular, cujas arestas medem 3 3 unidades de comprimento.
- (UNICAP) Um obelisco tem a forma de uma pirâmide regular cujo apótema mede 12 metros e uma aresta da base medindo 10 metros. Calcular, em metros, a medida de uma aresta lateral.
- (UNIVASF/05) Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo o dobro da altura e área lateral medindo 144 2 cm². O volume dessa pirâmide, em cm³, é
A) 72 2
B) 288
C) 576 2
D) 864
E) 2304
- (UFBA/05) Na figura, os quadrados ABCD e A’B’C’D’, cujos lados medem 10 u.c., são as bases de um prisma reto de altura igual a 5 3 u.c., e o ponto O é, ao mesmo tempo, o centro do quadrado ABCD e o vértice da pirâmide com base A’B’C’D’. A partir dessas informações, pode-se afirmar:
(01) Qualquer plano que contenha uma face lateral da pirâmide faz um ângulo de 60º com o plano da base A’B’C’D’.
(02) Qualquer aresta lateral da pirâmide faz um ângulo de 60º com o plano da base A’B’C’D’.
(04) Existem uma aresta da pirâmide que é coplanar ao segmento DD’ e uma aresta da pirâmide que está contida numa reta reversa à reta que contém DD’.
(08) A área do triângulo OC’D’ é igual a 50 u.a.
(16) O volume do sólido compreendido entre o prisma
e a pirâmide é igual a 3
u.v.
CILINDRO CIRCULAR
Dado um círculo de centro O e raio R situado num plano α, e um segmento de reta PQ, não nulo, não paralelo e não contido em α, chama-se cilindro circular ou cilindro à reunião dos segmentos congruentes e paralelos a PQ, que têm uma extremidade no círculo e situados num mesmo semi- espaço dos determinados por α.
Elementos, denominação e classificação
● Os círculos congruentes situados em planos paralelos são as bases do cilindro; ● Geratriz g é todo segmento com uma extremidade em um ponto da circunferência de centro O e raio r e outra no ponto correspondente da circunferência de centro O’ e raio r; ● A altura h de um cilindro é a distância entre os planos das bases; ● Se as geratrizes são oblíquas aos planos das bases, o cilindro é dito cilindro circular oblíquo (figura do exemplo), mas se são perpendiculares aos planos das bases, temos um cilindro circular reto ou de revolução.
Área da base (AB)
É a área do círculo da base do cilindro.
Área lateral (AL)
Superfície lateral é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral (AL) e é dada por:
Área total (AT)
Superfície total é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases. A área dessa superfície é denominada área total e é dada por:
AT = AL + 2.AB ou
AT = 2.π.r.h + 2.π.r^2 ou ainda
Volume (V)
O volume de um cilindro é o produto da área da base pela medida da altura.
V = AB.h ou
Vamos resolver!
- (UFBA) Um cubo, cuja diagonal mede 5 3 dm, circunscreve um cilindro circular reto. O volume do cubo é igual a x dm³ e o do cilindro, igual a y dm³.
Determine o valor de 25π
4y (^3) x+.
- (UEFS/03) Uma quantidade de óleo ocupa uma lata cilíndrica até uma altura de 12cm. Transferindo- se o óleo para outra lata, também cilíndrica, com raio igual a 1,4 vezes o raio da primeira, a altura alcançada, nesse segundo recipiente, mede, aproximadamente, em cm,
A) 6,
B) 7,
C) 8,
D) 9,
E) 10,
- (ENEM/06) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina.
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será
A) o triplo. B) o dobro. C) igual. D) a metade. E) a terça parte.
Secções
Secção meridiana é a interseção do cilindro com um plano que contém o seu eixo. Se o cilindro for reto, secção meridiana será um retângulo de base 2r e altura h. Caso a medida da altura seja igual ao do diâmetro da base (h = 2r), o cilindro será denominado “cilindro equilátero”.
Secção longitudinal é a interseção do cilindro com um plano paralelo ao seu eixo a uma distância d (0 < d < r) do mesmo.
Vamos resolver!
