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5 – Integral Dupla
5.1 – Definição
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida numa região fechada e limitada R do plano xy.
Traçando retas paralelas aos eixos x e y, respectivamente, recobrimos a região R por pequenos retângulos. Considerando os retângulos que estão inteiramente contidos em R e numerando-os de 1 a n, a área de um destes corresponde a ∆Ak = ∆xk. ∆yk.
Multiplicando pela função teremos o volume dos n retângulos considerando a base xy e a superfície z = f(x,y ) teremos:
=
n
k
f xk yk Ak 1
Se aumentar n a um número muito elevado , o volume tenderá a se aproximar do volume delimitado pela região R tendo como base o plano xy e como superfície z = f(x,y ), ou seja:
→ ∞ =
n
k n f xk yk Ak 1
lim ( , )
que equivale a integral dupla de f(x, y) sobre a região R:
R
f ( x , y ) dA ou ∫∫
R
f ( x , y ) dxdy
correspondente ao volume do sólido delimitado superiormente por z = f(x,y ) > 0 e inferiormente pela região R e lateralmente pelo “cilindro” vertical cuja base é o contorno de R.
5.2 – Propriedades
Considerando que a região R é constituída por um número finito de curvas e arcos suaves, sem pontos angulosos, e que f(x) e g(x) são contínuas sobre a região R temos:
a) ∫∫ = ∫∫
R R
kf ( x , y ) dA k f ( x , y ) dA , para todo k real
b) ∫∫ + =∫∫ +∫∫
R R R
[ f ( x , y ) g ( x , y )] dA f ( x , y ) dA g ( x , y ) dA
c) Se f(x,y) > g(x,y) para todo ( x , y )∈ R , então ∫∫ ≥∫∫
R R
f ( x , y ) dA g ( x , y ) dA
d) Se f(x,y) > 0) para todo ( x , y )∈ R , então ∫∫ ( , ) ≥ 0
R
f x y dA
e) Se a região é composta por duas sub-regiões R 1 e R 2 que não tem pontos em comum, exceto possivelmente os pontos de suas fronteiras, então
1 2
R R R
f x ydA f x ydA f x y dA
5.3 – Cálculo de Integrais Duplas
Tipo I : A região R do plano xy é conforme a figura
Nesse caso, a integral dupla
R
f ( x , y ) dxdy é calculada através da seguinte
integral, dita iterada:
f x ydy dx
b
a
f x
f x
()
2
1
que representa o volume com base na região R.
Tipo II : A região R do plano xy é conforme a figura
Nesse caso, a integral dupla
R
f ( x , y ) dxdy = f x ydxdy
d
c
g y
g y
()
2
1
10) Calcular ∫∫ − −
R
( 8 x y ) dxdy , onde R é a região delimitada por y = x^2 e y = 4.
11) Calcular ∫∫ +
R
( 2 x y ) dxdy , onde R é região delimitada por x = y^2 - 1, x = 5, y = -1 e y= 2
12) Calcule e interprete o resultado obtido: ∫∫
R
dxdy , onde
x y
y R 0
13) Calcule ∫∫
R
xy^3 dxdy^ , onde
y x
x R 0 2
14) Calcule ∫∫
R
xy^2 dxdy , onde
y x y
y R
15) Calcule ∫∫ +
R
( y x^3 ) dxdy , onde
x y x
x R
Respostas: 1) 15/4 2) 2
- 1/8[1 - e-16] 4) 13/18 5) 20/
- 8 , é a área de R 13) 42 14) 1/40 15) 19/
