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Aula 4 - GONIOMETRIA
1 UNIDADES DE MEDIDAS TOPOGRÁFICAS ANGULARES:
**_- sexagesimal: GRAU = 360ª parte da circunferência;
- centesimal: GRADO = 400ª parte da circunferência._**
2 Tipos de ângulos
Na topografia trabalha-se com ângulos horizontais e verticais.
- Horizontais : azimutes; rumos; ângulos de flexão e ângulo de deflexão;
- Verticais : zenith e inclinação.
2.1. ÂNGULOS HORIZONTAIS
2.1.1.. Definição
É o ângulo diedro entre dois planos verticais que contêm respectivamente as direções PA e PB.
2.1.2.. Sentido dos ângulos horizontais
Em mensuração o sentido positivo do ângulo horizontal é o sentido horário (ou sentido universal, sentido azimutal, da esquerda à direita):
2.2. AZIMUTE
Definição :^ ângulo horizontal formado pela linha NS e uma direção SP qualquer, com o sentido positivo na direção horária e varia de 0° à 360°.
2.3. RUMO
Definição: ângulo horizontal formado pela direção N/S ou S/N e uma direção SP qualquer, variando de 0° à 90°.
2.3.1.. Sentido dos Rumos e Azimutes:
Norte para direita: NE Sul para a direita: SE Norte para a esquerda: NW Sul para a esquerda: SW
2.3.2.. Transformação de Rumo em Azimute:
Quadrante NE Rumo = Azimute Quadrante SE (^) Rumo = 180 º^ - Azimute Quadrante SW Rumo = Azimute – 180 º Quadrante NW Rumo = 360 º^ - Azimute
3.2. Sentido a Ré
O sentido contrário ao da numeração das estacas
Ex: sentido 3 para 2, liga o ponto 3 ao ponto 2.
3.3. Rumo de Vante de uma linha
Ângulo que o alinhamento A-B forma com a linha N-S ou S-N.
3.4. Rumo a Ré de um linha
3.5. Azimute a Vante de uma linha
3.6. Azimute a Ré de uma linha
Os Azimutes Vante e Ré da mesma linha guardam entre si um diferença de 180 º ou 200 grados EXEMPLO: Dados os Ramos vante das linhas da Tabela 1, encontrar os azimutes a vante e a ré, à direita.
Linha Rumo a vante Azimute a direita Vante Ré AB 45 º30’NW 314 º^ 30’ 175 º30’ BC 30 º^ 50’SW 210 º^ 50’ 30 º50’ CD 22 º^ 20’SE 157 º^ 40’ 337 º40’ DE 75 º^ 10’SE 104 º^ 50’ 284 º50’ EF 25 º^ 15’NE 25 º^ 15’ 205 º15’
EXEMPLO:
onde ∝ = PB- PA , (se ∝ for negativo soma-se 360°)
b) Aparelho orientado pelo Norte Verdadeiro:
onde ∝^ =^ AzPB -^ AzPA
c) Aparelho orientado pelo Norte Magnético (bússola):
onde, ∝ = AzPB + AzPA
d) Aparelho com origem em ré ( ângulo interno ):
onde, PA = 0 e ∝ = PB
e) Aparelho com origem em vante ( ângulo externo ):
onde β = PA, e α + β = 360 °
1. ÂNGULOS VERTICAIS
Definição: É o ângulo situado em um plano vertical que contêm a direção medida
- (^) Falhas humanas; e
- Causas não conhecidas (erros acidentais). 2. Erros devidos a imperfeições do instrumento de medida:
Os três eixos do teodolito devem ser ortogonais:
- eixo principal deve ser vertical quando o instrumento estivar calado (nivelado);
- eixo secundário (horizontal), em torno do qual gira a luneta, deve ser perpendicular ao eixo principal;
- eixo de colimação (linha de vista) passa pelo orifício da ocular, atravessa o cruzamento dos dois retículos e chega ao centro óptico da objetiva. Este eixo deve ser ortogonal ao eixo secundário. 3. Outros erros de medição angular:
Mesmo o teodolito esteja isento de erro referentes a sua regulagem (retificação), ainda existem outros tipos de erros que, se não forem evitados, irão afetar o valor do ângulo medido:
2.4. Erro de estacionamento
Este tipo de erro acontece quando o operador comete as seguintes imprudências:
- Má instalação do tripé;
- Calagem imperfeita do teodolito; e
- Suposição de que toda a operação está ‘boa’:
Têm-se: 0 = estação materializada pela tachinha sobre o piquete; 0’ = ponto do terreno por onde passa o eixo principal do teodolito (vertical), representado pelo fio de prumo ou prumo ótico; P = ponto visado L = comprimento da linha de visada 0P = linha a ser visada; 0’P = linha que é visada; dl = erro de deslocamento cometido; εa = erro angular
Pode-se escrever:
εa = muito pequeno, têm-se senεa ≈ εa então:
Para dl = constante, εa varia diretamente com o ângulo α, até seu valor máximo de 90 O:
Se dl = 1 cm e L = 100m, e sabendo que 1” ≈ sen1” ≈ 0,485x10 -5^ rd, tem-se:
que não pode ser desconsiderado em trabalhos de precisão.
