UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Computação
José Álvaro Tadeu Ferreira
Cálculo Numérico – Notas de aulas
Integração Numérica
Ouro Preto
2009
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Integração numerica, Notas de estudo de Engenharia de Materiais
Apostilha sobre Cálculo Numérico I
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Computação
José Álvaro Tadeu Ferreira
Cálculo Numérico – Notas de aulas
Integração Numérica
Ouro Preto
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
Integração Numérica
1 - Introdução
No Cálculo Diferencial e Integral estuda-se o conceito de integral definida e como calculá-la
por meio de processos analíticos. Os resultados obtidos correspondem a áreas ou volumes
de figuras geométricas, dependendo do tipo de integral.
O objetivo deste capítulo é a apresentação de métodos numéricos para o cálculo de inte-
grais definidas próprias, ou seja, dada uma função y = f(x), avaliar
I(f) f(x) .dx
b
a
Sabe-se, pelo Teorema Fundamental do Cálculo Diferencial e Integral, que:
I(f) f(x).dx F(b)- F(a)
b
a
onde F(x) é a primitiva de f(x), isto é, F‘(x) = f(x).
Antes de tratar de métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas é relevante aten-
tar para as razões da importância dos mesmos. Sendo assim, a seguir, são apresentados al-
guns exemplos nos quais a utilização de métodos numéricos para o cálculo de integrais de-
finidas, por algum motivo, se faz necessária.
As aplicações mais óbvias das integrais definidas se encontram no cálculo de comprimentos,
áreas, volumes, massa, centro de massa, distância percorrida, tempo decorrido, etc. Consi-
dere-se o problema de calcular o comprimento de uma curva f em um intervalo a e b. Se a
função f for diferenciável, esse problema remete a uma integral. Seja, por exemplo, calcular
o perímetro de uma elipse, que exige a avaliação da expressão
p 4.b. 1 - k .sen (t) .dt
2
0
2 2
Ocorre que a integral
1 - k .sen (t).dt
2 2
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
P (t). dt
b
a
^ ,
Acontece que
2 x e
é uma função cuja primitiva não pode ser expressa como uma combi-
nação finita de funções elementares. Em probabilidade, como é muito freqüente o uso dessa
integral, adotam-se tabelas com precisão limitada, mas razoável, que servem para a maioria
dos propósitos. Essas tabelas podem ser facilmente montadas com a utilização dos métodos
de integração numérica que serão tratados neste texto.
Outro exemplo são os casos em que há a necessidade de se trabalhar com dados experimen-
tais. Nesta situação, não há funções matemáticas que descrevem um fenômeno físico, mas
apenas tabelas de dados que devem ser integrados para se analisar o problema. O tratamen-
to é feito, essencialmente, de forma numérica.
Os exemplos apresentados ilustram bem porque é necessário utilizar métodos numéricos no
cálculo de integrais definidas.
Por razões históricas, as fórmulas de integração numérica também são denominadas “qua-
dratura numérica”, pois foi com o problema da quadratura do círculo que Arquimedes fez
os primeiros cálculos usando a noção de integral.
Conforme ilustrado nos exemplos apresentados anteriormente, na resolução de uma integral
definida várias situações podem ocorrer:
(i) a determinação da primitiva F pode ser difícil;
(ii) a função a integrar pode não admitir uma primitiva F que possa ser escrita como uma
combinação finita de funções elementares;
(iii) a função a ser integrada pode não ser conhecida na sua forma analítica mas, apenas, em
um conjunto de pontos (xi, yi), i = 0, 1, ... n.
A chave para a solução do problema é, essencialmente, aproximar a função integranda, f,
por outra função cujo integral seja fácil de calcular. Este objetivo é alcançado substituindo f
pelo polinômio que a interpola em um conjunto de pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n, pertencen-
tes ao intervalo [a, b]. Sendo p este polinômio, é razoável esperar que
b
a
I(p) px.dx
seja, sob certas condições, um valor aproximado de I(f). O erro cometido neste processo é
e = I(f) – I(p) = I(f – p) (1.3)
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
O resultado (1.3) se justifica pela linearidade do operador de integração. Como pode ser
observado, o erro depende da maior ou menor aproximação do polinômio p a f. Adiante
serão apresentadas estimativas desta importante grandeza.
