Baixe Introdução à Integral Definida: Cálculo de Áreas e outras Resumos em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Integral definida
Cálculo de área Teorema Fundamental do cálculo
A integral definida origina-se do problema para determinação de áreas. Historicamente, como descrito na anteriormente, constitui-se no método da exaustão para o cálculo de área.
Nesta apresentação será definido o conc eito de integral definida a partir da soma de Riemann, realizada algumas integrações de área bem com destacado o teorema fundamental do cálculo.
Definição:
Dada uma função f não negativa no intervalo [a,b], a<b, isto é, neste intervalo, queremos achar a área da região limitada pelo gráfico de f, pelas ret as x=a e x=b, e pelo eixo x.
O ideal é dividir [a,b] em sub intervalos
Soma de Riemann
Para o cálculo da área divide-se a figura em pequenos retângulos calcula-se a área de cada ret ângulo intervalo e finalmente soma -se estas áreas obtendo-se área sob a função.
y
a=x 0 c 1 x 1 c 2 x 2
x
xn- 1 cn xn=b
y
a b^ x
Para se aproximar da área real calcula -se o limite da função:
corresponde à amplitude da divisão, e indica que aumenta o número de divisões.
Desta forma
Pela definição observa-se que:
Propriedades:
Sejam f e g integráveis em [a,b] e k constante, então:
a) f+g é integrável em [a,b] então:
Prova:
Lembrando da definição de integral definida:
Então se f e g são integráveis em [a,b]
e
Escrevendo-se a integral de f+g:
Que é a integral definida de f no [a,b].
Fala-se integral de f de a até b.
A função f é dita int egrável em [a,b], onde f é o integrando
As provas das propriedades de b a d e f serão deixadas a cargo de pesquisa do aluno na bibliografia básica.
Teorema Fundamental do Cálculo
Se f for integrável em [a,b] se F for uma primitiva de f em [a,b], então:
Neste momento já é possível calcular-se áreas sob curvas desde que se conheç a a função. Desta forma s erão apresentados alguns exemplos de integrais definidas de algumas funções, cálculo de áreas simples e problemas envolvendo cálculo de área.
O cálculo de int egrais definidas será retomado posteriormente quando o aluno estiver aprendido todas as técnicas de integração a serem apresent adas nas próximas aulas.
Vamos aos exemplos:
Exemplo 1 : Calcule:
Resolvendo-se a integral aplicando-se o Teorema Fundamental do Cálculo:
Exemplo 2: Calcule
Resolvendo
Exemplo 3: Calcule a integral
É uma integral por substi tuição, então, chamando-s e
Subs tituindo-se este resultado na integral principal:
Aplicando-se a propri edade dos logaritmos, a integral fica:
Outra maneira de se resolver a integral é:
Substituindo-se:
Substituindo-se os limites de integração tem-se:
Utilizando-se a integral definida.
Definindo-se a funç ão. É a função de uma reta com coeficient e linear zero e coeficiente angular:
Lembrando-se que a equaç ão da reta é:
Neste caso , a função fica:
Calculando-se a int egral:
Exemplo 6 :
Calcule a área do retângulo na figura abaix o pela definição geométrica por integral definida.
Pela definição geométrica a área é:
Neste caso, é necessário calcular a área do retângulo maior onde f(x )=3 e a área do ret ângulo menor o de g(x)=1 e fazer-se f(x)-g(x). para isto podemos aplicar a propriedade (e).
y
5 x
É óbvio que estas figuras são regulares, mas o importante foi ressaltar o proc edimento e demonstrar que o método integral funciona para o cálculo de área.
Exemplo 7 :
Determine a área da região delimitada pelas curvas:
Inicialmente esboça-se o gráfico das funções.
Observe, no gráfico, que os pontos delimit am a área, mas vamos calcular. Para isto basta igualar as funções.
Que estão de acordo no gráfico.
Resolvendo-se a integral:
