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CÔNICAS V1.
Julho/ Prof. Mar o Aurélio P. Cabral Departamento de Matemáti a Apli ada Instituto de Matemáti a UFRJ
1 Introdução A história das ni as se ini ia na Gré ia antiga. Menae hmus (350 A.C.) foi um dos pioneiros no estudo das ni as, estudando-as sob o p onto de vista da interse ção de one e plano utilizando a ex entri idade. Eu lides (300 A.C.) es reveu um livro sobre as seçõ es ni as que se p erdeu. Ap ol nio (225 A.C.) es reveu sete livros sobre as ni as, om os primeiro quatro livros baseados no de Eu lides. Ap ol nio riou os nomes elipse, paráb ola e hip érb ole (ver [Bu℄ p. 197198 e [Bo℄). Kepler (1604) des obriu p ela análise de observaçõ es astron mi as e Newton (1670) provou ma- temati amente baseado na lei da gravitação universal, que os planetas se movem em elipses. A Geometria antiga (aparentemente inútil) dos gregos se tornou a base da astronomia mo derna (ver [Cx℄). O estudo mo derno de ni as forne e um b elo exemplo de omo mudanças de o ordenadas p o dem simpli ar o tratamento de problemas. Mostra tamb ém omo o mesmo problema p o de ser ab ordado de formas distintas.
2 Três Definições Po demos de nir as ni as de três mo dos distintos: p or Geometria Espa ial, Plana e Analíti a. 2.1. Seçõ es de um one p or um plano (Geometria Espa ial) ELIPSE: plano orta somente um dos ramos do one e não é paralelo à geratriz (forma uma gura nita). HIPÉRBOLE: plano orta os dois ramos do one; a parte de baixo e de ima (forma uma gura in nita). PARÁBOLA: plano orta somente um dos ramos do one e é paralelo à geratriz (forma uma gura in nita).
Figura 1: Seçõ es do Cone: Cír ulo, Elipse, Paráb ola e Hip érb ole [MAO℄
Exer í io 1: Utilizando a de nição a ima, omo obter as ni as degeneradas (observe a Figura 1): (a) Um p onto; (b) Duas retas; ( ) Uma reta; (d) Conjunto vazio; Di a: onsidere um one degenerado em reta. (e) To do o plano; Di a: onsidere um one degenerado em plano.
2.2. Lugar geométri o (Geometria Plana) ELIPSE: Lugar geométri o dos p ontos do plano uja soma das distân ias até dois p ontos F 1 e F 2 é
onstante. HIPÉRBOLE: Lugar geométri o dos p ontos do plano uja diferença, em valor absoluto, das distân ias até dois p ontos F 1 e F 2 é onstante. PARÁBOLA: Lugar geométri o dos p ontos do plano uja distân ia até um p onto F é igual a distân ia até uma reta r. Seja Π um plano, d(P, Q) a distân ia entre os p ontos P, Q ∈ Π e d(P, r) a distân ia entre o p onto P e a reta r. Com esta notação: ELIPSE = {P ∈ Π; d(P, F 1 ) + d(P, F 2 ) = C} HIPÉRBOLE = {P ∈ Π; |d(P, F 1 ) − d(P, F 2 )| = C} PARÁBOLA = {P ∈ Π; d(P, F ) = d(P, r)}
Exer í io 2: Utilizando a de nição a ima, omo obter as ni as degeneradas: (a) Conjunto vazio. (b) Um p onto. Di a: Elipse. ( ) Uma reta. Di a: Paráb ola. (d) To do o plano. Di a: hip érb ole.
2.3. Soluçõ es de equação p olinomial do segundo grau (Geometria Analíti a) CÔNICA = {(x, y) ∈ R^2 tais que ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0}. A lassi ação das soluçõ es deste p olin mio do segundo grau em x e y é feita em dois estágios: eliminação de bxy (p or rotação) e dos termos lineares (p or translação).