3.12. Erro de visada
Este tipo de erro é resultante de duas causas:
a) Falta de verticalidade da baliza: deve-se evitar o deslocamento lateral da baliza, mantendo-a rigorosamente na posição vertical.
dl = erro devido à inclinação da baliza;
εa = erro angular correspondente ao deslocamento lateral dl; L = comprimento da linha de visada. Sendo εa um ângulo muito pequeno, tem-se:
Considerando o valor de dl constante, o valor de εa será afetado somente pela extensão da linha de visada, uma vez admitido o mesmo grau de imperícia. Ou seja, quanto menor L, maior será o valor de ε (^) a.
Nos trabalhos topográficos as distâncias medidas são muitas vezes, inferiores a 100 m, o que pode resultar em um acúmulo de erro angular.
b)Colimação imprecisa
Resultante da imperícia dos operadores do teodolito e baliza, deve-se então assentar a baliza sobre o piquete e à correta colimação da baliza: fio colimador (retículo vertical) deve coincidir o mais rigorosamente possível com o eixo da baliza.
3.13. Erro de excentricidade
- Ler o ângulo em ‘α’ na direção PB.
Medida do ângulo ‘β’ (replemento):
- Instrumento em P;
- Zera-se o aparelho na direção em PB;
- Ler o ângulo ‘β’ na direção PA.
Têm-se: ‘α’ + ‘β’ = 360 º
5. REPETIÇÃO
Procedimentos da operação de campo:
- Observa-se o ponto PA e zera o aparelho. Desloca-se o aparelho para a direção do ponto PB e efetua a leitura PB, mede-se o ângulo (α (^) 1); e
- Efetua-se o mesmo procedimento acima e efetua a leitura do ângulo α 2. Repete este mesmo processo ‘n’ vezes. O valor final do ângulo será:
Ângulo medido (α’) =
( α 1 + α 2 + ...+ αn ) n
Exemplo:
Estação Ré PV Ângulo Lido P A B 123 º^ 18’22’’ (α 1 ) P A B 123 º^ 18’16’’ (α 2 )
Ângulo medido (α’) =
(123 º^ 18’22’’ + 123 º^ 18’16’’)
2 = 123^ º^ 18’19’’
6. ÂNGULO DUPLO
Consiste em medir o ângulo, repetindo a leitura com o valor do ângulo lido registrado no limbo do instrumento na visada de RÉ.
α 1 = L 0 + L 1 = 0 º^ + L 1 = L 1 α 2 = L 2 - L 1
Ângulo medido (α’) =
(α (^) 1 + α 2 ) 2
Exemplo:
L 0 = 0 º L 1 =123 º^ 18’16’’ L 2 = 246º^ 36’38’’
Então, α 1 = L 1 + L 0 = 123 º^ 18’16’’ α 2 = L^2 - L 1 = 246º^ 36’38’’ - 123^ º^ 18’16’’ = 123^ º^ 18’22’’
Ângulo medido (α’) =
(α1 + α 2 ) 2 =^123 º^ 18’19’’
7. REITERAÇÃO
Consiste em medir o ângulo em posições diferentes do limbo (simétricas), a certos intervalos regulares, denominados intervalos de reiteração.
A Reiteração permite afetuar, simultaneamente, as medições relativas a todos os ângulos com vértice na mesma estação, mudando-se a orientação do limbo (leitura inicial) em cada ângulo medido. Com isto em todas as partes do círculo horizontal será medido um ângulo o que elimina os erros de divisão do limbo.
Exemplo:
Estação PV Posição Ângulo lido P A PA 123 º^ 18’20’’ A IA 303 º^ 18’12’’ B PB 236 º^ 36’38’’ B IB 56 º^ 36’34’’
(α 1 ) = PB PA = 236º^ 36’38’’ - 123 º^ 18’20’’ = 113 º^ 18’18’’
(α 2 ) = IB - IA = 56 º^ 36’34’’ - 303 º^ 18’12’’ = - 246º^ 41’46’’ = - 246 º^ 41’46’’ + 360 º^ = 113 º^ 18’22’’
Ângulo medido (α’) =
(α1 + α 2 ) 2 =^113 º^ 18’20’’
REITERAÇÃO MÚLTIPLA
Em trabalhos de maior precisão recomenda-se a execução de cinco reiterações, sempre utilizando diferentes regiões do limbo. O ângulo ‘α’ a ser usado nos cálculos será a média dos valores obtidos em cada reiteração.
8. Deflexão (processo em estradas):
Chama-se deflexão o ângulo que a linha a vante faz com o prolongamento da linha a ré medido a partir desta linha para a direita ou à esquerda.
Deflexão à direita (d (^) d) = ângulo lido – 180^ º
Deflexão à esquerda (de) = 180 º^ - ângulo lido
onde, D = PB , (+) à direita e (-) à esquerda
Procedimento da operação no campo:
- Estaciona e nivela o aparelho no centro da estaca;
- Gira o aparelho e posiciona na direção da visada de ré, fixando o movimento horizontal;
- Inverte a luneta fazendo-a girar cerca de 180 º^ em torno do eixo horizontal (prolongamento da visada de ré);
- Abre o giro horizontal e leva a luneta na direção PB (visada avante);
- (^) Efetua a leitura (círculo do limbo está a direita da luneta).
