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PARTE 1
Problema 01
Determinar o volume do sólido contido abaixo do parabolóide acima do retângulo
Problema 02
Determinar o volume do sólido limitado pela superfície e pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0
Integral Dupla.
Vamos considerar R = [a, b] x [c, d] um retângulo no plano xy.
R = [a, b] x [c, d]
Seja agora uma função definida em R.
Queremos calcular o volume delimitado pelo retângulo R, pela superfície z = f(x, y) e pelos planos perpendiculares ao retângulo R passando pela borda de R.
Para podermos encontrar o volume vamos fazer uma partição no retângulo R: teremos pequenos retângulos com os quais poderemos trabalhar.
Vamos olhar um sub retângulo. E calcular aproximadamente o volume do paralelepípedo sobre ele.
Temos
Temos
Temos então
Temos então
Temos dois erros:
A face superior do paralelepípedo não é plana, depende da superfície.
A escolha do (xi, yj) é aleatória.
Tomando o limite:
Assim definimos a INTEGRAL DUPLA sobre um retângulo no plano xy:
desde que o limite exista.
Vejamos agora como calcular uma integral dupla.
É o que chamamos a integral iterada
Vamos olhar uma f(x, y) em R.
Guido Fubini (1879 + 64 =1943) provou uma versão geral para este teorema em 1907. Uma versão para funções contínuas já era conhecida anteriormente desde o matemático francês Augustin-Louis Cauchy.
Exercícios 01
Calcule a integral:
Exercícios 02
Calcule a integral:
Exercícios 03
Calcule a integral:
Exercícios 04
Calcule a integral:
Problema 01
Determine o volume do sólido contido abaixo do parabolóide acima do retângulo
Problema 02
Determine o volume do sólido limitado pela superfície e pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0
Exercícios.
- STEWART: 15.1(18) + 15.2(36) + 15.3 (54 exercícios).
- ANTON: 15.1(36) + 15.2(65) + 15.2 (65 exercícios).
- LIETHOLD: 18.1(22) + 18.2(35) + 18.2 (35 exercícios).
Como vamos trabalhar com a Região Tipo 1?
Região Tipo 1:
A integral interna é sempre em y
Exemplo 01:
Calcular a integral onde R, no primeiro quadrante, limitado por
Agora é só calcular a integral.
Como vamos trabalhar com a Região Tipo 2?
Região Tipo 2:
A integral interna é sempre em x.
Exemplo 02:
Calcular a integral onde R:no primeiro quadrante, limitado por
Limites de integração na Região Tipo 1:
Uma vez que x é constante na primeira integração então traçamos uma reta vertical na região. Esta reta intercepta duas vezes a fronteira da região: exatamente em g (^) 1(x) e g2(x): são os limites da integral interna.
Limites de integração na Região Tipo 1:
Para obtermos os limites da integral externa (em x) deslocamos a reta vertical para a esquerda e para a direita.
Exemplo 03.
Onde R é região limitada por y = 16/x; y = x e x = 8.
Exemplo 05:
R: no 1º. Quadrante, limitado por y = x^2 , y = 4 e x = 0.
R é a região limitada pelas retas y = 2x, y = x/2 e x = π.