Exer í io 3: Considere a(x^2 + y^2 ) + dx + ey + f = 0 om a 6 = 0. (a) Prove que representa uma ir unferên ia se, e somente se, d^2 + e^2 > 4 af. (b) Determine entro e raio. R: entro C(−d/(2a), −e/(2a)) e raio r =
√ d^2 + e^2 − 4 af / 2 |a|. 2.3.1 Eliminação de bxy. Fazemos isto ro dando o sistema de o ordenadas p or um ângulo θ es olhido adequadamente. Para isto intro duzimos novas variáveis (˜x, ˜y), de nidas p or: { x˜ = x cos θ + y sen θ, y ˜ = −x sen θ + y cos θ, ou, matri ialmente,
[ ˜x ˜y
]
[ cos θ sen θ − sen θ cos θ
] [ x y
] .
Como (uma matriz é a inversa da outra veri que!) [ cos θ sen θ − sen θ cos θ
] [ cos θ − sen θ sen θ cos θ
]
[ 1 0 0 1
] ,
multipli ando p ela inversa dos dois lados temos que [ x y
]
[ cos θ − sen θ sen θ cos θ
] [ x˜ ˜y
] .
Agora substituímos x = cos θ ˜x − sen θ ˜y, y = sen θ ˜x + cos θ y˜ na equação ax^2 + bxy + y^2 e p o demos zerar o termo em ˜xy˜ se (exer í io) tomarmos θ tal que tan(2θ) = b/(a − c). Ap ós esta mudança de o ordenadas a equação se transformará em:
Ax˜^2 + C y˜^2 + d 1 x˜ + e 1 ˜y + f 1 = 0.
Note que se A ou C for zero obtemos a equação de uma paráb ola.
Exer í io 4: (a) Prove que a matriz a ima representa uma rotação; (b) Faça a tro a de variáveis a ima e prove que o termo misto ˜xy˜ desapare e se tan(2θ) = b/(a − c); ( ) Se a = c teríamos que ter tan(2θ) = ±∞. Isto será verdade se 2 θ = 90o^ e p ortanto θ = 45o. Isto p o de ser veri ado diretamente. Mude o ordenadas de ax^2 +^ bxy^ +^ ay^2 (a^ =^ c!)^ tomando x =
√ 2 /2(˜x − ˜y), y =
√ 2 /2(˜x + ˜y) e mostre que o termo misto x˜y˜ desapare e. (d) Observe que o ângulo de rotação não é úni o p ois p edimos ap enas que tan(2θ) = C. Quantos ângulos distintos p o dem ser utilizados? Qual a relação entre esses ângulos? Pense algebri amente (em termos de kπ + · · ·) e geometri amente ( ír ulo trigonométri o). Como isto afetará a transformação a ima? (e) Prove que 4 ac − b^2 = 4AC.
kill(all); senn: sqrt(2)/2; oss: sqrt(1-senn^2); x: ossX - sennY; y: sennX + ossY; expand(5x^2 - 6xy + 5y^2 - 1);
(a) y^2 + 2x y − 2 y + x^2 + 2x = 0. R: A paráb ola X^2 =
√ 2 Y. (b) 3 y^2 + 2 x y + 3 x^2 + 2 = 0. R: O onjunto vazio 2 X^2 + Y 2 + 1 = 0. ( ) 5 y^2 − 6 x y + 5 x^2 − 1 = 0. R: A elipse 8 Y 2 + 2X^2 = 1. (d) 2 x y + √^4 x 2 = 0. R: Duas retas (X + 1)^2 = (Y + 1)^2 (retas X = Y e X = −Y − 2 ). (e) 2 x y + 2 y + 2 x + 1 = 0. R: A hip érb ole (X +
√ 2)^2 − Y 2 = 1. (f ) 7 y^2 − 48 x y − 7 x^2 = 0. R: Duas retas Y 2 = X^2 (retas Y = ±X) (sen θ = 3/ 5 ). (g) 8 y^2 − 4 x y + 5 x^2 = 1. R: A elipse 4 X^2 + 9Y 2 = 1 (sen θ =
√ 5 / 5 ). (g) 3 y^2 + 2
√ 3 x y + 6 y + 5 x^2 + 6