2 – Fórmulas de Newton-Cotes
As fórmulas de Newton-Cotes podem ser:
(a) do tipo fechado : tais fórmulas são aquelas em que todos os pontos estão no intervalo
de integração [a, b], e x 0 = a e xm = b são os extremos.
(b) do tipo aberto : nestas fórmulas todos os pontos estão no intervalo, [a, b], de integra-
ção, porém a função integranda, y = f(x), não é avaliada em ambas as extremidades do
intervalo, mas em pontos próximos. São utilizadas quando a função integranda apresen-
ta descontinuidades nos extremos do intervalo de integração, ou seja, têm utilidade na
análise de integrais impróprias.
Neste texto serão estudadas as Fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado. Estas fórmulas
permitem calcular, por aproximação, uma integral definida substituindo a função a ser inte-
grada pelo polinômio com diferenças finitas ascendentes que a interpola em um conjunto de
pontos (x i , y i ), i = 0, 1, ..., n; onde a = x 0 e b = x n
. Sendo assim, é necessário que as abscis-
sas dos pontos sejam eqüidistantes. Sabe-se que este polinômio é dado por:
0
n
0
3
0
2
0 0 0
y
n!
z(z 1 )...[z (n 1 )]
y ...
z(z 1 )(z 2 )
y
z(z 1 )
p(x h.z) y z. y
(2.1)
e que
h
x- x
z
0 .
Tem-se, então, que:
x = x 0 + h.z dx = h.dz.
É necessário, então, corrigir os limites para a integração em z.
Para x = x 0 z 0
h
x - x
z
0 0
Para x = xn z n
h
n.h
h
x - x
z
n 0
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
1
0
0 0
I h. [y z y ] dz
Que, resolvida, resulta em
y
y h y
z
I h. zy
0
0
1
0
0
2
0
(2.3)
Sabe-se que
y 0 = y 1 – y 0 (2.4)
Substituindo 2.4 em 2.3, vem
0 1
y y
h
I (2.5)
Que é a Regra dos Trapézios na sua fórmula simples. Na figura 2.1 é apresentada a inter-
pretação geométrica desta regra. Como se sabe, calcular uma integral definida corresponde
a avaliar a área sob a curva da função integrada, no intervalo de integração. No caso, a área
sob a curva de f, no intervalo [a = x 0 , b = x 1 ] foi estimada com sendo a área sob uma reta e
que, conforme mostra a figura 2.1, é a área de um trapézio.
Figura 2.1: Regra dos Trapézios - fórmula simples
O erro de truncamento é dado pela expressão (2.6). Este erro é de truncamento, porque o
grau do polinômio interpolador foi truncado em um em função do número de pontos utili-
zados.
f (c) c [x ,x ]
12
h
E 0 1
' '
3
T
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
2.1.2 – Fórmula Composta
Aproximações obtidas pelas regras de Newton-Cotes não têm, muitas vezes, a precisão
desejada. O uso de fórmulas deduzidas aproximando a função integranda por polinômios
interpoladores de grau superior, pode não produzir melhores resultados (note-se que as
fórmulas de Newton-Cotes para n = 9, 11, 12, ...têm coeficientes positivos e negativos o
que poderá causar cancelamento subtrativo, ou a função integranda pode não possuir a re-
gularidade necessária que permita usufruir da plena precisão das fórmulas).
Uma maneira de obter aproximações com menor erro consiste em subdividir o intervalo de
integração em n partes, todas do mesmo tamanho, e aplicar as fórmulas simples de forma
repetida. Com efeito, como será possível verificar posteriormente, reparando nas expressões
do erro das várias fórmulas, todas elas mostram que aquele depende de uma certa potência
do comprimento (b - a) do intervalo de integração [a,b]. Então, se este intervalo é reduzido,
o erro virá grosso modo reduzido na proporção dessa potência.
Considerando o exposto, para melhorar o resultado, o intervalo [a,b] de integração é dividi-
do em n partes de tamanho h e aplica-se a fórmula simples da Regra dos Trapézios em cada
uma delas. A figura (2.2) ilustra este procedimento.
Figura 2.2: Regra dos Trapézios – Fórmula composta
Tem-se, então, para a aproximação da integral:
0 1 1 2 n 1 n y y
2
h
y y ..........
