Interpolação Polinomial no Cálculo Numérico, Notas de aula de Computação Aplicada

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C´alculo Num´erico

Interpola¸c˜ao Polinomial

Ana Paula

Sum´ario

(^1) Interpola¸c˜ao Polinomial

2 Forma de Lagrange

(^3) Revis˜ao

Interpola¸c˜ao Polinomial

Interpola¸c˜ao Polinomial

I Suponha que se tenha um conjunto de n + 1 pontos

x 0 , x 1 ,... , x n

e seus respectivos valores em rela¸c˜ao a uma fun¸c˜ao f (x), ou seja,

y 0 = f (x 0 ), y 1 = f (x 1 ),... , y n = f (x n

Interpola¸c˜ao Polinomial

Interpola¸c˜ao Polinomial

I Interpolar os pontos

(x 0 , y 0 ) , (x 1 , y 0 ) ,... , (x n , y 0

consiste em obter uma fun¸c˜ao g(x) tal que

g(x 0 ) = y 0 , g(x 1 ) = y 1 ,... , g(x n ) = y n

Interpola¸c˜ao Polinomial

Interpola¸c˜ao Polinomial

I (^) Polinˆomios ser˜ao adotados aqui como interpoladores

I S˜ao computados facilmente

I Suas derivadas e integrais tamb´em s˜ao polinˆomios

I A interpola¸c˜ao polinomial ´e utilizada principalmente quando

I A express˜ao de f (x) n˜ao ´e conhecida

I A fun¸c˜ao f (x) ´e complexa

Interpola¸c˜ao Polinomial

Interpola¸c˜ao Polinomial – Defini¸c˜ao

I O problema geral da interpola¸c˜ao por meio de polinˆomios consiste

em, dados n + 1 pontos distintos

x 0 , x 1 ,... , xn

e seus respectivos pares

y 0 , y 1 ,... , yn

determinar um Polinˆomio Pn(x) de grau m´aximo n tal que

P

n (x 0 ) = y 0

, P

n (x 1 ) = y 1

,... , P

n (x n ) = y n

I (^) Em geral, y i = f (x i

Interpola¸c˜ao Polinomial

Interpola¸c˜ao Polinomial

I Deseja-se obter um polinˆomio na forma

P

n (x) = a 0

• a 1 x + a 2 x

2

• · · · + a n x

n

I Para esse fim, deve-se determinar os coeficientes a 0 , a 1 ,... , an de

modo que

Pn(x 0 ) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x

2

0

• · · · + anx

n

0

= y 0

P

n (x 1 ) = a 0

• a 1 x 1
• a 2 x

2

1

• · · · + a n x

n

1

= y 1

Pn(xn) = a 0 + a 1 xn + a 2 x

2 n

• · · · + anx

n n = yn

I (^) Assim, verifica-se que uma forma de determinar o polinˆomio

interpolador ´e resolvendo um sistema de equa¸c˜oes lineares com n + 1

inc´ognitas

Interpola¸c˜ao Polinomial

Interpola¸c˜ao Polinomial

I Em forma matricial o sistema linear fica como 

1 x 0 x

2

0

... x

n

0

1 x 1 x

2

1

... x

n

1

. . .

1 x n x

2

n

... x

n

n

a 0

a 1

a n

y 0

y 1

y n

     I

A matriz de coeficientes ´e chamada de Matriz de Vandermonde

I (^) Sabe-se que det(A) 6 = 0 desde que os pontos x 0 , x 1 ,... , x n sejam

distintos

I (^) Teorema Dados n + 1 pontos distintos x 0 , x 1 ,... , x n e seus

respectivos valores y 0 , y 1 ,... , yn, ent˜ao existe um ´unico polinˆomio

P

n (x), de grau m´aximo n, tal que

Pn(xi) = yi, i = 0,... , n

Interpola¸c˜ao Polinomial

Exemplo

I Exemplo 1

Encontre o polinˆomio de grau ≤ 2 que interpola os pontos que

seguem.

x − 1 0 1

f (x) 0 , 54 1 0 , 54

I (^) Solu¸c˜ao: P 2 (x) = 1 − 0 , 46 x

2

Interpola¸c˜ao Polinomial

Exemplo

I Exemplo 1

Encontre o polinˆomio de grau ≤ 2 que interpola os pontos que

seguem.

x − 1 0 1

f (x) 0 , 54 1 0 , 54

I (^) Solu¸c˜ao: P 2 (x) = 1 − 0 , 46 x

2

Forma de Lagrange

Forma de Lagrange

Forma de Lagrange

Forma de Lagrange

I Um exemplo ser´a utilizado para ilustrar a ideia

I (^) Dados os trˆes pontos distintos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2

I Deseja-se encontrar o polinˆomio

P

2 (x) = a 0

• a 1 x + a 2 x

2

tal que

P

2 (x i ) = y i , i = 0,... , n

Forma de Lagrange

Forma de Lagrange

I Uma f´ormula para encontrar tal polinˆomio ´e a seguinte

P

2 (x) = y 0

L

0 (x) + y 1

L

1 (x) + y 2

L

2 (x)

onde

L

0 (x) =

(x − x 1 )(x − x 2 )

(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )

L

1 (x) =

(x − x 0 )(x − x 2 )

(x 1 − x 0 )(x 1 − x 2

L 2 (x) =

(x − x 0 )(x − x 1

(x 2 − x 0 )(x 2 − x 1

I (^) As fun¸c˜oes L 0 (x), L 1 (x) e L 2 (x) s˜ao chamadas de fun¸c˜oes de base de

Lagrange

Forma de Lagrange

Forma de Lagrange

I Uma f´ormula para encontrar tal polinˆomio ´e a seguinte

P

2 (x) = y 0

L

0 (x) + y 1

L

1 (x) + y 2

L

2 (x)

onde

L

0 (x) =

(x − x 1 )(x − x 2 )

(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )

L

1 (x) =

(x − x 0 )(x − x 2 )

(x 1 − x 0 )(x 1 − x 2

L 2 (x) =

(x − x 0 )(x − x 1

(x 2 − x 0 )(x 2 − x 1

I (^) As fun¸c˜oes L 0 (x), L 1 (x) e L 2 (x) s˜ao chamadas de fun¸c˜oes de base de

Lagrange