√ 3 x + 4 = 0. R: A elipse 3(X + 1)^2 + Y 2 = 1 (sen θ = 1/ 2 ). (h) − 9 y^2 − 24 x y + 4 y − 16 x^2 = 3 x. R: A paráb ola Y = 5X^2 (sen θ = 3/ 5 ). (i) 5 y^2 − 14 y + 5 x^2 − 2 x + 5 = 0. R: A elipse (X − 1)^2 + (Y − 1)^2 = 1 (sen θ = 3/ 5 ). Exer í io 10: Vamos determinar sob que ondiçõ es o p olin mio P (x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 é sempre p ositivo, ou seja, quando P (x, y) > 0 para to do x, y ∈ R{ 0 }. Dizemos neste aso que P (x, y) é uma forma quadráti a p ositivo de nida. (a) Elimine bxy e mostre que ela é p ositivo de nida se b^2 − 4 ac < 0 e a > 0 (ou c > 0 ). (b) Determine ondiçõ es para que ela seja inde nida, i.e., nem p ositiva nem negativa. ( ) Faça os itens anteriores da seguinte forma. Fatore P (x, y) = x^2 (a + b(y/x) + c(y/x)^2 ). De na w = y/x, g(w) = a + bw + cw^2 e estude o sinal da função g.
3 Apli ações Práti as Muitas apli açõ es são baseadas nas propriedades fo ais das ni as (Figura 2): (a) Elipse e Hip érb ole: um raio que passe p or um fo o, ap ós re exão prosseguirá numa reta que passa p elo outro fo o; (b) Paráb ola: um raio que passe p elo fo o ap ós re exão será p erp endi ular à reta diretriz (e vi e- versa).
Figura 2: Propriedades fo ais da paráb ola, elipse e hip érb ole [MAO℄
Note que emb ora seja ne essário o on eito de limite para de nir a re exão de raios de luz em esp elhos urvos, p o de-se provar om Geometria Sintéti a (vide Seção 10) estes resultados.
3.1 Elipse: Galeria sussurrante no apitólio em Washington DC e na Catedral de São Paulo em Roma; tratamento de p edra nos rins (litotripsia): p edra num dos fo os e ondas sonoras de alta intensidade. Luminária de dentista, que on entra luz no dente e evita que ofusque o pa iente. Tra jetórias dos planetas e ometas em torno do sol; Utilizando geometria analíti a veremos mais adiante p orque surgem elipses no op o d'água e no bamb olê da Figura 3.
3.2 Paráb ola: Antena parab óli a (vide Figura 5), farol dos arros, lanternas, rádio teles ópio, es uta se reta. Tra jetória de pro jéteis (Galileu demonstrou isto, vide Figura 4). Tra jetória da água
Figura 3: Apli açõ es da Elipse ( op o e bamb olê [Br℄; litotripsia [Fr℄; órbita [MAO℄)
num b eb edouro (Figura 4) e o salto de um gol nho (Figura 4). Esp elho parab óli o (ver [Kl℄ p. 272 para mexer luz no fo o), transmissão de sinais (p o de ser visto no parque da iên ia da Fundação Osvaldo Cruz do Rio de Janeiro, para transmitir voz).
Figura 4: Apli açõ es da Paráb ola [Br℄
3.3 Hip érb ole: Zona de es uta do barulho emitido p or um avião subs ni o, p ois a interse ção do one de som om o solo forma uma hip érb ole (vide Figura 5). Difusão da luz em luminárias de iluminação públi a. Lentes do teles ópio de Cassegrain (vide Figura 5). Luz de aba jur na parede (vide Figura 5 e [Ca℄).
