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INTEGRAIS DUPLAS
VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS
Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla.
Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado
R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) F 0C E IR 2 | a < x < b, c < y < d }
e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y).
Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja, S = {(x,y,z) F 0C E IR 3 | (x,y) F 0C E R, 0 < z < f(x,y)}
Nosso objetivo é determinar o volume de S.
O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi ], de mesmo comprimento F 0 4 4 F 0 x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [y^ j-1^ , y^ j^ ], de mesmo comprimento 4 4 y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. R (^) ij = [x (^) i-1 ,x (^) i] x [y (^) j-1 ,y (^) j ] = {(x,y) | x (^) i-1 < x < x (^) i , y (^) j-1 < y < y (^) j }
cada um dos quais com área F 04 4 A =^ F 04 4 xF 04 4 y.
Se escolhermos um ponto arbitrário (x (^) ij , y (^) ij ) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base R (^) ij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base: Vij = f(x (^) ij , yij)F 04 4 A. Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S: V F 0B B Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.
verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos 16, 64 e 256 quadrados.
INTEGRAIS ITERADAS
Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo:
Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini , vale sempre que f for limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R.
Exemplo 2: Calcule o valor da integral , onde R = [0,3] x [1,2]
Solução: ====
ou
== O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x 2 y (Veja figura ao lado)
Exemplo 3: Calcule , onde R = [1,2] x [0,F 07 0 ]. Solução:
Obs.: 1) Se mudarmos a ordem de integração, invertendo as integrais iteradas, a resolução das mesmas irá requerer a aplicação de técnicas de integração, tornando o trabalho mais demorado. Portanto é importante observar o tipo de função que iremos integrar e fazer uma boa escolha da ordem de integração.
- O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do sólido que está acima do retângulo R e do volume da parte do sólido que está abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes são iguais.
Exemplo 4: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x^2 + 2y^2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
Solução: Observemos, primeiro, que S é o sólido que está abaixo da superfície
z = 16 – x^2 – 2y^2 e acima do retângulo R = [0,2]^ x^ [0,2], como mostra a figura. Vamos calcular o volume deste sólido usando integral dupla:
INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES GENÉRICAS
- Regiões planas inscritas em faixas horizontais:
Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções contínuas de y, ou seja: D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } onde h 1 e h 2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:
sempre que f for contínua em D.
Exemplo 5: Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x 2 e y = 1 + x^2.
Solução: A região D está inscrita na faixa vertical –1 < x < 1, pois essas são as abscissas dos pontos de intersecção das duas parábolas e podemos escrever: D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x^2 < y < 1 + x^2 } Assim, calculamos a integral dupla através das seguintes integrais iteradas:
Exemplo 6: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x 2 + y^2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2.
Solução: D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto: D = { (x,y) | 0 < x < 2, x^2 < y < 2x }
Assim, o volume é:
Mas também podemos inscrever a região D na faixa horizontal 0 < y < 4, com: D = { (x,y) | 0 < y < 4, } Portanto, o volume pode ser calculado como:
Exemplo 7: Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y 2 = 2x
Solução:
A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira: [y 2 = 2x + 6] F 0C 7 [y = x – 1] F 0D E e x = y + 1 F 0D E^ F 0D E y2^ – 2y – 8 = 0 F 0 D E y = –2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 ) Portanto os pontos de intersecção das curvas são (-1,-2) e (5,4). Novamente, a região D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa vertical como em uma faixa horizontal. Mas a descrição de D considerada inscrita na faixa vertical -3 < x < 5 é mais complicada, pois sua fronteira inferior é constituída por mais de uma curva. Assim, preferimos expressar D como: D = { (x,y) | -2 < y < 4, < x < y + 1 } Logo:
Exemplo 8: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
Exemplo 9: Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem , onde D é a
região do plano xy limitada pelos gráficos de , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y 2.
Solução: No gráfico abaixo, aparecem as curvas que formam a fronteira de D.
A região que tem como fronteira todas as curvas citadas é a parte sombreada do plano. Portanto essa é a região D. Assim, podemos descrevê-la de duas formas:
- Inscrita na faixa vertical F 07 0 /6 F 0A 3 x F 0A 3 4 e, nesse caso dividi-la em D 1 = { (x,y) |^ F 07 0 /6^ F 0A 3 x^ F 0A 3 1, 1^ F 0A 3 y^ F 0A 3 3 } e D 2 = { (x,y) | 1^ F 0A 3 x^ F 0A 3 4, }
- Inscrita na faixa horizontal 1 F 0A 3 y^ F 0A 3 3 e, nesse caso, dividi-la em D 1 = { (x,y) | 1 F 0A 3 y F 0A 3 2, F 07 0 /6 F 0A 3 x F 0A 3 y2^ } e D 2 = { (x,y) | 2^ F 0A 3 y^ F 0A 3 3,^ F 07 0 /6^ F 0A 3 x^ F 0A 3 10 – 3y }
Na forma 1), as integrais iteradas são:
Na forma 2), as integrais iteradas são:
APLICAÇÕES: MASSA E CENTRO DE MASSA DE UMA LÂMINA
Suponha uma lâmina colocada em uma região D do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x,y) em D é dada por F 07 2 (x,y), onde^ F 07 2 é uma função contínua sobre D. Então a massa total m da lâmina é dada por:
Além disso, o centro de massa dessa lâmina é o ponto (X,Y), onde e , sendo e os momentos em relação aos eixos x e y, respectivamente.
Exemplo 10: Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), se a função densidade é F 07 2 (x,y) = 1 + 3x + y.
Solução: O triângulo D está limitado pelas retas x = 0, y = 0 e y = 2 – 2x.. Podemos expressar D por: D = { (x,y) | 0 F 0A 3 x F 0A 3 1, 0 F 0A 3 y F 0A 3 2 – 2x }
A massa da lâmina é:
Portanto:
Os momentos são:
Assim: , Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto (3/8,11/16), indicado na figura:
Para complementar o estudo, faça a leitura das páginas 399 a 415 do livro ANTON, vol2, e resolva os exercícios ímpares de nº 1 a 15 e 19 a 29, das páginas 405 e 406 e de nº 1 a 21, 31 a 37 e 41 a 51 das páginas 413 e 414.