- (FUVEST/07 - 2ª fase) Um castelo está cercado por uma vala cujas bordas são dois círculos concêntricos de raios 41m e 45m. A profundidade da vala é constante e igual a 3m. O proprietário decidiu enchê-la com água e, para este fim, contratou caminhões-pipa, cujos reservatórios são cilindros circulares retos com raio da base de 1,5m e altura igual a 8m. Determine o número mínimo de caminhões-pipa necessário para encher completamente a vala.
- (UFPE) O reservatório em forma de cilindro reto de raio da base 2m e altura 5 m encontra-se na horizontal e preenchido com água até o nível de 3m , conforme ilustrado na figura a seguir. Calcule o volume, em m^3 , de água no reservatório e assinale o inteiro mais próximo do valor obtido.
- (UNEB) A razão entre o volume de um cubo e o volume de um cilindro circular reto inscrito nesse cubo é igual a:
- 4/π 04) 1/ 2π
- 2/π 05) 1/ 4π
- 1/π
- (UFPE/03) Na figura abaixo os pontos A e B estão nos círculos das bases de um cilindro reto, de raio da base15/π e altura 12. Os pontos A e C pertencem a uma geratriz do cilindro e o arco BC mede 60 graus. Qual a menor distância entre A e B medida sobre a superfície do cilindro?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
- (UFPE/05) Na ilustração abaixo, temos um cilindro reto, medindo 30 cm de altura, preenchido por um líquido até certa altura e apoiado em uma superfície horizontal. Os pontos A e B são extremos de um diâmetro da base e B e C estão em uma mesma geratriz do cilindro. Quando inclinamos o cilindro, mantendo o ponto B na superfície, até que o nível de líquido esteja no ponto A, o nível em C fica a 10cm do ponto B. Qual a altura do líquido quando o cilindro está na vertical?
A) 4cm B) 5cm C) 6cm D) 7cm E) 8cm
- (UFBA/07) Considere um prisma reto triangular de altura igual 10cm e um cilindro circular reto de raio da base igual a r, medido em cm, inscrito nesse prisma. Em função de r,
● deduza a expressão do lado do triângulo, base desse prisma;
● determine o volume da região exterior ao cilindro e interior do prisma.
- (UFBA/06) Considerando-se C 1 , C 2 , C 3 , … cilindros com o mesmo volume, de modo que os respectivos raios das bases, medidos em centímetros, formem uma progressão geométrica com o primeiro termo e razão iguais a 5 , é correto afirmar:
(01) O número real 561 5 é o termo de ordem 122 da seqüência dos raios.
(02) O termo geral da seqüencia dos raios pode ser
escrito como 2
k rk = 5. (04) Considerando-se apenas os termos de ordem par da seqüencia dos raios, obtém-se uma progressão geométrica de razão 5, em que todos os termos são números inteiros positivos.
(08) A seqüencia formada pelas alturas dos cilindros
é uma progressão geométrica de razão 5
(16) Sendo o volume dos cilindros igual a π 20 cm³, a área total do primeiro cilindro expressa em cm², é um n úmero menor que 42.
- (UESB/06) Um reservatório em forma de cilindro circular reto é interceptado por um plano - paralelo ao seu eixo e a 6 dm de distância desse eixo - que determina uma seção meridiana retangular ABCD com área igual a 8dm². Sendo iguais a altura e o raio da base do cilindro, pode-se afirmar que a capacidade do reservatório é igual, em litros, a
0,2 2 π
1,6 2 π
2 2 π
16π
16 2 π
- (UNEB/08) Um recipiente cilíndrico está com 3
da
sua capacidade tomada por um líquido. Se o
recipiente tem 20cm de diâmetro e π
cm de altura,
então a quantidade, em litros, do conteúdo do recipiente é
- (UPE/08) Uma piscina circular tem 5m de diâmetro. Um produto químico deve ser misturado à água, na razão de 25g por 500 litros de água. Se a piscina tem 1,6m de profundidade está totalmente cheia, quanto do produto deve ser misturado à água? (Use π = 3,1)
A) 1,45 kg D) 1,75 kg B) 1,55 kg E) 1,85 kg C) 1,65 kg
- (UPE/08) A figura ao lado representa a planta baixa de uma parte aquática de um condomínio residencial. O terreno é circular de raio R, as partes brancas são duas piscinas circulares, sendo a maior para adulto, a menor para crianças, de raios diferentes, e a parte escura é a área para banho de sol. A corda AB do círculo que delimita o terreno é tangente às circunferências que delimitam as piscinas e mede x metros.