Figura 5: Apli açõ es da Hip érb ole 1 (avião e lápis de [Br℄; aba jur [LAB℄; teles ópio [MAO℄)
Exer í io 11: Onde e p orque surge uma hip érb ole no lápis da Figura 5? Exer í io 12: Porque a sombra do aba jur na parede (vide Figura 5) é uma hip érb ole? Uma apli ação militar é o LORAN Long Range Navigation: Duas estaçõ es de rádio transmitem simultaneamente sinais para um bar o ou avião. Diferença de temp o lo aliza ramo de paráb ola. Com uma ter eira estação p o de-se al ular interseção das duas paráb olas. Torre de refrigeração de usina de energia (termo elétri as e nu leares) ne essita dissipar muito alor e para isto deve ser onstruída om material forte. Partindo de um ilindro, ujas laterais são formadas p or arames, ro dando uma das bases, obtemos um hip erb oloide de revolução (uma sup erfí ie quádri a ujos orte formam hip érb oles) ujas laterais são segmentos de retas que p o dem ser feitos de barra de aço, formando uma estrutura bastante resistente (vide Figura 6).
( ) Na equação da hip érb ole (x/a)^2 − (y/b)^2 = 1 es reva y em função de x e determine as retas que se aproximam dela para x grande, as hamadas assíntotas. Di a: para x grande,
√ x^2 + a ≈ |x|. (d) Na equação da paráb ola y = ax^2 , sab endo que o fo o está no eixo-y e que a reta diretriz é paralela ao eixo-x, determine diretamente (sem usar o que foi desenvolvido no texto) o fo o e a reta diretriz em função de a.
Exer í io 15: Para ada uma das ni as abaixo, determine o fo o (ou fo os), reta diretriz (se for paráb ola) e assíntotas (se for hip érb ole). Di a: Transforme na equação padrão ap ós translação e/ou rotação de eixos. (a) 2 x = y^2 + 8y + 22. R: paráb ola, F (7/ 2 , −4), x = 5/ 2. (b) 4 x^2 + y^2 = 16. R: elipse, F (0, ± 2
√ 3). ( ) y^2 − x^2 = 4. R: hip érb ole, F (0, ± 2
√ 2), y = ±x. (d) x^2 = 4y − 2 y^2. R: elipse, F (± 1 , 1). (e) 9 x^2 − 18 x + 4y^2 = 27. R: elipse, F (1, ±
√ 5). (f ) x^2 + 4x + 28 = 8y. R: paráb ola, F (− 2 , 5), y = 1. (g) y^2 + 2y = 4x^2 + 3. R: hip érb ole, F (0, − 1 ±
√ 5), y + 1 = ± 2 x. (h) y^2 + 2y + 12x + 25 = 0. R: paráb ola, F (− 5 , −1), x = 1. (i) 2 y^2 − 3 x^2 − 4 y + 12x + 8 = 0. R: hip érb ole, F (2 ±
√ 15 , 1), y = 1 ±
√ 6 /2(x − 2).
Exer í io 16: En ontre uma equação para a ni a que satisfaça as ondiçõ es abaixo: (a) paráb ola: vérti e (0, 0); fo o (0, −2). R: x^2 = − 8 y. (b) paráb ola: fo o (− 4 , 0); diretriz x = 2. R: y^2 = −12(x + 1). ( ) elipse: fo os (± 2 , 0); vérti es (± 5 , 0). R: x^2 /25 + y^2 /21 = 1. (d) elipse: fo os (0, 2) e (0, 6); vérti es (0, 0) e (0, 8). R: x^2 /12 + (y − 4)^2 /16 = 1. (e) hip érb ole: fo os (0, ±3); vérti es (0, ±1). R: y^2 − x^2 /8 = 1. (f ) hip érb ole: fo os (1, 3) e (7, 3); vérti es (2, 3) e (6, 3). R: (x − 4)^2 / 4 − (y − 3)^2 /5 = 1. (g) hip érb ole: vérti es (± 3 , 0); assíntotas y = ± 2 x. R: x^2 / 9 − y^2 /36 = 1.