Exemplo:
Ângulo lido = 210º^ 18’36’’ ( deflexão à direita o ângulo lido é maior que 180 º^ ) Deflexão = ângulo lido – 180º^ = 210º^ 18’36’’ – 180^ º^ = 30^ º^ 18’36’’
Ângulo lido = 162º^ 42’15’’ (deflexão à esquerda o ângulo lido é menor que 180 º) Deflexão = 180 º^ - ângulo lido = 180^ º^ - 162^ º^ 42’15’’ = 17^ º^ 17’45’’
6 DECLINAÇÃO MAGNÉTICA
Definição : É o ângulo azimutal formado entre as linhas N/S verdadeira e magnética. Tal declinação varia no tempo e no espaço, devendo ser corigida,para o mesmo local, com o passar dos naos.
Os observatórios formam mapas das diversos regiões em que aparecem as CURVAS ISOPÓRICAS e ISOGÔNICAS
CURVAS ISOGÔNICAS : são os lugares geométricos dos pontos de mesma declinação magnética (pontos onde a bússola apresenta a mesma inclinação de direção para o norte magnético);
CURVAS ISOPÓRICAS : são lugares geométricos dos pontos que têm , por ano, a mesma variação da declinação magnética.
7.1) Determinação da Declinação Magnética Atual;
A declinação magnética atual pode ser determinada atravês da formula:
d = do + v ( t - to ) (I)
onde,
do = declinação magnética na data to (anos) encontrada nas cartas isogônicas;
Histórico: Primeira constatação da variação declinação magnética em 1492 por Cristóvão Colombo:
“ Ao transpor o meridiano 3º 30’, verificou que a bússola da embarcação, que vinha acusando declinação nordeste, subitamente passou a indicar declinação noroeste.”
O estudo da declinação magnética em pontos de uma região, durante um longo período permite constatar as variações:
- No espaço: variações geográficas
- No tempo: variações diurnas, mensais, anuais e seculares
- Outras: locais e acidentais.
3.14. Variações geográficas
A determinação da declinação magnética em diferentes pontos de uma região encontra-se:
- Pontos distintos com valores diferentes de declinação;
- Pontos distintos com a mesma declinação;
- Pontos distintos com declinação nula.
L Os pontos de uma região que em determinada época, que apresentam a mesma declinação magnética são chamados de linha isogônica.
L Os pontos que apresentam declinação nula são chamados de linha agônica.
3.15. Variações anuais
Como a direção do meridiano geográfico é imutável, as variações no valor do azimute são por conta da variação da declinação magnética. Estas variações podem ser:
- Diárias: variações ao longo do dia;
- Mensais: variações diárias determinadas durante o período de um mês;
- Anual: variações ao longo do ano.
L Os pontos de uma região que em determinada época apresentam a mesma variação anual da declinação magnética, dá-se o nome de linha isopórica.
3.16. Mapas Magnéticos
Os observatórios formam mapas das diversas regiões em que aparecem as CURVAS ISOPÓRICAS e ISOGÔNICAS
CURVAS ISOGÔNICAS : são os lugares geométricos dos pontos de mesma declinação magnética (pontos onde a bússola apresenta a mesma inclinação de direção para o norte magnético);
CURVAS ISOPÓRICAS : são lugares geométricos dos pontos que têm , por ano, a mesma variação da declinação magnética.
8 Determinação da Declinação Magnética
A declinação magnética atual pode ser determinada através da formula:
δ = δ 0 + (AC + F (^) a ). Δδ 0 (I)
onde,
δ 0 = declinação magnética do local encontrada nas cartas isogônicas ;
Δδ 0 = variação anual da declinação magnética para o local em questão, obtida nas cartas isopóricas ;
AC = número de anos entre a data da carta e a determinação;
Fa = ano em questão (ano e fração);
3.17. Roteiro de cálculos
7.2.. Obter as coordenadas geográficas (latitude e longitude) do local onde se deseja determinar a declinação magnética (extraída da melhor carta disponível da região ou com uso do GPS portátil);
7.3.. Localizar na carta das isogônicas o local e interpolar linear para calcular (por aproximação) a declinação magnética local no ano da execução da carta ;
7.4.. Localizar na carta das isopóricas o local e determina-se a variação anual da declinação por interpolação linear;
7.5.. Usando a formula (I), calcula-se a declinação magnética do local em questão na data atual.
3.18. Exemplo
Determinar a declinação magnética no dia 30/01/1989 no ponto de coordenadas geográficas:
- Latitude = 28º^ 37’05’’ S
- Longitude = 49º^ 15’42’’ W
3.19. Locação do ponto na carta isogônica e cálculo da declinação magnética
A locação das coordenadas geográficas do ponto (A) é feita através da interpolação linear, conforme croquis esquemático:
Determinação de ‘X’:
