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2.2 Integrais Duplos
Anteriormente estudaram-se os integrais da forma quer para funções definidas e limitadas em intervalos limitados quer para funções não limitadas em intervalos ilimitados. Em seguida generalizou-se o conceito de integral introduzindo os integrais de linha. Agora estudaremos integrais em que, em vez de intervalos unidimensionais teremos um conjunto bidimensional R , chamado região de integração, e a função integranda é um campo escalar definido e limitado em R. O integral resultante diz-se integral duplo e representa-se por
ou por
Vamos considerar dois tipos de regiões em :
- Rx ou Tipo I ou regular segundo o eixo dos yy
y
a b x
Como mostra o gráfico uma região do Tipo I é definida por
,
onde e são funções contínuas com.
Ry ou Tipo II ou regular segundo o eixo dos xx
y d
c x
Como mostra o gráfico uma região do Tipo II é definida por
,
onde e são funções contínuas em com.
É óbvio que o domínio pode ser simultaneamente do Tipo I e do Tipo II (ex.: regiões limitadas por circunferências, elipses, ...), e nesse caso podemos escolher entre qual dos tipos queremos considerar. Noutras situações, a região terá de ser decomposta numa reunião de regiões de um ou de outro tipo.
1.. (^) Definição e propriedades
Consideremos a partir de agora uma função f de duas variáveis tal que esteja definida numa região R do plano. Definiremos o integral duplo como se segue, introduzindo desde já algumas notações:
- R denotará uma região que pode ser subdividida em um número finito de regiões e e está contida numa região rectangular , como na figura abaixo,
Partição interior de R
- Se W é dividida em m rectângulos como na figura, então a colecção de todas as sub-regiões fechadas rectangulares que estão completamente contidas em R constituem uma partição
Sejam S o gráfico de f , f contínua e , e o sólido situado abaixo de S e sobre. Se é um ponto na sub-região duma partição interior de , então é a distância do plano ao ponto em S. O produto é o volume do prisma de base rectangular de área. A soma dos volumes de todos os prismas é uma aproximação do volume de de. Como esta aproximação melhora ao tender para zero, definimos como o limite de somas dos números. Obtemos assim a definição:
Definição 2.2.1.4 : Seja uma função contínua de duas variáveis tal que. O volume V do sólido compreendido entre o gráfico de e acima de é.
Nota: Se , o integral duplo de sobre é o simétrico do volume do sólido situado acima do gráfico de e soba região.
Sejam e funções de duas variáveis definidas e limitadas em R.
- Propriedade de linearidade ,
- Propriedade da aditividade se
Teorema 2.2.1.2 (Teorema da Comparação): Se para todo em R , tem-se. Em particular, se para cada em R , então.
2.. Cálculo de Integrais Duplos
1ºCaso Seja f uma função contínua definida numa região rectangular fechada. Mostra-se que o integral duplo pode se calculado por meio de um integral iterado do tipo . Primeiro efectuamos uma integração parcial em relação a y , considerando x como constante. Substituindo y pelos limites de integração c e d da forma usual, obtemos uma expressão de x , que é integrada de a a b.
Pode-se também usar o seguinte integral iterado . Neste caso, primeiro efectuamos uma integração parcial em relação a x , considerando y como constante. Substituindo x pelos limites de integração a e b , integramos a expressão resultante em y de c a d.
Se f é contínua, então os dois integrais iterados são iguais. Neste caso, dizemos que a ordem de integração é irrelevante.
Notações:
Exemplo 1: Calcular os integrais duplos por integração iterada admitindo a existência de cada integral:
a) , onde R = b) , onde R =
2ºCaso
Teorema 2.2.2.1: Seja R uma região do tipo I , compreendida entre os gráficos e. Admitindo-se que f está definida e limitada em R e que f é contínua no seu interior, então o integral duplo existe e pode ser calculado mediante integração unidimensional iterada,
Demonstração:…
Assim concluímos que os integrais duplos podem ser utilizados no cálculo de áreas, sendo . Observação : Análogo para regiões do tipo II.
Exemplo 3: Calcule a área da região S definida por
.
Se e g são contínuas em R com , então o integral duplo representa o volume do sólido compreendido entre os gráficos das funções e g.
Exemplo 4: Calcule o volume do sólido limitado por.