Exer í io 17: (a) Veri que que x(t) = a cos t e y(t) = b sen t é a equação paramétri a de uma elipse. (b) Veri que que x(t) = a cosh t e y(t) = b senh t é a equação paramétri a da hip érb ole (justi ando o nome das funçõ es seno e osseno hip erb óli o), onde cosh t = (et^ + e−t)/ 2 e senh t = (et^ − e−t)/ 2
5 Interse ção de Cone om Plano Gera C ni a
5.1. Equação do Cone Vamos deduzir a equação do one. Dado um one qualquer intro duzimos o seguinte sistema de o ordenadas: O eixo-z será o eixo de simetria do one, a origem o vérti e do one e o plano x-y p erp endi ular ao eixo-z. Cortando o one om um plano paralelo ao plano x-y obtemos um ír ulo de raio r. Dado um p onto (x, y) deste ír ulo, p elo Teorema de Pitágoras o raio r =
√ x^2 + y^2 (veja Figura 7). Como a o ordenada z deste p onto é diretamente prop or ional a r p elo exer í io abaixo, temos que z = αr. Portanto z^2 = α^2 r^2 = α^2 (x^2 + y^2 ). Logo a equação do one é: z^2 = α^2 (x^2 + y^2 ). Exer í io 18: Utilizando semelhança de triângulo prove que z = αr. Exer í io 19: (a) Como obter uma reta ( one degenerado) igual ao eixo-z? R: Quando α → ∞ temos que r/z = 1/α → 0 , o que impli a r = 0. Logo x^2 + y^2 = 0 o que impli a em x = 0 e y = 0. (b) Como obter o plano x-y ( one degenerado)? R: Quando α → 0 temos que z/r = α → 0 , o que impli a z = 0, o plano x-y. ( ) Para estes dois asos imagine geometri amente um one se transformando em uma reta e dep ois em um plano (num aso o one aumenta de tamanho e no outro diminui).
r
z
(x,y)
Figura 7: Dedução da Equação do Cone
Exer í io 20: Porque observamos uma elipse no bamb olê da Figura 3? Di a: Utilize a equação do ír ulo x^2 + y^2 = c^2 e ro de sistema de o ordenadas om (x, y, z) = (X, cos θY + sen θZ, − sen θY + cos θZ) e inter epte om o plano Z = 0.
Exer í io 21: Porque observamos uma elipse no op o d'água da Figura 3? Di a: Utilize equação do ilindro x^2 + y^2 = c^2 e exer í io anterior.
5.2. Gerando ír ulo, elipse, hip érb ole, paráb ola Para esta parte onsidere α = 1, de mo do que a equação do one aqui será: z^2 = x^2 + y^2. Observe novamente a Figura 1 para ver os planos ortando o one. CÍRCULO: onsidere o plano z = β. Logo obtemos x^2 + y^2 = β^2 , a equação do ír ulo de raio |β|. HIPÉRBOLE: onsidere o plano x = β. Logo obtemos (z/β)^2 − (y/β)^2 = 1, a equação de uma hip érb ole. PARÁBOLA: onsidere o plano x − z = β. Logo obtemos z = −(y^2 /(2β) + β/2), a equação de uma paráb ola. ELIPSE: onsidere o plano x = 2z + 1 (ou de forma mais geral x = γz + β om |β| < |γ|). Logo obtemos (^) ( z + 2/ 3 1 / 3
) 2
( y 1 /
√ 3
) 2 = 1
a equação de uma elipse.
Exer í io 22: O que a onte e om o aso geral, quando o plano é x = γz + β? Observação: O fato que interse ção de one om plano gera ni a é um aso parti ular do fato que a interse ção de uma quádri a (elipsoide, parab oloide hip erb óli o, hip erb oloide de uma folha, ilindro, one, et .) om plano gera ni a. A demonstração é uma simples adaptação da que foi feita a ima.
5.3. Cortando o one om um plano arbitrário Um plano arbitrário é dado p or ax + by + cz + d = 0. Sem p erda de generalidade assumimos que a = 1 (p orque ?) e tro amos os sinais: x − by − cz − d = 0. Logo x = by + cz + d. Substituindo na equação do one obtemos:
α^2 (1 + b^2 )y^2 + 2bcα^2 yz + (α^2 c^2 − 1)z^2 + 2α^2 d(by + cz) + α^2 d^2 = 0.
Esta é uma equação quadráti a em yz (p olin mio do segundo grau), que é a equação geral das ni as. Portanto a interse ção de um plano e um one gera uma ni a.
6 Ex entri idade e uma Definição Geométri a Unifi ada Po demos de nir através da Geometria sintéti a, de forma uni ada, to das as ni as. CÔNICA: Lugar geométri o dos p ontos do plano uja razão entre a distân ia até um p onto F e a distân ia até uma reta r é igual a uma onstante.
(b) Para quais p ontos Pi mar ados a interse ção dos ír ulos orresp ondente será vazia? R: APi < (AB − F 1 F 2 )/ 2 e BPi < (AB − F 1 F 2 )/ 2.
7.2 Hip érb ole: ([Fi℄ p. 397)
- Traçar segmento AB e mar ar os dois fo os F 1 e F 2 tais que F 1 F 2 > AB.
- Mar ar p ontos Pi fora do segmento AB, na semirreta
−→ AB.
- Para ada p onto Pi, traçar um ír ulo de raio APi entrado em F 1 e um ír ulo de raio BPi entrado em F 2. Os p ontos de interse ção destes ír ulos, se existirem, fazem parte da hip érb ole. Exer í io 27: (a) Porque este p ontos fazem parte da hip érb ole? (b) Para quais p ontos Pi mar ados a interse ção dos ír ulos orresp ondente será vazia? R: APi < (F 1 F 2 − AB)/ 2 e BPi < (F 1 F 2 − AB)/ 2.
7.3 Paráb ola: ([Fi℄ p. 408)
- Mar ar fo o F e reta diretriz r.
- Traçar uma p erp endi ular a reta r passando p or F , o eixo da paráb ola. Mar ar A, o p onto de interse ção do eixo da paráb ola om r.
- Mar ar p ontos Pi no eixo da paráb ola na semirreta
−→ AF.
- Para ada p onto Pi, traçar uma paralela a r passando p or Pi e um ír ulo de raio APi entrado em F. Os p ontos de interse ção da reta e do ír ulo, se existirem, fazem parte da paráb ola.
Exer í io 28: (a) Porque este p ontos fazem parte da paráb ola? (b) Para quais p ontos Pi mar ados a interse ção será vazia? R: APi < (AF )/ 2.
Exer í io 29: Esb o e ada uma das ni as num pap el seguindo o pro edimento des rito a ima.
8 Desenhado (Esboçando) C ni as om Dobraduras Nas onstruçõ es a seguir ada dobra gera uma reta. As ni as são esb o çadas omo o envelop e deste onjunto de retas obtidas a partir de ada dobra. Cada reta é tangente à ni a.
8.1 Paráb ola:
- Traçar reta diretriz r.
- Mar ar p ontos Pi equiespaçados em r e numerá-los.
- Na frente e verso do pap el mar ar o fo o F.
- Dobrar o pap el fazendo oin idir F om os p ontos Pi.
8.2 Elipse:
- Traçar uma ir unferên ia C.
- Mar ar p ontos Pi equiespaçados em C e numerá-los.
- Na frente e verso do pap el mar ar um p onto F dentro de C.
- Dobrar o pap el fazendo oin idir F om os p ontos Pi.
8.3 Hip érb ole:
- Traçar uma ir unferên ia C.
- Mar ar p ontos Pi equiespaçados em C e numerá-los.
- Na frente e verso do pap el mar ar um p onto F fora de C.
- Dobrar o pap el fazendo oin idir F om os p ontos Pi. Na elipse e na hip érb ole os fo os são os p ontos F e O, onde O é o entro da ir unferên ia C. O raio r da ir unferên ia C é a onstante da equação da elipse/hip érb ole: |d(P, O) ± d(P, F )| = r. Observe que na paráb ola a ir unferên ia C se transforma na reta diretriz r, que p o de ser p ensado omo um ír ulo om raio r = ∞. Exer í io 30: Esb o e ada uma das ni as num pap el utilizando dobraduras seguindo o pro edimento des rito a ima.