I II
0 0 Se x = 8m, a área de banho de sol mede, em metros quadrados, 2π m².
1 1 Se a corda AB = 16m e R = 10m, então a piscina de adulto ocupa 1/3 da área do terreno.
2 2 Se a piscina de criança tem 1,50m de profundidade, R = 10m e AB = 16m, então seu volume, em metros cúbicos, é igual a 6π
3 3 Se a corda AB = 16m, e o raio da piscina menor é
2m, a área do terreno é 100πm².
4 4 Se R = 10m e AB = 16m, então o raio da piscina maior é 8m.
- (UNIVASF/07-2ªfase) Qual a menor quantidade de fita que deve ser utilizada para enfeitar o mastro de forma cilíndrica (reto) de uma bandeira de 5m de altura, como na figura abaixo, se são gastos 50cm para cada volta na superfície do cilindro. O diâmetro do mastro é 15cm. Assinale o inteiro mais próximo em metros.
GABARITO– RESOLVA EM CASA
61 C
62 A
64 B
70 D
71 B
76 B
77 F,F,V,V,V
l = 2 r 3 cm e V = 10r^2 (3 3 −π)cm³
78 - 15
Área total (AT)
É a soma das áreas lateral e da base do cone.
AT = AL + AB
AT = π r g + π r^2
Volume (V)
O volume do cone é dado pela expressão:
● Secção meridiana de um cone é a interseção do cone com um plano que contém o seu eixo. Se o cone for reto, a secção meridiana será um triângulo isósceles. Veja!
2r.h AS.M. =
↓
● Se g = 2r, então a secção meridiana é um triângulo equilátero e o cone é denominado cone equilátero.
Vamos resolver!
- (UNICAP) Um cone circular reto, de geratriz medindo 13 cm, está inscrito em um cilindro circular reto, cujo raio da base mede 5 cm. Qual a altura do cilindro?
- (UNIFOR/03) O telhado da torre mostrada na figura abaixo tem a forma de um cone circular reto.
A área da superfície externa desse telhado é, em m², igual a
A) 16π B) 24π C) 813 π D) 28π E) 32 13 π
- (ITA) Qual é o volume de um cone circular reto, se a área de sua superfície lateral é 24πcm² e o raio de sua base é 4cm?
A)
16 20 π cm³
B) 6πcm³
C) 3
24 π cm³
D)
6 24 π cm³
E)
20 π cm³
- (UPE) Um cone e um cilindro eqüiláteros têm a mesma altura. Então a razão entre o volume do cone e do cilindro é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
Secção transversal e tronco de cone
Como já foi visto nas pirâmides, também aqui no cone, ao se seccioná-lo por um plano paralelo à base, este fica dividido em dois sólidos: um cone menor, semelhante ao original, cujas relações de proporcionalidade são mantidas e, um tronco de cone. Veja!
Separando os sólidos, temos:
● A secção determinada pelo plano α, paralelo à base do cone, é um círculo cujo raio mede r’. Este círculo também é a base menor do tronco de cone.
● O volume VT do tronco é a diferença entre os volumes dos cones maior e menor, respectivamente. VT = V – V’ ou
● A área lateral do tronco de cone é a diferença entre as áreas laterais do cone maior e do cone menor, logo é dado por:
● Também valem as relações:
I)
g
g' r
r' h
h' = =
II)
B
B
2
A
A'
h
h' =
III)
V
V'
h
h'
3 ^ =
onde:
AB é a área da base do cone maior; AB’ é a área da secção (base do cone menor e base menor do tronco); V é o volume do cone maior e, V’ é o volume do cone menor.
Vamos resolver!
- (UFPE/06) Um recipiente na forma de um cone reto invertido está preenchido com água e óleo, em duas camadas que não se misturam. A altura, medida na vertical, da camada de óleo é metade da altura da parte de água, como ilustrado a seguir.
Se o volume do recipiente é 54cm³, qual o volume da camada de óleo?
A) 32cm³ B) 34cm³ C) 36cm³ D) 38cm³ E) 40cm³
- (UFPE) O trapézio OABC da figura gira completamente em torno do eixo OX. Calcule o inteiro mais próximo do volume do sólido obtido.
y
A B (2,2)
x
C (3,0)