2
h
y y
2
h
I
Resultando em:
0 1 2 n 1 n
y 2 .y 2 .y ... 2 .y y
h
I
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
Obtém-se que:
5
i 0
i i
c.y 5 , 2298
Como
5
i 0
i i
c.y I
h I I = 0,
Observação
Utilizando o Cálculo Diferencial e Integral e quatro casas decimais, é obtido o seguinte re-
sultado:
3,
2
3,
2
I [(ln(x 2)-1].dx {(x 2).[ln(x 1)-1]-x} 0,
2.2 – Primeira Regra de Simpson
Para obter esta regra é integrado o polinômio interpolador de grau dois são, portanto, ne-
cessários três pontos.
2.2.1 – Fórmula Simples
Esta fórmula é obtida calculando-se a seguinte integral.
2
0
0
2
0 0 y ] dz
z(z 1 )
I h.[y z y
Tem-se, então:
2
0
0
2
3 2
0
2
0
. y
z
z
. y
z
I hz. y
Fazendo z igual a dois, vem
0
2
0 0
y
I h 2 y 2 y (2.9)
Tem-se que:
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
0 1 0 y y y (2.10)
y y y y y (y y ) 0 1 0 2 1 1 0
2
0 2 1 0
2 y y 2 y y (2.10.a)
Substituindo (2. 10 ) e (2.10.a) em (2.9), tem-se:
f (x ) 4 f(x ) f(x )
h
I 0 1 2
A interpretação geométrica desta regra é apresentada na figura (2.3)
Figura 2.3: Primeira Regra de Simpson – Fórmula Simples
O erro de truncamento cometido é dado por:
f (c) c [x ,x ]
h
E 0 2
(IV )
5
S 1
2.2.2 – Fórmula Composta
Tal como feito para a Regra dos Trapézios, o intervalo de integração é dividido em n partes
de mesma amplitude e, então, em cada uma delas é aplicada a fórmula simples. Observe-se
que, como para cada aplicação da fórmula simples são necessários três pontos, n deve ser
um número par. A figura (2.4) ilustra o procedimento.
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
Uma vez que a Primeira Regra de Simpson foi obtida pela aproximação da função integran-
da por um polinômio de segundo grau, seria de esperar que tivesse grau de exatidão dois.
No entanto, a expressão obtida para o erro mostra que esta regra tem grau de exatidão três,
isto é, é exata sempre que a função a integrar é um polinômio de grau menor ou igual a três.
Exemplo 2.
O PROCON tem recebido reclamações com relação ao peso dos pacotes de açúcar de 5kg.
Com a finalidade de verificar a validade das reclamações, foi coletada uma amostra de 100
pacotes. Com isto, chegou-se à conclusão de que para determinar a probabilidade de um
pacote de um açúcar pesar menos do que 5kg deve ser avaliada a expressão a seguir.
. e. dx
1
F 0,
x
2
Estime esta probabilidade e o erro de truncamento máximo cometido utilizando a Primeira
Regra de Simpson. Divida o intervalo de integração em 6 partes e faça os cálculos com 4
casas decimais.
Solução
Para calcular F é necessário, antes, obter uma estimativa para o valor da integral.
I e. dx
1 , 8
0
2
x
2
Sendo o intervalo de integração dividido em 6 partes, então h = 0,3.
i xi yi ci
Tendo em vista que:
0 1 2 3 4 5 6
y 4 .y 2 .y 4 .y 2 .y 4.y y
h
I
Obtém-se que:
6
i 0
i i
c.y 11 , 6325
Como
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
6
i 0
i i
c.y I
h
I I = 1,
Obtido o valor da integral, pode-se calcular F.
F 0,5
F = 0,
O erro de truncamento máximo cometido no cálculo da integral é dado por (2.15). Verifica-
se que:
2
2 x
f (x) - x.e
'
f ''(x) e .(x - 1)
2 2
2 x
f '''(x) e .( 3 - x )
2 3
2 x
f (x) e .(x -6.x 3)
(IV ) 2 4 2
2 x
Na figura 2.1 é apresentado o gráfico de |f
(IV) (x)|.
Gráfico 2.
Conforme pode ser observado no gráfico 2.1, |f
(IV) (x)| atinge o seu máximo no intervalo [0;
1,8], para x = 0. Verifica-se que | f ( 0 )| 3
( IV)
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
0 1 2 3 3 4 5 6 n 3 n 2 n 1 n
y 3 .y 3 .y y
3 h
y 3 .y 3 .y y ...
3 h
y 3 .y 3 .y y
3 h
I
Resultando em:
[y 3 .y 3 .y 2 .y 3 .y 3 .y 2 .y .... 3 .y 3 .y y ]
3 h
I 0 1 2 3 4 5 6 n 2 n 1 n
O Erro de truncamento resultante da integração pela Segunda Regra de Simpson – Fórmula
Composta é dado por:
f (c) c [x ,x ]
80 n
(x x )
E - 0 n
(IV )
4
5
n 0
S 2
(2.2^3 )
Como o ponto c não é conhecido, a expressão (2.2 3 ) pode ser aproximada pela expressão
maxf (x) x [x ,x ]
80 n
(x x )
E 0 n
(IV )
4
5
n 0
S 2
Este resultado mostra que a Segunda Regra de Simpson tem grau de exatidão igual a três.
Exemplo 2.
Um tanque esférico de raio R = 5 m está cheio com água.. A água será drenada através de
um orifício de raio r = 0,1 m situado no fundo do tanque. A variação do nível, h, da água
com o tempo, t, em segundos, é dada pela relação:
dh
r 2 gh R
R - h
dt 2
2 2
Onde g = 9,81 m/s
2 é a aceleração devida à gravidade.
Utilize a Segunda Regra de Simpson, para estimar o tempo para que o nível da água chegue
a 1m do fundo. Divida o intervalo de integração em nove partes e faça os cálculos com duas
casas decimais.
Solução
Fazendo as substituições tem-se que
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
dh
0,01 19 , 62 h 5
25 - h
dt
2
Como o raio do tanque é 5m, inicialmente o nível da água, em relação ao fundo, é 10m.
Portanto, a integral a ser calculada é
dh
0,01 19 , 62 h 5
25 - h
t
1
10
2
Como o intervalo deve ser dividido em 9 partes, então h = - 1.
i zi yi ci
9
i 0
i i
c.y -1.443,
Tendo em vista que:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 3 .y 3 .y 2 .y 3 .y 3.y 2.y 3.y 3.y y
- h
t , então
9
i 0
i i
c.y
3.h
t .(-1.443,56)
t t = 541,34s
3 – Integração dupla
Sendo z = f(x , y), uma função tabelada nos intervalos x 0 x xn e y 0 y ym , pode-se
calcular a integral dupla
n
0
m
0
x
x
y
y
I f(x,y)dydx
como o produto de dois operadores integrais, um em x e outro em y. Ou seja:
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
I k .k a.b.f(x.y ) i j
m
n
i 0
j 0
x y i j
A expressão (3.6) mostra que o valor da integral é igual ao produto das frações de h, de
cada regra de integração utilizada, que multiplica a soma dos produtos dos coeficientes de
cada regra de integração pela imagem da função nos pontos (x , y) tabelados.
Exemplo 3.
Sendo
x y
sen(x.y)
f (x, y)
2
estime I = f(x, y)dy.dxcomh 0 , 2 e h 0 , 1 x y
0 , 9
0 , 1
0 , 5
0 , 2
. Con-
sidere, nos cálculos, quatro casas decimais.
Solução:
a) (^4)
0 , 2
0 , 9 0 , 1 n
(subdivisões em x )^ ^1
a regra de Simpson
m
(subdivisões em y) 2
a regra de Simpson
b) O quadro a seguir apresenta uma forma de organizar os cálculos.
j 0 1 2 3
yj 0,2 0,3 0,4 0,
i xi a i
bj
Notas de aulas de Cálculo Numérico – Integração Numérica
Cada célula do corpo do quadro é preenchida da seguinte forma:
ai x bj
f(xi, yj)
Tem-se então
= 1.f(0,1 ; 0,2) + 3.f(0,1 ; 0,3) + 3.f(0,1 ; 0,4) +... + 1.f(0,9 ; 0,5) = 24,
c) (^) .h .
8
3
.
3
h
I y
x
. 0 , 1 .[ 24 , 0722 ] I 0 , 0602
Exemplo 3.
Sendo
2 (x y )
f(x, y)
estime I f(x,y)dy.dxcomh 0 , 2 e h 0 , 25 x y
4
3
2
1
. Consi-
dere, nos cálculos, quatro casas decimais.
Solução:
5
0 , 2
4 3 n
(subdivisões em x )^ ^ Regra dos Trapézios
m
(subdivisões em y) 1
a regra de Simpson
j 0 1 2 3 4
yj 1,0 1,25 1,50 1,75 2
i xi a i
bj