Exer í io 31: (a) Dep ois de esb o çar uma elipse dobrando uma folha de pap el, veri que que p ontos equiespaçados
não são a melhor op ção para se obter um b om esb o ço de elipse. Onde os p ontos devem ser mais densos para se obter um melhor esb o ço? (b) O que o orre na onstrução da elipse se F esta no entro da ir unferên ia? ( ) O que obtemos se F p erten e à ir unferên ia?
Exer í io 32: Prove que o lugar geométri o dos p ontos equidistantes a ir unferên ia e um p onto F é: (a) Uma elipse se F p erten e ao interior da ir unferên ia; (b) Uma hip érb ole se F p erten e ao exterior da ir unferên ia.
Exer í io 33: Po demos esb o çar uma elipse om barbante e al nete. Prenda uma folha de pap el numa pla a de isop or om durex. Prenda dois al netes (os fo os) na folha e amarre ada p onta de um barbante nos al netes. Com um lápis estique o barbante e movimente o lápis om o barbante sempre esti ado, mar ando p ontos na folha de pap el. Prove que a urva mar ada é uma elipse.
9 Metamorfoses Aqui nesta seção queremos observar omo uma ni a p o de se transformar em outra. Estas me- tamorfoses (transformaçõ es) p o dem ser vistas analiti amente ou p ensando na mo di ação da p osição relativa entre o plano e one, om plano ortando o one.
9.1 Elipse −→ Cír ulo: Quando os dois fo os se transformam em um úni o p onto. 9.2 Elipse −→ Paráb ola: Quando um fo o vai para o in nito (ver [Fi℄ p. 410). Considere y = x^2 + ǫ^2 y^2. Esta equação p o de ser rees rita omo:
( y − 1 /(2ǫ^2 ) 1 /(2ǫ^2 )
) 2
( x 1 /(2|ǫ|)
) 2 = 1.
Esta equação representa uma elipse de semi-eixo-x = 1 /(2|ǫ|) e semi-eixo-y = 1 /(2ǫ^2 ), om p onto de en ontro dos semi-eixos da elipse ( entro da elipse) igual a (0, 1 /(2ǫ^2 )). Quando ǫ → 0 , p ela primeira equação, obtemos a paráb ola y = x^2 enquanto os semi-eixos e o entro vão para o in nito.
Exer í io 34: De forma análoga analisamos a transformação hip érb ole −→ paráb ola. Mostre que a equação y = ǫ^2 y^2 − x^2 p o de ser rees rita omo:
( y − 1 /(2ǫ^2 ) 1 /(2ǫ^2 )
) 2 −
( x 1 /(2|ǫ|)
) 2 = 1.
9.3 Hip érb ole −→ duas retas transversais: Quando os dois fo os se transformam em um úni o p onto.
Exer í io 35: Repita a análise feita para o item (2) para a equação x^2 − y^2 = ǫ^2 , quando ǫ → 0. 9.4 Elipse −→ duas retas paralelas: Quando os dois fo os vão para o in nito. Considere x^2 + ǫ^2 y^2 = 1 = x^2 + (y/(1/ǫ))^2. Esta equação representa uma elipse de semi-eixo-x = 1 e semi-eixo-y = 1 /ǫ, om p onto de en ontro dos semi-eixos da elipse ( entro da elipse) igual a (0, 0). Quando ǫ → 0 , obtemos a equação x^2 = 1, que representa duas retas paralelas: x = 1 e x = − 1. 9.5 Cír ulo −→ p onto: Quando o raio vai para zero. 9.6 Paráb ola −→ uma reta: Quando o fo o onverge para a reta r. Exer í io 36: Para ada uma das transformaçõ es anteriores, omo observá-la através de inter- se ção de um one p or um plano?
10 Propriedades Provadas om Geometria Po demos demonstrar propriedades das ni as através da geometria sintéti a. Alguns exemplos são a soma das distân ias para os fo os ([Fi℄ p. 382) e propriedades da tangente à elipse ([Fi℄ p. 384). Estes resultados p o dem ser demonstrados om geometria analíti a e, no aso da tangente, om ál ulo. Para ilustrar isto demonstraremos o teorema a seguir:
